广东省汕尾市2021-2022学年高三上学期期末学生调研考试数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 广东省汕尾市2021-2022学年高三上学期期末学生调研考试数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 760.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-13 18:05:47 | ||
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文档简介
广东省汕尾市2021-2022学年高三上学期期末学生调研考试
数学
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。
2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。考试结束后，请将本试题及答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B．（0，1） C．[0，1） D．（0，+∞）
2．若复数z满足其中（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
4．对于非零向量a，b，“a+b=0”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．2
6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来研究函数图象的特征，两数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
7．已知的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则的展开式中的（ ）
A．-240 B．240 C．-60 D．-60
8．攒尖是古代中国建筑中居顶的一种结构形式，宋代称为攒尖，清代称为攒尖．攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖，四角攒尖，八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．辽宁省实验中学校园内的明心亭为，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作如图所示的正八棱锥，设该正八棱锥的侧面等腰三角形的底角为，它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知a，b都是不等于1的正实数，且a>b，0A． B． C． D．
10．以下关于函数的命题，正确的是（ ）
A．函数y=f（x）的最小正周期为
B．点（，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心
C．直线的函数y=f（x）图象的一条对称轴
D．将函数y=f（x）的图象向有平移个单位后得到的函数的图象关于原点对称
11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，
底面ABCD，M为PA的中点，那下列叙述中正确的是（ ）
A．PC//面MBD B．平面PAC
C．异面直线BC与PD所成的角是
D．直线PC与底面ABCD所成的角的正切值是
12．设函数下列四个结论中正确的是（ ）
A．函数f（x）在区间[，1）上单调递增
B．函数y=f（x）-x有且只有两个零点
C．函数f（x）的值域是[-1，1]
D．对任意两个不相等正实数，若
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知非零向量a，b，且，则a与b的夹角为 ．
14．已知等差数列的前n项和是 ．
15．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展，下表是近几年我国某地区新能源汽车的年销售量与年价的统计表
年份 2016 2017 2018 2019 2020
年销售量（万台） 8 12 15 20 25
根据上表，利用最小二乘法，新能源汽车的年销售量y万台关于年份x的线性回归方程为 ．
多考数据：
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．
16．已知分别是椭圆C：的左、右两个焦点，若椭圆C上存在四个不同的点P，使得，的面积为，则正实数m的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角B;
（2）当b=3时，求的面积的最大值．
18．（12分）
已知等比数列满足等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列
19．（12分）
如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，
（1）求证：平面ADE平面ABCD；
（2）若EF=ED=AD，CD=2EF=2，求平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的大小．
20．（12分）
书籍是精神世界的人口，阅读让精神世界闪光，阅读已成为中学生的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地中学生的阅读情况，通过随机抽样调查了n名中学生，对这些人每周的平均阅读时间（单位：小时）进行统计，并将样本数据分成[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知这n名中学生中每周平均间读时间不低于16小时的人数是2人．
