湖北省武汉市蔡甸区第一高级中学2021-2022学年高二12月月考数学试题（Word版含答案）

蔡甸区第一高级中学2021-2022学年高二12月月考
数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（40分）
1．已知椭圆的长轴长为8，离心率为，则此椭圆的标准方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
2．记等差数列的前项和为，公差为．若，，则为（ ）
A．1 B．48 C．36 D．24
3．若入射光线所在直线的方程为，经直线反射，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知点F是抛物线的焦点，点P为抛物线上的任意一点，M(1，2)为平面上点，则的最小值为（ ）
A． B．12 C．9 D．6
5．已知，则方程与在同一坐标系内的图形可能是（ ）
A． B． C． D．
6．已知焦点在轴上的椭圆，且，2，成等差数列（a>0,2c为焦距），分别是椭圆的左焦点和右顶点，是椭圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
7．已知，是双曲线的左、右焦点，，是双曲线的左、右顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差．设是由正数组成的等方差数列，且方公差为4，，则数列的前24项和为（ ）
A． B．3 C． D．6
二、多选题（20分）
9．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论正确的是（ ）
A．卫星向径的取值范围是
B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
10．下列说法正确的是（ ）
A．若圆与圆内切，则实数的值是
B．已知实数，满足，则的最大值为，最小值为
C．若直线被圆所截得的弦长最短，则
D．已知定点，动点在圆上运动，以，为两边作平行四边形，则点的轨迹方程是
11．已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（ ）
A．在数列中，最大 B．在数列中，或最大
C． D．当时，
12．已知，为双曲线：的左右焦点，过点作渐近线的垂线交双曲线右支于点，直线与轴交于点（，在轴同侧），连接，若内切圆圆心恰好落在以为直径的圆上，则下列结论正确的有（ ）
A． B．内切圆的半径为
C． D．双曲线的离心率为
第II卷（非选择题）
三、填空题（20分）
13．过点且与圆相切的直线方程是___________.
14．在江西省发现的汉代海昏候刘贺墓中，发掘出大量的铜钱“汉五铢”．古人是如何将铜钱放置在钱库中的呢？汉代将1000枚铜钱用缗（丝绳或麻绳）串起来，称为一“缗”（，音岷），再放在一起成为一堆．为清点这批铜钱的数目，考古工作者先将其串成缗，并在最底层放置70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这堆铜钱共有________缗．
15．唐代诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马徬交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望峰火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短路程为___________.
16．已知抛物线，点，过作抛物线的两条切线，其中为切点，直线与轴交于点则的取值范围是_________．
四、解答题（70分）
17．已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在的直线方程为2x-y-5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0
（1）求直线AC的方程，
（2）求直线BC的方程
18．已知圆，圆．
（1）证明：圆与圆相交，并求出圆与圆的公共弦所在直线l的方程；
（2）过直线l上一点作圆的切线，切点分别为A，B，求四边形的面积．
19．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
（1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；（2）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？
20．已知是以、为左右焦点的双曲线上的一点，且，．
（1）求双曲线的离心率；
（2）过点作直线分别与双曲线两渐近线相交于，两点，若（为坐标原点），，求双曲线的标准方程．
21．已知等差数列的前项和为，且.
（1）求数列的前项和为；
（2）设，若对一切的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
22．在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，动直线：交椭圆于A，两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，，是的两条切线，切点分别为S，．求的最小值及的最大值．
参考答案
1．B2．B3．C4．A5．C6．C7．B8．C9．ABD10．ABC11．AD12．ABD
13．或14．202015．16．
14．17．（1）（5分））（2）（5分）
18．（1）圆的方程配方可得，圆心，半径，
圆的方程配方可得，圆心，半径，
所以两圆心的距离，
，，
所以，
所以，圆与圆相交．
将方程与相减，
得：，
所以圆与圆的公共弦所在直线的方程为；（6分）
（2）由（1）可得，代入圆的方程，
，
因为所以，
所以，，
即四边形的面积为8．（6分）
19．（1）根据题意，设该抛物线的方程为，
由图可知点在抛物线上，所以，即，
所以该抛物线的方程为.（6分）
（2）设车辆高为h米，则，故，
代入方程，解得，
所以车辆通过隧道的限制高度为米. （12分）
20．（1）；（2）.
解：（1）不妨设点在第一象限
，，
，．
，，
．(4分）
（2）由（1），知双曲线的方程为，则渐近线的方程为．
不妨设，，，，．
，．
点在双曲线上，，化简，得，
，
，
双曲线的标准方程为．(12分）
21．（1）因为为等差数列，设公差为d，
所以，解得，
所以 （4分）
（2）由（1）可得，
当n为偶数时，
，
，
因为不等式恒成立，
所以对于一切偶数都成立，
令，
原不等式转化为对于一切偶数n，恒有，
又，
所以当时，，递增，
所以在n=2处取得最小值，
因为，
所以的最小值为2，
所以.
当n为奇数时，
，
，
因为不等式恒成立，
所以对一切奇数n恒成立，即对一切奇数n恒成立，
因为，
所以，
综上实数的取值范围为.（12分）
22．（1）由题意知，，∴，，
∴椭圆的方程为：（3分）
（2）设，，联立方程
得
由题意知，，
∴
∴圆的半径
联立得：
∴，，∴
又，∴，∴
令，则，
∴
当即时等号成立
∴，∴
（12分）
综上所得：的最小值为2，的最大值为（12分）