北京市西城区2021-2022学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版含答案）

北京市西城区2021-2022学年高二上学期期末考试
数学 2022.1
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为
（A） （B）
（C） （D）
（2）在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为
（A） （B）
（C） （D）
（3）抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为
（A） （B）
（C） （D）
（4）圆与圆的位置关系为
（A）外离 （B）外切
（C）相交 （D）内切
（5）在的展开式中，的系数为
（A） （B）
（C） （D）
（6）在长方体中，，，则直线与平面所成角的大小为
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知椭圆，双曲线，其中．若与的焦距之比为，则的渐近线方程为
（A） （B）
（C） （D）
（8）将名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑和冰球个项目进行培训，每名志愿者只分配到个项目，每个项目至少分配名志愿者，则不同的分配方案共有
（A）种 （B）种
（C）种 （D）种
（9）设抛物线的顶点为原点，焦点在轴上．过的直线交抛物线于点，则以为直径的圆
（A）必过原点 （B）必与轴相切
（C）必与轴相切 （D）必与抛物线的准线相切
（10）如图，某市规划在两条道路边沿之间建造一个半椭圆形状的主题公园，其中为椭圆的短轴，为椭圆的半长轴．已知，，．为使尽可能大，其取值应为（精确到）（A）（B）（C）（D）
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）圆心为且过原点的圆的方程是___．
（12）已知直线，．若，则实数___．
（13）在正三棱柱中，，则直线与所成角的大小为___；
直线到平面的距离为___．
（14）设双曲线的两个焦点是，点在双曲线上，则___；
若为锐角，则点的纵坐标的取值范围是___．
（15）如图，在正方体中，过的平面分别交于点．给出
下列四个结论：
① 四边形一定是平行四边形；
② 四边形可能是正方形；
③ 四边形为菱形时，其面积最小；
④ 四边形为矩形时，其面积最大．
其中所有正确结论的序号是_______．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题10分）
从位女生，位男生中选出人参加垃圾分类宣传活动．
（Ⅰ）共有多少种不同的选择方法？
（Ⅱ）如果至少有位女生入选，共有多少种不同的选择方法？
（17）（本小题15分）
如图，在长方体中，，，点在上，且．
（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
（18）（本小题15分）
已知椭圆的一个顶点为，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，且，求的值．
（19）（本小题15分）
设为两定点，，曲线是到点的距离与到点的距离之比为定值的点组成的集合．
（Ⅰ）判断的中点是否在曲线上；
（Ⅱ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程，并讨论曲线的形状．
（20）（本小题15分）
如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，，．点在上，且平面．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
（21）（本小题15分）
已知椭圆，过点的直线交椭圆于两点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）已知两点．记直线的斜率为，直线的斜率为，
求的值．
北京市西城区2021-2022学年高二上学期期末考试
数学参考答案 2022.1
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）D （2）C （3）C （4）D （5）B
（6）A （7）A （8）B （9）C （10）B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）
（13） （14）
（15）①③④
注：（13）、（14）题第一空3分，第二空2分；（15）题少解给3分，有错解不给分。
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共10分）
解：（Ⅰ）从位女生，位男生中选出人参加垃圾分类宣传活动，
选择方法数为． ………5分
（Ⅱ）没有女生入选的选择方法数为， ………8分
所以至少有位女生入选的选择方法数为． ………10分
（17）（共15分）
解：（Ⅰ）以为原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图
所示的空间直角坐标系． ………1分
则，，，，．
所以，． ………4分
所以． ………7分
所以直线与所成角的余弦值为．
（Ⅱ）因为．
设平面的法向量为，则
　即………9分
令，则．
于是． ………11分
显然是平面的一个法向量． ………12分
因为， ………15分
所以二面角的余弦值为．
（18）（共15分）
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为．
由题意得 ………3分
解得． ………4分
所以椭圆的方程为． ………5分
（Ⅱ）由 得． ………7分
由，解得． ………8分
设，，则． ………9分
设线段的中点为，
则，． ………11分
“”等价于“”． ………12分
所以． ………14分
解得，符合题意． ………15分
所以．
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）设的中点为，则． ………2分
所以当时，点在曲线上； ………3分
当时，点不在曲线上． ………4分
（Ⅱ）以点所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系．
所以． ………6分
设曲线上任意一点为，由题意知． ………7分
所以． ………8分
整理得． ………10分
经检验，曲线的方程为．
当时，曲线的方程化为． ………11分
所以曲线的形状是直线． ………12分
当时，曲线的方程化为． ………14分
所以曲线的形状是以为圆心,为半径的圆． ………15分
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）因为平面，
所以． ………1分
因为平面，
所以． ………2分
所以平面． ………3分
所以． ………4分
（Ⅱ）取中点，连接．
由（Ⅰ）得四边形为菱形，
所以．
因为，
所以． ………5分
因为两两互相垂直，
以为原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图
所示的空间直角坐标系． ………6分
则，，，．
所以．
设，其中． ………7分
所以． ………8分
因为平面，
所以，即． ………9分
所以．
解得，即． ………10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得． ………11分
因为，．
设平面的法向量为，则
　即
令，则，于是． ………13分
所以点到平面的距离为． ………15分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）① 当直线的斜率不存在时，，或．
此时． ………1分
② 当直线的斜率存在时，设其方程为．
由 得． ………3分
设，
则 ………5分
所以
． ………7分
设，则．
所以． ………8分
综上．
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，，或，
此时都有． ………9分
直线的斜率为，直线的斜率为． ………11分
法一：
………12分
………13分
． ………15分
法二：
………12分
………13分
． ………14分
又 ，
所以． ………15分
综上，．