（1）求n和a的值；
（2）为进一步了解这n名中生数字媒体读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从周平均时间在[8，10），[10，12），[12，14）三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在[10，12）内的中学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
21．（12分）
已知点M为直线：x=-2上的动点，N（2，0），过M作直线的垂线l，l交线段MN的垂直平分线于点P，记点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设O是坐标原点，A，B是曲线C上的两个动点，且，试问直线AB是否过定点？若不过定点，请说明理由；若过定点，请求出定点坐标．
22．（12分）
已知函数f（x）=lnx-ax+1，a是常数且．
（1）求曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线l的方程；并证明：函数的图象在直线l的下方；
（2）已知函数有两个零点，求实数a的取值范围．
广东省汕尾市2021-2022学年高三上学期期末学生调研考试
参考答案详解
一、选择题
1．，，，
选B．
2．，，选D．
3．命题“”的否定为“”，选B．
4．对于非零向量，所以，所以，但的方向不定，不能推出，选A．
5．双曲线的渐近线方程为，离心率，选D．
6．函数为奇函数，排除B，D；，选A．
7．，所以，，令，得，所以常数项为，选D．
8．由题意可知，设O为正八棱锥底面内切圆的圆心，连接，取的中点M，连接，则是底面内切圆半径R，如图所示．设侧棱长为x，底面边长为a，由底面为正八边形，其内切圆半径R是底面中心O到各边的距离，在中，，所以，且，解得，所以，在中，
，，选C．
二、选择题
9．考查函数，因为，所以是减函数，故，所以A错．
考查函数，因为，所以是增函数，故，所以B对．
考查函数，因为，所以是减函数，故，所以C错．
当且仅当时，“=”成立，
又，∴，所以D对．所以选BD．
10．，所以最小正周期，所以A对．
，所以直线是函数图象的一条对称轴，所以B错．
，所以点是函数图象的一个对称中心，所以C错．
将函数的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为，是奇函数，所以D对．
所以选AD．
11．设，则E不是中点，若平面又因为平面，平面平面，则，∵M为中点，∴E是中点，矛盾，所以A错．
若平面，则，而据题意可知与不垂直，所以B错．
，所以异面直线与所成的角就是直线与所成的角，是等腰直角三角形，故异面直线与所成的角是，所以C对．
∵底面，∴直线与底面所成的角为，又：，，，所以D对．所以选CD．
12．时，，，
时在单调递增．
时在单调递减，
故时，．
所以函数在单调递增，又，所以A错，C对．
时，令，，在单调递减，，所以函数在上没有零点．
时，令，只需求函数在上零点个数，又因为在上单调递减，且，所以函数
在上只有一个零点．
所以函数有且仅有一个零点，所以B错．
时，若，不妨设
当时，显然成立；
当时，，
令函数，
所以在单调递增，
所以，又因为，函数在上单调递增，故，即，所以D对．所以选CD．
三、填空题
13．非零向量，且，，，所以，所以．
14．．
15．，
故，，所以线性回归方程为．
16．当点P在椭圆C上运动时，，故只需，即，，．
四、解答题：本题共6小题，共70分．
17．解：（1）由正弦定理得： 1分
2分
3分
因为，所以 5分
（2）∵ 7分
∴（当且仅当时等号成立） 8分
所以面积的最大值为． 10分
18．解：（1）设等比数列的公比为q，
1分
又，∴ 2分
3分
5分
（2） 6分
① 7分
② 9分
①-②得： 10分
2分
19．证明：（1）∵四边形为矩形
∴ 1分
又∵
平面，平面，
∴平面 4分
∵平面 5分
∴平面平面 6分
（2）平面
∵平面
∴
∵
平面，平面，
∴平面 7分
∴以点D为原点，以方向为x轴正方向，以方向为y轴正方向，以方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图， 8分
平面的一个法向量是， 9分
，
设平面的法向量是，
则，即，令，则 10分
11分
∴平面与平面所成的锐二面角的大小为． 2分
20．解：（1） 2分
． 4分
（2）依题意，周平均阅读时间在三组内的中学生人数比为， 5分
6人中周平均阅读时间在内的中学生人数为2人 6分
X的所有可能取值为0，1，2
，
， 9分
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
10分
数学期望为． 12分
21．解：（1）由已知可得，， 1分
即点P到定点N的距离等于它到直线的距离，故点P的轨迹是以N为焦点，为准线的抛物线，
∴曲线C的方程为 4分
（2）设直线的方程为 5分
联立，得 6分
， 7分
8分
10分
解得 11分
所以直线过定点． 2分
22．解：（1） 1分
，∴切线方程为
所以曲线在点处的切线方程为 2分
令 3分
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减 4分
所以 5分
所以，且时，，即，即函数的图象在直线l的下方 6分
（2）
，
当时，在上单调递减
所以函数在至多有一个零点，故不合题意； 7分
当时，
令，得或（舍去）
∴时，在上单调递减
时，在上单调递增 8分
∴为函数唯一极值点，且为极小值点
