广东省清远市2022届高三上学期期末考试数学试题（Word版含答案）

广东省清远市2022届高三上学期期末考试
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知i为虚数单位，复数z的共轭复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．若椭圆的焦距为6，则实数（ ）
A．13 B．40 C．5 D．
4．直线被圆截得的最短弦长为（ ）
A． B． C． D．
5．在三棱锥中，，M，N分别是的中点，若，则异面直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果的新鲜度F与其采摘后时间t（天）近似满足的函数关系式为，若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．若要这种水果的新鲜度不能低于60%，则采摘下来的这种水果最多可以保存的天数为（ ）
A．30 B．35 C．40 D．45
7．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2021这2021个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为（ ）
A．58 B．59 C．60 D．61
8．已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（ ）
A．16 B．12 C．5 D．4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成这五组），则下列结论正确的是（ ）
A．直方图中
B．此次比赛得分不及格的共有40人
C．以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5
D．这100名参赛者得分的中位数为65
10．将函数图象上所有的点向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数，则（ ）
A．的最小值是 B．的图象关于直线对称
C．的最小正周期是 D．的单调递增区间是
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是双曲线C上位于第一象限的点，过点作的角平分线的垂线，垂足为A，若O为坐标原点，，则（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的渐近线方程为
C．双曲线C的离心率为 D．双曲线C的离心率为
12．已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数a的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知，则________．
14．已知曲线在点处的切线方程为，则_________．
15．为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护土，则不同的分配方法共有_______种．
16．如图，在长方体中，，P为的中点，过的平面分别与棱交于点E，F，且，则平面截长方体所得上下两部分的体积比值为_________；所得的截面四边形的面积为___________．（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在平面四边形中，．
（1）求；
（2）求的面积．
18．（12分）
某市为积极响应上级部门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对抗疫进行了深入的宣传，帮助全体市民深入了解新型冠状病毒，增强战胜疫情的信心．为了检验大家对新型冠状病毒及防控知识的了解程度，该市推出了相关的问卷调查，随机抽取了年龄在18～99岁之间的200人进行调查，把年龄在和内的人分别称为“青年人”和“中老年人”．经统计，“青年人”和“中老年人”的人数之比为2∶3，其中“青年人”中有50%的人对防控的相关知识了解全面，“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和了解不全面的人数之比是2∶1．
（1）根据已知条件，完成下面的列联表，并根据统计结果判断是否有95%的把握认为“中老年人”比“青年人”更加了解防控的相关知识．
了解全面 了解不全面 合计
青年人
中老年人
合计
（2）用频率估计概率从该市18～99岁市民中随机抽取3位市民，记抽出的市民对防控相关知识了解全面的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．
附表及公式：，其中．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．（12分）
已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，从下面①②③中选择两个作为条件，证明另外一个成立．
①，②，③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
20．（12分）
已知正三棱柱中，，D，E，F分别为的中点．
（1）证明：平面平面．
（2）求二面角的正弦值．
21．（12分）
设抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，若的中点到准线l的距离为4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设P为l上任意一点，过点P作C的切线，切点为Q，试判断F是否在以为直径的圆上．
22．（12分）
已知函数．
（1）讨论的零点个数．
（2）若有两个不同的零点，证明：．
广东省清远市2022届高三上学期期末考试数学参考答案
1．B 因为，所以．
2．B 因为，所以．
3．A 因为C的焦距为6，所以，得．
