19.(本题满分12分)
出0共,小共本)点,四
已知函数f(x)=logn(3-ax)(a>0且a≠1)
(1)当x∈[02]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;
(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[12]上为减函数,并且最
大值为 如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由(
20.(本题满分12分)
设函数f(x)=4 4 sin ox cos(ax-2)-1的最小正周期为,其中o>0.5
(1)求函数f(x)的递增区间
A 3S nssk(D
(2)求函数y=f(x)在x∈「、1上的值域
020米(C)
的8-5(E)
高一数学试卷第6页(共7页)
本题满分12分
我市某农村地区利用当地资源优势,在发展旅游业的同时,因地制宜,一并
致力于建设“特色生态水果基地”。经调研发现:某珍稀水果树的单株产量
(x2+6),0≤x≤2
L(单位:千克)与施肥量x(单位:千克)满足函数关系:L()2=15x,2且单株水果树的肥料成本投入为20x元,其它成本投入(如培育管理、施肥等
人工费)为25x元,已知这种水果的市场售价大约为15元/千克,且销路畅通
供不应求,记该水果树的单株利润为f(x)(单位:元)
(1)求f(x)的函数关系式(利润=收入投入)
(2)当单株施肥量为多少千克时,该水果树的单株利润最大 最大利润是多
少
22.(本题满分12分)
设函数f(x)=
是定义在R上的奇函数
1)若f()>0,求使不等式f(2x-x)+f(x2-k)>0对x∈R恒成立的实数k
的取值范围
2)设函数()的图像过点(2,函数80210)+D若对于任意的
0.1,都有|g(x)-g()5M,求M的最小值
数学试卷第7页(共7页
岳阳市2022年高中教学质量监测试卷
高一数学
四
黑三
本试卷共7页,22道题,满分150分,考试用时120分钟
注意事项:个,(0=6
=(x)面三
1.答卷前,考生务必将自己的学校、班级、姓名和考号填写在答题卡指定位
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标
号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答案不能答在试卷
3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定
区域内:如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂
改液。不按以上要求作答无效。
乐·考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项
中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列元素与集合的关系中,正确的是(6=
A
√3∈Q
若
b∈R,且ab>0,则下列不等式恒成立的是
C
卷第1页岳阳市2022年高中教学质量监测高一数学
参考答案
一、单项选择题（本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
题次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D D D A C B D BD ABD BCD ABD
1．【答案】B.
解：因为-1是整数，不是自然数，所以A不正确；因为0不是正整数，所以B正确；因为是无理数，不是有理数，所以C不正确；因为是实数，所以D不正确,。
2.【答案】D
解：由于，可知a与b同号，显然当，时，选项A，B中的不等式不成立，所以选项A，B错误；由，得，，所以，选项C错误；显然，，，，选项D正确。
3．【答案】D
解：角为第二象限角，，，
点在第二象限．故选：。
4．【答案】D
解：依题意，函数的图象与直线有两个交点，
作出函数图象如下图所示，
由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则。故选：D
5．【答案】A
解：，则。故选：
6．【答案】C
解：函数过定点，排除B，D；
对应A抛物线开口向上，则，得，函数为增函数，
函数的对称轴为，则A图象不满足，排除A；
C.抛物线开口向下，则，得，函数为减函数，
函数的对称轴为，则C图象满足，故选：
7．【答案】B.
解：函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为：，再向右平移个单位得到图象的解析式
当时，，所以是函数的一个对称中心。故选：B.
8．【答案】D
解：函数在上单调递增，
函数在上单调递增，且大于零,
，求得，故a的取值范围为故选：
9．【答案】BD
解：对于A，函数是奇函数，在上单调递减，故A不符合题意；
对于B，满足条件，故B符合题意；
对于C，，故为奇函数；
对于D，为偶函数，且在单调递增，故D符合题意；故选BD。
10．【答案】ABD
解：对于A：根据象限角的范围，为第二象限角，故A正确；
对于B：函数的最小正周期是，故B正确；
对于C：若，则，故C错误；
对于D：若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为6，所以扇形的面积为，故D正确．故选：ABD。
11．【答案】BCD
解：因为函数且在R上为单调递增函数，
所以：，即：.
12【答案】ABD
解：中，函数单调递增，故函数只存在一个零点，且，，由函数零点存在定理可得，函数的零点在区间内，故所以A正确； 对于B，函数，令，得，此时，
函数的图像过定点，所以B正确； 对于C，“”推不出“”，所以C错误；
方程有一正一负根设为，等价于，即，
则“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，所以D正确．
故选：ABD。
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．【答案】1
解：，则
14．【答案】3
解：
15．【答案】.
