北京市海淀区2022届高三上学期期末考试
数学
2022.01
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.拋物线的准线方程为
A. B. C. D.
3.复数的虚部为
A.-2 B.2 C.-1 D.1
4.在的展开式中，的系数为
A.-4 B.4 C.-6 D.6
5.已知角的终边在第三象限，且，则
A.-1 B.1 C. D.
6.已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.若函数在上单调递增，则的最大值为
A. B. C. D.1
8.已知圆过点，，则圆心到原点距离的最小值为
A. B. C.1 D.
9.如图，A，B是两个形状相同的杯子，且B杯高度是A杯高度的，则B杯容积与A杯容积之比最接近的是
A.1：3 B.2：5 C.3：5 D.3：4
10.已知函数，.若对于图象上的任意一点，在的图象上总存在一点，满足，且.则实数
A. B. C.2 D.4
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11.双曲线的渐近线方程为____________.
12.已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球.现从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是__________，若选出的球是白球，则该球选自甲盒的概率是______________.
13.已知函数的值域为，的图象向右平移1个单位后所得的函数图象与的图象重合，写出符合上述条件的一个函数的解析式：______________.
14.若 ，且 ，则 ______________， 的最大值为______________.
15.如图，在正方体中，E为棱的中点，动点沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论：
①存在点P，使得；
②的面积越来越小；
③四面体的体积不变.
所有正确的结论的序号是_____________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16.（本小题14分）
在中，.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选报两个作为已知，使得存在，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
17.（本小题14分）
如图，已知长方体中，，.为的中点，平面交棱于点F.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值，并求点A到平面的距离.
18.（本小题14分）
某班组织冬奥知识竞赛活动，规定首轮比赛需要从6道备选题中随机抽取3道题目进行作答.假设在6道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，乙能正确完成其中4道题且另外2道题不能完成.
（Ⅰ）求甲至少正确完成其中2道题的概率；
（Ⅱ）设随机变量X表示乙正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望EX；
（Ⅲ）现规定至少正确完成其中2道题才能进入下一轮比赛，请你根据所学概率知识进行预测，谁进入下一轮比赛的可能性较大，并说明理由.
19.（本小题14分）
已知点在椭圆：上.
（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；
（Ⅱ）设直线：（其中）与椭圆交于不同两点E，F，直线AE，AF分别交直线于点M，N.当的面积为时，求的值.
20.（本小题15分）
函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数在上的最小值；
（Ⅲ）直接写出的一个值，使恒成立，并证明.
21.（本小题14分）
已知行列的数表中，对任意的，，都有.
若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记.
（Ⅰ）若数表，，请直接写出B，C是否是典型表；
（Ⅱ）当时，是否存在典型表A使得，若存在，请写出一个A；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求的最小值.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）海淀区2021-2022学年第一学期期末练习
高三数学
本试卷共9页,共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作
答无效。考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分(选择题共40分)
、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题
目要求的一项
1.已知集合A={-1.0.2},B={x(x-2)<0},则A∩B=
A.
B
C
D.{0
解析:B={x102.抛物线x2=2y的准线方程为
y
x
D
y
解析:2p=2,y=-,选D.
3.复数的虚部为
2+1
B.2
C.-1
D.1
解析:5
5(2
2-i,故虚部为C
2+1(2+1)(2-i)
4.在(x-)的展开式中,x的系数为
B.4
C.-6
D.6
解析:Cx3:(-2)=-4x,选A
已知角a的终边在第三象限,且tana=2,则sina-cosa=
√
B.1
D
解析
coS C=
Smna-cos三
,选C
6.已知{an}是等差数列,S是其前n项和.则“a4>a2”是“对于任意n∈N且n≠3,Sn>S3”
的
A.充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件
解析:前推后,找反例若a1>0,d>0,符合a4>a3,则S3>S1;
后推前,由S2>S3,得a3<0,由S4>S3,得a1>0,可推出a4>a2,
故选B.
7.若函数y=sin(xx-2)在[0,m]上单调递增,则m的最大值为
B
D
解析:函数y的增区间为[-+2k,=+2h]Gk∈Z),当k=0时,增区间为[-,],选C
8.已知圆C过点4(-1,2),B(10),则圆心C到原点距离的最小值为
A
B
C.1
D
解析:圆心C在线段AB的垂直平分线x-y+1=0上圆心到垂直平分线的距离为2,选B
9.如图,A,B是两个形状相同的杯子,
且B杯高度是A杯高度的3,则B杯容积
与A杯容积之比最接近的是
A.1:3
B.2:5
C.3:5
D.3:4
B
解析:体积比为相似比的立方,故体积比为()
27
0.42
2,选B.
10.已知函数f(x)=2,g(x)= log x.若对于f(x)图象上的任意一点P,在g(x)的图象上
总存在一点Q,满足OP⊥OQ,且OP=OQ,则实数a=
A
B
D
4
解析:函数f(x)=2上取一点P2),对应点为Q(2,-1),即logn2=-1,解得a=,选B.
