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7.2.2万有引力定律的应用 同步练习
一、单选题
1．（2021·山东·高二学业考试）如图所示，两质量均匀分布的小球半径分别为R1、R2，相距R，质量为m1、m2，则两球间的万有引力大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
两质量均匀分布的小球可以看作位于球心的质点，两球间的万有引力大小为，故选B。
2．（2021·全国·高一课时练习）下列关于万有引力的说法，正确的有
A．物体落到地面上，说明地球对物体有引力，物体对地球没有引力
B．万有引力定律是开普勒在总结前人研究的基础上发现的
C．地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的合力都是地球的万有引力
D．F＝G中，G是一个比例常数，没有单位
【答案】C
【详解】
A．物体间力的作用是相互的，物体落到地面上，地球对物体有引力，物体对地球也存在引力，故A错误；
B．万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的，故B错误；
C．地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的合力都是地球的万有引力，故C正确；
D．国际单位制中质量m、距离r、力F的单位分别是：kg、m、N，根据牛顿的万有引力定律F＝G，得到G的单位是N·m2/kg2，故D错误。故选C。
3．（2021·湖南·长郡中学二模）在刘慈欣的科幻小说《带上她的眼睛》里演绎了这样一个故事：“落日六号”地层飞船深入地球内部进行探险，在航行中失事后下沉到船上只剩下一名年轻的女领航员，她只能在封闭的地心度过余生。已知地球可视为半径为R、质量分布均匀的球体，且均匀球壳对壳内质点的引力为零。若地球表面的重力加速度为g，当“落日六号”位于地面以下深0.5R处时，该处的重力加速度大小为（ ）
A．0.25g B．0.5g C．2g D．4g
【答案】B
【详解】
设地球的密度为，则在地球表面
地球的质量为
联立可得，地表重力加速度表达式为
由题意可知，地面以下深0.5R处的重力加速度相当于半球为0.5R的球体表面的重力加速度，即
对比可得，B正确。故选B。
4．（2021·湖北·南漳县第一中学高一阶段练习）地球上，在赤道上的一物体A和在台州的一物体B随地球自转而做匀速圆周运动，如图，它们的线速度分别为vA、vB，角速度分别为ωA、ωB，重力加速度分别为则（ ）
A．vA=vB，ωA=ωB， B．vAC．vA>vB，ωA>ωB， D．vA>vB，ωA=ωB，
【答案】D
【详解】
地球上的点除两极外，相同时间内绕各自圆心转过角度相同，所以角速度相同，ωA=ωB；根据可知，角速度相同时，做圆周运动的半径越大，线速度越大，所以，vA>vB；地球上随纬度增加，重力加速度增大，赤道重加速度最小，两极重力加速度最大，所以。ABC错误，D正确。故选D。
5．（2022·全国·高三专题练习）经过长时间的观测，科学家在太阳星系外发现了一颗适合人类居住的星球，通过研究发现该星球的质量约为地球质量的2倍，直径约为地球直径的2倍，则下列说法正确的是（ ）
A．该星球的自转周期一定比地球的自转周期小
B．忽略星球自转产生的影响，同一物体在该星球表面的重力约等于在地球表面的重力
C．该星球卫星的最大环绕速度与地球卫星的最大环绕速度近似相等
D．若该星球的卫星与地球的卫星分别以相同的轨道半径运行，则两卫星的线速度大小一定相等
【答案】C
【详解】
A．由题中所给条件无法确定该星球的自转周期与地球自转周期的关系，A错误；
B．质量为m的物体在地球表面的重力等于所受的万有引力，即
可得地球表面的重力加速度为
同理可得，该星球表面的重力加速度为
对比可得
故同一物体在该星球表面的重力约为在地球表面重力的，B错误；
C．由重力作为向心力可得
卫星在地球表面的最大环绕速度为
同理可得，卫星在该星球表面的最大环绕速度为，C正确；
D．由引力作为向心力可得
解得
若该星球的卫星与地球的卫星分别以相同的轨道半径r运行，由于中心天体质量M不同，则两卫星的线速度大小不相等，D错误。故选C。
6．（2021·河北·石家庄二中高三期中）某颗中子星的质量约为地球质量的倍，半径约为，每秒钟可沿自己的轴线自转600圈。已知地球的半径为，地球表面的重力加速度取，则该中子星赤道的重力加速度大小与地球表面的重力加速度大小之比约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
地球表面物体受到的万有引力近似等于物体的重力
中子星的自转角速度
假设在中子星赤道上有一质量为m的物体
联立以上各式得
该中子星赤道的重力加速度大小与地球表面的重力加速度大小之比约为，故选D。
7．（2020·全国·高一课时练习）下列关于万有引力定律的说法正确的是（ ）
A．只有天体间才有万有引力
B．任意两个物体之间都存在万有引力
C．两质点间万有引力为F，当它们间的距离增加1倍时，它们之间的万有引力变为2F
D．两质点间万有引力为F，当它们间的距离增加1倍时，它们之间的万有引力变为
【答案】B
【详解】
AB．任意两个物体之间都存在万有引力，A错误B正确；
CD．两质点间万有引力为F，当它们间的距离增加1倍时，根据万有引力定律