∴
∴函数在定义域上有两个零点必须满足
∴ 9分
下面证明时，函数有两个零点
∵，∴，
∴
故函数在存在一个零点 10分
由（2）可知，时，恒成立，即恒成立（当且仅当时等号成立）
∴（当且仅当时等号成立）
∴
∴
故函数在存在一个零点 11分
综上所述：时，函数在其定义域上有两个零点 12分
数学
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。
2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。考试结束后，请将本试题及答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B．（0，1） C．[0，1） D．（0，+∞）
2．若复数z满足其中（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
4．对于非零向量a，b，“a+b=0”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．2
6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来研究函数图象的特征，两数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
7．已知的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则的展开式中的（ ）
A．-240 B．240 C．-60 D．-60
8．攒尖是古代中国建筑中居顶的一种结构形式，宋代称为攒尖，清代称为攒尖．攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖，四角攒尖，八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．辽宁省实验中学校园内的明心亭为，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作如图所示的正八棱锥，设该正八棱锥的侧面等腰三角形的底角为，它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知a，b都是不等于1的正实数，且a>b，0
10．以下关于函数的命题，正确的是（ ）
A．函数y=f（x）的最小正周期为
B．点（，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心
C．直线的函数y=f（x）图象的一条对称轴
D．将函数y=f（x）的图象向有平移个单位后得到的函数的图象关于原点对称
11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，
底面ABCD，M为PA的中点，那下列叙述中正确的是（ ）
A．PC//面MBD B．平面PAC
C．异面直线BC与PD所成的角是
D．直线PC与底面ABCD所成的角的正切值是
12．设函数下列四个结论中正确的是（ ）
A．函数f（x）在区间[，1）上单调递增
B．函数y=f（x）-x有且只有两个零点
C．函数f（x）的值域是[-1，1]
D．对任意两个不相等正实数，若
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知非零向量a，b，且，则a与b的夹角为 ．
14．已知等差数列的前n项和是 ．
15．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展，下表是近几年我国某地区新能源汽车的年销售量与年价的统计表
年份 2016 2017 2018 2019 2020
年销售量（万台） 8 12 15 20 25
根据上表，利用最小二乘法，新能源汽车的年销售量y万台关于年份x的线性回归方程为 ．
多考数据：
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．
16．已知分别是椭圆C：的左、右两个焦点，若椭圆C上存在四个不同的点P，使得，的面积为，则正实数m的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角B;
（2）当b=3时，求的面积的最大值．
18．（12分）
已知等比数列满足等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列
19．（12分）
如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，
（1）求证：平面ADE平面ABCD；
（2）若EF=ED=AD，CD=2EF=2，求平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的大小．
20．（12分）
书籍是精神世界的人口，阅读让精神世界闪光，阅读已成为中学生的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地中学生的阅读情况，通过随机抽样调查了n名中学生，对这些人每周的平均阅读时间（单位：小时）进行统计，并将样本数据分成[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知这n名中学生中每周平均间读时间不低于16小时的人数是2人．
（1）求n和a的值；
（2）为进一步了解这n名中生数字媒体读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从周平均时间在[8，10），[10，12），[12，14）三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在[10，12）内的中学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