解：
即：
故：
16．【答案】,或
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本题满分10分）
已知集合，集合，
（1）若，求和；（5分）
（2）若，求实数a的取值范围。（5分）
17、解：（1）时，，，
，或；
（2）由，得，
若，则，解得;
若，则，解得，综上，，所以a的范围
【解析】（1）先求出集合A，然后结合集合的交集及补集运算定义即可求解；
（2）由，得，然后对B是否为空集进行分类讨论可求。
本题主要考查了集合的交集及补集运算，还考查了集合的包含关系与集合并集运算的相互转
化，体现了分类讨论思想。
18.（本题满分12分）
已知，为锐角，，
（1）求的值(4分)；
（2）求的值(4分) ；
（3）求的值(4分)。
18.解：（1）.
（2）因为为锐角，且，所以，，
所以
（3）由知，，
因为，为锐角，，所以，
，又，为锐角，，故
【解析】（1）由二倍角正切公式即可求得；
（2）由同角三角函数的关系，可得和的值，再由二倍角公式，得解；
（3）先由二倍角公式求得的值，再由同角三角函数的平方关系求得的值，根据，结合两角差的正弦公式与角的范围，得解。
本题主要考查三角恒等变换的综合，熟练掌握二倍角公式、两角差的正弦公式和同角三角函数的平方关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题。
19.（本题满分12分）
已知函数(且)
（1）当时，函数恒有意义，求实数a的取值范围(6分)；
（2）是否存在这样的实数a，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由(6分)。
19.解：（1）由题设，对一切恒成立，且，
，设,则在上为减函数，
从而， ，的取值范围为
（2）假设存在这样的实数a，设
①当时， 在上为单调减函数，又底数，根据复合函数单调性可知：在上为单调增函数，不符合已知条件，故不成立。
②当时，在上为单调减函数，又底数，根据复合函数单调性可知：在上为单调减函数，且，，
，即， ，显然这样的实数不存在,
综上可知，a不存在。
【解析】本小题主要考查对数函数的定义域、单调性的应用、函数单调性的性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力．对于是否存在问题，一般假设存在，推出结论，属于基础题．
（1）根据题意：“当时，函数恒有意义”，即要考虑到当时必须是正数，另外，题中隐含条件：且也必须注意到；
（2）假设存在这样的实数，再分与两种情形，结合复合函数单调性“同增异减”的判断方法，即可得出结论。
20.（本题满分12分）
设函数的最小正周期为，其中
（1）求函数的递增区间(6分)；
（2）求函数在上的值域(6分)。
20.解：（1）依题意，，
的最小正周期为，且，，解得，
，设，
函数的递增区间是，
由，得
函数的递增区间是；
（2）当时， ,.,故函数在上的值域是。
【解析】本题考查了三角函数的解析式，单调性以及图像性质，涉及到倍角公式以及辅助角公式的应用，考查了学生的运算推理能力，属于中档题。
（1）根据余弦的差角公式以及二倍角公式，辅助角公式化简函数的解析式，利用周期求出的值，然后利用整体代换思想以及正弦函数的单调性即可求解；
（2）由函数即可求出在已知定义域上的值域。
21.（本题满分12分）
我市某农村地区利用当地资源优势，在发展旅游业的同时，因地制宜，一并致力于建设“特色生态水果基地”。经调研发现：某珍稀水果树的单株产量单位：千克与施肥量单位：千克满足函数关系：，且单株水果树的肥料成本投入为20x元，其它成本投入如培育管理、施肥等人工费为25x元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为单位：元）。
（1）求的函数关系式(4分)（利润=收入-投入）(4分)；
（2）当单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？(8分)；
21.解：（1），所以；
（2）当时，，
所以当时，;
当时，，
而，
当且仅当即时取等号，
所以元，
综上所述，当单株施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是720元．
【解析】本题主要考查函数模型的选择与应用，本题建立的数学模型为分段函数，对于分段函数的问题，一般选用分类讨论的思想方法进行求解，属于中档题。
（1）根据已知条件，结合“利润=收入-投入”，即可建立该水果树的单株利润的函数关系式；
（2）一段利用二次函数的性质求出最大值，一段利用基本不等式求出函数的最大值，最后比较即可得到结论。
22.（本题满分12分）
设函数且是定义在R上的奇函数.
（1）若，求使不等式对恒成立的实数k的取值范围(5分)；
（2）设函数的图像过点，函数若对于任意的，，都有，求M的最小值(7分)。
22.解：（1）是定义在R上的奇函数，，
，解得，则，
若，则，结合且，解得，
则为增函数，
结合，可得，
根据题意，对恒成立．则，解得，
即实数k的取值范围为；
（2）函数的图像过点，，
解得(不符，舍去或，
根据复合函数“同增异减”可知在上单调递增，
，
对于任意的，，都有，
且在区间上恒有，
，即M的最小值为
【解析】（1）依题意得，，结合，可知，为增函数，，由，可得实数k的取值范围；
（2）函数的图像过点，可得，，且在上单调递增，任意的，，都有可等价转化为，求得，，即可得到答案。本题考查函数恒成立问题，考查函数奇偶性与单调性的判定及应用，考查函数与方程思想、等价转换思想的综合运用，考查数学运算等核心素养，属于较难题。