可知它们之间的万有引力变为，CD错误。故选B。
8．（2020·全国·高一课时练习）设地球质量为M、半径为R、自转角速度为，引力常量为G，且地球可视为质量分布均匀的球体。则同一物体在赤道和南极水平面上静止时所受的支持力大小之比为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
在赤道处物体所受支持力为
在两极处物体所受支持力为
联立解得
故B正确，ACD错误。故选B。
9．（2021·重庆市永川北山中学校高二开学考试）2021年5月15日，我国科研团队根据“祝融号”火星车发回的遥感信号确认，天问一号着陆巡视器成功着陆预定区域，我国首次火星探测任务取得圆满成功.已知火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
在地球表面重力等于万有引力
在火星表面重力等于万有引力
结合题意联立可得
故C正确，ABD错误。故选C。
二、多选题
10．（2021·全国·高二）假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的半径错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】
在两极，重力等于万有引力
在赤道，万有引力等于重力和随地球自转的向心力之和
联立可得地球半径为
A正确，不符合题意，BCD错误，符合题意。故选BCD。
11．（2020·全国·高一课时练习）关于太阳与行星间的引力，下列说法正确的是（ ）
A．太阳与行星间的引力只与太阳与行星的质量有关
B．行星绕太阳沿椭圆轨道运动时在近日点所受引力大，在远日点所受引力小
C．由可知，，由此可见G与F和的乘积成正比，与M和m的乘积成反比
D．行星绕太阳的椭圆轨道可近似看成圆轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力
【答案】BD
【详解】
A．根据
可知，F与行星质量m、太阳质量M和轨道半径r均有关， A错误；
B．根据
知，太阳对行星的引力大小与m、r有关，对同一行星，r越小，F越大，r越大，F越小， B正确；
C．公式中G为比例系数是一常量，与F、r、M和m均无关， C错误；
D．通常的研究中，行星绕太阳的运行轨道可近似看成圆轨道其向心力由太阳对行星的引力提供， D正确。
故选BD。
12．（2021·山东师范大学附中高三阶段练习）经我国政府不懈努力，孟晚舟女士乘坐中国政府包机由加拿大温哥华（，）出发，途经北极点由俄罗斯进入我国境内，于9月25日21点49分平安抵达深圳（，）宝安国际机场。若将地球看作是理想的球体，在考虑地球自转的情况下，下列说法正确的是（ ）
A．质量相同的物体在深圳和温哥华受到地球的万有引力大小相等
B．温哥华当地的重力加速度大于深圳当地的重力加速度
C．若将飞机在空中的一段平稳飞行看作是绕地球的圆周运动，则飞机上的乘客对座位的压力大于乘客的重力
D．深圳地球自转的角速度大于北极点附近地球自转的角速度
【答案】AB
【详解】
A．将地球看作是理想的球体，由万有引力公式
可知质量相同的物体在深圳和温哥华受到地球的万有引力大小相等，故A正确；
B．由题可知，温哥华的纬度大于深圳的纬度，则最地球自转的做圆周运动的半径较小，由
可知所需要的向心力要小，所以万有引力提供重力部分的分力较大，由
可知温哥华当地的重力加速度大于深圳当地的重力加速度，故B正确；
C．若将飞机在空中的一段平稳飞行看作是绕地球的圆周运动，则飞机上的乘客处于失重状态，则飞机上的乘客对座位的压力小于乘客的重力，故C错误；
D．地球上的点都属于同轴转动，则角速度都相等，所以深圳地球自转的角速度等于北极点附近地球自转的角速度，故D错误。故选AB。
三、解答题
13．（2021·山东菏泽·高一期中）如图甲所示，有一质量为M、半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。求
（1）球体对质点m的万有引力大小
（2）若从M中挖去一半径为的球体，如图乙所示，求剩下部分对质点的万有引力F为多大？
【答案】（1）；（2）
【详解】
（1）由万有引力定律球体与质点之间的万有引力
（2）完整球体的质量
挖去的小球质量
被挖掉的小球与质点之间的万有引力
故剩下部分对质点的万有引力
14．（2021·全国·高一专题练习）如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R。从球内挖去一个直径为R的小球，放在距离为d的地方，求两者之间的引力。
【答案】GM2
【详解】
匀质球体的体积
可知挖去的小球体和剩余部分的质量分别为
利用割补法，先将挖去小球体后剩余部分转化为理想模型，即用同样的材料将其填补为实心球，这时两者之间的引力为
填补的小球体对挖去的小球体的引力
所以，剩余部分与挖去的小球之间的引力为
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7.2.2万有引力定律的应用 同步练习
一、单选题
1．（2021·山东·高二学业考试）如图所示，两质量均匀分布的小球半径分别为R1、R2，相距R，质量为m1、m2，则两球间的万有引力大小为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高一课时练习）下列关于万有引力的说法，正确的有