21．（12分）
已知点M为直线：x=-2上的动点，N（2，0），过M作直线的垂线l，l交线段MN的垂直平分线于点P，记点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设O是坐标原点，A，B是曲线C上的两个动点，且，试问直线AB是否过定点？若不过定点，请说明理由；若过定点，请求出定点坐标．
22．（12分）
已知函数f（x）=lnx-ax+1，a是常数且．
（1）求曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线l的方程；并证明：函数的图象在直线l的下方；
（2）已知函数有两个零点，求实数a的取值范围．
广东省汕尾市2021-2022学年高三上学期期末学生调研考试
参考答案详解
一、选择题
1．，，，
选B．
2．，，选D．
3．命题“”的否定为“”，选B．
4．对于非零向量，所以，所以，但的方向不定，不能推出，选A．
5．双曲线的渐近线方程为，离心率，选D．
6．函数为奇函数，排除B，D；，选A．
7．，所以，，令，得，所以常数项为，选D．
8．由题意可知，设O为正八棱锥底面内切圆的圆心，连接，取的中点M，连接，则是底面内切圆半径R，如图所示．设侧棱长为x，底面边长为a，由底面为正八边形，其内切圆半径R是底面中心O到各边的距离，在中，，所以，且，解得，所以，在中，
，，选C．
二、选择题
9．考查函数，因为，所以是减函数，故，所以A错．
考查函数，因为，所以是增函数，故，所以B对．
考查函数，因为，所以是减函数，故，所以C错．
当且仅当时，“=”成立，
又，∴，所以D对．所以选BD．
10．，所以最小正周期，所以A对．
，所以直线是函数图象的一条对称轴，所以B错．
，所以点是函数图象的一个对称中心，所以C错．
将函数的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为，是奇函数，所以D对．
所以选AD．
11．设，则E不是中点，若平面又因为平面，平面平面，则，∵M为中点，∴E是中点，矛盾，所以A错．
若平面，则，而据题意可知与不垂直，所以B错．
，所以异面直线与所成的角就是直线与所成的角，是等腰直角三角形，故异面直线与所成的角是，所以C对．
∵底面，∴直线与底面所成的角为，又：，，，所以D对．所以选CD．
12．时，，，
时在单调递增．
时在单调递减，
故时，．
所以函数在单调递增，又，所以A错，C对．
时，令，，在单调递减，，所以函数在上没有零点．
时，令，只需求函数在上零点个数，又因为在上单调递减，且，所以函数
在上只有一个零点．
所以函数有且仅有一个零点，所以B错．
时，若，不妨设
当时，显然成立；
当时，，
令函数，
所以在单调递增，
所以，又因为，函数在上单调递增，故，即，所以D对．所以选CD．
三、填空题
13．非零向量，且，，，所以，所以．
14．．
15．，
故，，所以线性回归方程为．
16．当点P在椭圆C上运动时，，故只需，即，，．
四、解答题：本题共6小题，共70分．
17．解：（1）由正弦定理得： 1分
2分
3分
因为，所以 5分
（2）∵ 7分
∴（当且仅当时等号成立） 8分
所以面积的最大值为． 10分
18．解：（1）设等比数列的公比为q，
1分
又，∴ 2分
3分
5分
（2） 6分
① 7分
② 9分
①-②得： 10分
2分
19．证明：（1）∵四边形为矩形
∴ 1分
又∵
平面，平面，
∴平面 4分
∵平面 5分
∴平面平面 6分
（2）平面
∵平面
∴
∵
平面，平面，
∴平面 7分
∴以点D为原点，以方向为x轴正方向，以方向为y轴正方向，以方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图， 8分
平面的一个法向量是， 9分
，
设平面的法向量是，
则，即，令，则 10分
11分
∴平面与平面所成的锐二面角的大小为． 2分
20．解：（1） 2分
． 4分
（2）依题意，周平均阅读时间在三组内的中学生人数比为， 5分
6人中周平均阅读时间在内的中学生人数为2人 6分
X的所有可能取值为0，1，2
，
， 9分
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
10分
数学期望为． 12分
21．解：（1）由已知可得，， 1分
即点P到定点N的距离等于它到直线的距离，故点P的轨迹是以N为焦点，为准线的抛物线，
∴曲线C的方程为 4分
（2）设直线的方程为 5分
联立，得 6分
， 7分
8分
10分
解得 11分
所以直线过定点． 2分
22．解：（1） 1分
，∴切线方程为
所以曲线在点处的切线方程为 2分
令 3分
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减 4分
所以 5分
所以，且时，，即，即函数的图象在直线l的下方 6分
（2）
，
当时，在上单调递减
所以函数在至多有一个零点，故不合题意； 7分
当时，
令，得或（舍去）
∴时，在上单调递减
时，在上单调递增 8分
∴为函数唯一极值点，且为极小值点
∴
∴函数在定义域上有两个零点必须满足
∴ 9分
下面证明时，函数有两个零点
∵，∴，
∴
故函数在存在一个零点 10分
由（2）可知，时，恒成立，即恒成立（当且仅当时等号成立）
∴（当且仅当时等号成立）
∴
∴
故函数在存在一个零点 11分
综上所述：时，函数在其定义域上有两个零点 12分
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