4．D 圆C的圆心为，半径为4，因为直线l过定点，所以当圆心到直线l的距离为时，直线l被圆C截得的弦长最短，且最短弦长为．
5．C 如图，取的中点Q，连接，因为Q是的中点，N是的中点，所以．同理，．
在中，，即异面直线所成角的余弦值为．
6．A 因为所以，所以，故．
7．A 因为由1到2021这2021个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为23，公差为35的等差数列，所以该数列的通项公式为．因为，所以．即该数列的项数为58．
8．C 如图，延长到D，使得．因为，所以点P在直线上．取线段的中点O，连接，则．显然当时，取得最小值，且最小值为3，所以．
9．ABC 因为，所以，所以A正确；
因为不及格的人数为，所以B正确；
因为得分在的频率为，所以从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5，所以C正确；
这100名参赛者得分的中位数为，所以D错误．
10．ACD 由题意知，，则，的最小值是，最小正周期是，故A，C正确；
令，得，若，则，故B错误；
令，得，即的单调递增区间是，故D正确．
11．AC 如图，延长交于Q，则，因为，所以．因为为的中位线，所以．因为，所以，故双曲线C的渐近线方程为，离心率．
12．BCD 原方程可化为．
令，则．
由题意知，有两个不同的实数解，且．
记，当时，得，此时两根分别为1，，不符合题意，则或解得，即a的取值范围是．
13．
．
14． 因为，所以所以，所以．
15．540 第一步，将6名护士平均分给3名医生组成三个小组，有种不同的分法；第二步，将三个小组分配到3所学校，有种不同的分法．故不同的分配方法共有种．
16．3； 如图，过点B作的平行线分别与的延长线交于G，H，连接，并分别与交于E，F，因为平面，所以平面即平面．
因为，所以，
所以．
因为四边形为菱形，且，
所以．
17．解：（1）因为为直角三角形，，
所以． 2分
在中，，
由余弦定理得， 4分
所以． 5分
（2）因为，所以为直角三角形，且， 7分
故． 10分
18．解：（1）因为“青年人”和“中老年人”的人数之比为2∶3，所以“青年人”和“中老年人”的人数分别为80和120． 1分
因为“青年人”中有50%的人对防控的相关知识了解全面，所以“青年人”中对防控的相关知识了解全面的有40人，了解不全面的有40人． 2分
因为“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和了解不全面的人数之比是2∶1，所以“中老年人”中对防控的相关知识了解不全面的有80人，了解不全面的有40人． 3分
列联表如下：
了解全面 了解不全面 合计
青年人 40 40 80
中老年人 80 40 120
合计 120 80 200
4分
因为， 5分
所以有95%的把握认为“中老年人”比“青年人”更加了解防控的相关知识． 6分
（2）用样本估计总体可知，从该市18～99岁市民中随机抽取1人，抽到的市民对防控相关知识了解全面的概率为， 7分
所以随机变量． 8分
因为，
， 10分
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
11分
12分
19．解：选①②作为条件证明③
因为，所以当时，． 1分
当时，， 2分
两式相减得，所以， 3分
所以． 5分
因为，所以， 6分
即， 7分
所以数列是首项为，公比为的等比数列． 8分
因为， 10分
所以． 12分
选①③作为条件证明②
因为，所以当时，． 1分
当时，， 2分
两式相减得，所以， 3分
所以，所以， 4分
所以数列是首项为，公比为的等比数列． 5分
因为，所以． 6分
因为，所以当时，； 7分
当时，． 9分
因为当时也满足上式，所以， 11分
故． 12分
选②③作为条件证明①
因为，所以当时，； 1分
当时，． 3分
因为当时也满足上式， 4分
所以． 6分
因为，所以， 7分
所以 9分
， 11分
故． 12分
20．（1）证明：因为在正三角形中，D为的中点，所以． 1分
因为平面平面，所以．
因为，所以平面． 2分
因为平面，所以． 3分
在中，连接，所以，即． 4分
因为，所以平面． 5分
因为平面，所以平面平面． 6分
（2）解：如图，以D为坐标原点，的方向分别为x，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，则． 7分
由（1）知平面的一个法向量为． 8分
设平面的法向量为
则令，得． 10分
因为， 11分
所以二面角的正弦值为． 12分
21．解：（解法一）（1）设，则
所以，整理得， 1分
所以． 2分
因为直线的方程为，所以． 3分
因为的中点到准线l的距离为4，所以，得，
故抛物线C的方程为． 5分
（2）设，可知切线的斜率存在且不为0，
设切线的方程为，
联立方程组得， 7分
由，得，即， 8分
所以方程的根为，
所以，即． 10分
因为，所以，
所以，即F在以为直径的圆上． 12分
解法二：（1）联立方程组得，
设，则． 3分
因为的中点到准线l的距离为4，所以，
得，故抛物线C的方程为． 5分
（2）设，可知切线的斜率存在且不为0，
设切线的方程为，
联立方程组得， 7分
由，得，即， 8分
所以方程的根为，
所以，即． 10分
因为，所以，
所以，即F在以为直径的圆上． 12分
22．（1）解：因为，所以1不是的零点． 1分
令，则的零点个数即直线与图象的交点个数．
因为， 2分
所以在上单调递减，在上单调递增． 3分
因为，且当时，， 4分
所以当时，没有零点；
当时，有一个零点；
当时，有两个零点． 5分
（2）证明：由（1）知，当时，有两个零点．
设，则， 6分
由得， 7分
所以，即． 8分
令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增． 9分
要证，即证．
因为，且在上单调递增，所以只需证．
因为，所以即证． 10分
令，
则，
所以在上单调递减． 11分
因为，所以．
因为，所以，故． 12分