A．物体落到地面上，说明地球对物体有引力，物体对地球没有引力
B．万有引力定律是开普勒在总结前人研究的基础上发现的
C．地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的合力都是地球的万有引力
D．F＝G中，G是一个比例常数，没有单位
3．（2021·湖南·长郡中学二模）在刘慈欣的科幻小说《带上她的眼睛》里演绎了这样一个故事：“落日六号”地层飞船深入地球内部进行探险，在航行中失事后下沉到船上只剩下一名年轻的女领航员，她只能在封闭的地心度过余生。已知地球可视为半径为R、质量分布均匀的球体，且均匀球壳对壳内质点的引力为零。若地球表面的重力加速度为g，当“落日六号”位于地面以下深0.5R处时，该处的重力加速度大小为（ ）
A．0.25g B．0.5g C．2g D．4g
4．（2021·湖北·南漳县第一中学高一阶段练习）地球上，在赤道上的一物体A和在台州的一物体B随地球自转而做匀速圆周运动，如图，它们的线速度分别为vA、vB，角速度分别为ωA、ωB，重力加速度分别为则（ ）
A．vA=vB，ωA=ωB， B．vAC．vA>vB，ωA>ωB， D．vA>vB，ωA=ωB，
5．（2022·全国·高三专题练习）经过长时间的观测，科学家在太阳星系外发现了一颗适合人类居住的星球，通过研究发现该星球的质量约为地球质量的2倍，直径约为地球直径的2倍，则下列说法正确的是（ ）
A．该星球的自转周期一定比地球的自转周期小
B．忽略星球自转产生的影响，同一物体在该星球表面的重力约等于在地球表面的重力
C．该星球卫星的最大环绕速度与地球卫星的最大环绕速度近似相等
D．若该星球的卫星与地球的卫星分别以相同的轨道半径运行，则两卫星的线速度大小一定相等
6．（2021·河北·石家庄二中高三期中）某颗中子星的质量约为地球质量的倍，半径约为，每秒钟可沿自己的轴线自转600圈。已知地球的半径为，地球表面的重力加速度取，则该中子星赤道的重力加速度大小与地球表面的重力加速度大小之比约为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·全国·高一课时练习）下列关于万有引力定律的说法正确的是（ ）
A．只有天体间才有万有引力
B．任意两个物体之间都存在万有引力
C．两质点间万有引力为F，当它们间的距离增加1倍时，它们之间的万有引力变为2F
D．两质点间万有引力为F，当它们间的距离增加1倍时，它们之间的万有引力变为
8．（2020·全国·高一课时练习）设地球质量为M、半径为R、自转角速度为，引力常量为G，且地球可视为质量分布均匀的球体。则同一物体在赤道和南极水平面上静止时所受的支持力大小之比为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·重庆市永川北山中学校高二开学考试）2021年5月15日，我国科研团队根据“祝融号”火星车发回的遥感信号确认，天问一号着陆巡视器成功着陆预定区域，我国首次火星探测任务取得圆满成功.已知火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．（2021·全国·高二）假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的半径错误的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2020·全国·高一课时练习）关于太阳与行星间的引力，下列说法正确的是（ ）
A．太阳与行星间的引力只与太阳与行星的质量有关
B．行星绕太阳沿椭圆轨道运动时在近日点所受引力大，在远日点所受引力小
C．由可知，，由此可见G与F和的乘积成正比，与M和m的乘积成反比
D．行星绕太阳的椭圆轨道可近似看成圆轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力
12．（2021·山东师范大学附中高三阶段练习）经我国政府不懈努力，孟晚舟女士乘坐中国政府包机由加拿大温哥华（，）出发，途经北极点由俄罗斯进入我国境内，于9月25日21点49分平安抵达深圳（，）宝安国际机场。若将地球看作是理想的球体，在考虑地球自转的情况下，下列说法正确的是（ ）
A．质量相同的物体在深圳和温哥华受到地球的万有引力大小相等
B．温哥华当地的重力加速度大于深圳当地的重力加速度
C．若将飞机在空中的一段平稳飞行看作是绕地球的圆周运动，则飞机上的乘客对座位的压力大于乘客的重力
D．深圳地球自转的角速度大于北极点附近地球自转的角速度
三、解答题
13．（2021·山东菏泽·高一期中）如图甲所示，有一质量为M、半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。求
（1）球体对质点m的万有引力大小
（2）若从M中挖去一半径为的球体，如图乙所示，求剩下部分对质点的万有引力F为多大？
14．（2021·全国·高一专题练习）如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R。从球内挖去一个直径为R的小球，放在距离为d的地方，求两者之间的引力。
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