人教版2022年八年级数学下册第16章《二次根式》单元测试卷 (word版含解析)

人教版2022年八年级下册第16章《二次根式》单元测试卷
满分120分 时间80分钟
一、选择题(共30分)
1．如果x是任意实数，下列各式中一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．＝4 B． C．＝﹣2 D．
4．若， 则x的取值范围是（ ）
A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1
5．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系内有一点P（x，y），已知x，y满足＋|3y＋5|＝0，则点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
8．化简x，正确的是（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
9．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简代数式，结果为（　　）
A．2a B．2b C．﹣2a D．2
10．已知x＝，则x6﹣2x5﹣x4＋x3﹣2x2＋2x﹣的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
二、填空题(共24分)
11．要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________
12．比较和的大小：______(用“”，“”或“=”连接)．
13．=______．
14．若实数 x ，y满足等式：，则xy=_________
15．已知长方形的面积为12，共中一边长为，则该长方形的另一边长为_______．
16．若xy＝2，则x+y＝_______________．
三、解答题(共66分)
17．(8分)化简：
（1） （2）
18．(8分)先化简，再求值：，其中．
19．(8分)设a，b，c为△ABC的三边，化简： .
20．(8分)阅读下列内容：因为，所以，所以的整数部分是1，小数部分是．试解决下列问题：
（1）求的整数部分和小数部分；
（2）若已知的小数部分是，的整数部分是，求的值．
21．(8分)求的值．
解：设x=，两边平方得：，即，x2=10
∴x=．
∵＞0，∴=．
请利用上述方法，求的值．
22．(8分)已知 x＝+，y＝﹣，求：
（1）的值；
（2）2x2+6xy+2y2的值．
23．(9分)在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：
3+2＝2+2+1＝()2+2+1＝(+1)2；
5+2＝2+2+3＝()2+2××+()2＝(+)2
(1)请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：
①4+2；②6+4
(2)若a+4＝(m+n)2，且a，m，n都是正整数，试求a的值．
24．(9分)在初、高中阶段，要求二次根式化简的最终结果中分母不含有根号，也就是说当分母中有无理数时，要将其化为有理数，实现分母有理化．比如：
（1）；
（2）．
试试看，将下列各式进行化简：
（1）；
（2）；
（3）．
参考答案
1．C
【分析】
根据二次根式有意义，二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义，分母不为零进行分析即可．
【详解】
解：A．当x＜0时，无意义，故此选项不符合题意；
B．当x=0时，无意义，故此选项不符合题意；
C．x是任意实数，都有意义，故此选项符合题意；
D．当x＞0或x＜0时，无意义，故此选项不符合题意．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式的被开方数为非负数．
2．B
【分析】
根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、是最简二次根式，故本选项正确；
C、中被开方数中有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、中被开方数中有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3．B
【分析】
由题意根据二次根式的性质分别对每个选项进行判断，即可得出正确答案．
【详解】
解：A. ，此选项计算错误；
B. ，此选项计算正确；
C. ＝2，此选项计算错误；
D. 无法计算，此选项计算错误；
故选：B.
【点睛】
本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简运算是解题的关键.
4．A
【分析】
等式左边为算术平方根，结果为非负数，即1-x≥0．
【详解】
解：由于二次根式的结果为非负数可知，
1-x≥0，解得x≤1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，掌握是解题的关键．
5．C
【分析】
利用二次根式的性质进行化简，即可得到答案．
【详解】
解：∵，
∴；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质进行化简．
6．D
【分析】
根据二次根式有意义的条件以及绝对值非负性求出的值，然后判断点P（x，y）所在的象限即可．
【详解】
解：∵＋|3y＋5|＝0，
∴，，
解得：，，
∴在第四象限，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，根据点的坐标判断其所在的象限，根据题意得出点的坐标是解本题的关键．
7．B
【分析】
先进行二次根式的计算，再根据的取值范围确定结果的取值范围．
【详解】
解：，
∵25<27<36，即5<<6，
∴在5和6之间，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
8．C
【详解】
根据二次根式有意义的条件可知﹣＞0，求得x＜0，然后根据二次根式的化简，可得x =﹣ =﹣.
故选C．
9．C
【分析】
先根据a、b在数轴上的位置，即可推出，，，由此进行求解即可．
【详解】
解：由数轴得：，，
∵，
∴
∴，，，
∴，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了根据数轴判定式子的符号，无理数故值，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
10．C
【分析】
对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可．
【详解】
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简求值，对所求式子进行变形，反复代入x的值即可解决．
11．##
【分析】
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】
由题意得，，
解得．
故答案是：．
【点睛】
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．
【分析】
二次根式比较大小，只需比较被开方数大小，即将被开方数平方即可．
【详解】
解：∵，，，
∴．
故答案为．
【点睛】
本题考查了无理数比较大小，解题关键是明确算术平方根比较大小，被开方数大的数较大．
13．5
【分析】
先合并同类项，再计算除法即可．
【详解】
解：
=5
=5．
故答案为：5．
【点睛】
此题考查二次根式的混合运算，正确合并同类二次根式，掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．
14．-4
【分析】
根据二次根式有意义的条件即可得到则，由此即可求出，然后代值计算即可．
【详解】
解：∵有意义，
∴，
∴即，
∴，
∴，
故答案为：-4．
【点睛】
本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式有意义的条件为被开方数大于等于0．
15．
【分析】
根据二次根式的除法法则进行计算．
【详解】
解：由题意得：，
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的除法，关键是掌握二次根式的除法法则：．
16．±2
【分析】
分两种情况讨论，若x、y均大于0和若x、y均小于0，再化简，即可求解．
【详解】
解：若x、y均大于0，
则原式＝x +y ＝2＝2；
若x、y均小于0，
则原式＝﹣x ﹣y ＝﹣2＝﹣2；
综上，原式的值为±2．
故答案为：±2．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
17．（1）；（2）-2
【分析】
(1)先利用乘法的分配律去掉括号，分母有理化，再用二次根式的加减计算即可；
(2)先利用平方差公式计算前面部分，同时化简二次根式，再计算乘方和除法，再有理数减法即可．
【详解】
解：（1），
，
．
（2），
，
=9-8-3，
=-2．
【点睛】
本题主要考查二次根式的加减法乘除混合计算以及平方差公式，解题的关键是熟练地掌握二次根式的运算法则，以及掌握平方差公式及其变形．
18．，
【分析】
先根据分式的混合计算法则化简，然后求出的值，最后代值计算即可．
【详解】
解：
，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，零指数幂，分母有理化，熟知相关计算法则是解题的关键．
19．2a＋4b
【详解】
试题分析：根据三角形的三边关系判定出 的符号，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
试题解析：根据a，b，c为△ABC的三边，得到a+b+c>0，a b c<0，b a c<0，c b a<0，
则原式
点睛：三角形任意两边之和大于第三边.
20．（1）的整数部分是3，小数部分为；（2）的值为．
【分析】
（1）估算无理数的大小即可；
（2）估算无理数，8+，8-的大小，确定a、b的值，代入计算即可．
【详解】
解：（1）∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴的整数部分是3，小数部分为-3；
（2）∵3＜＜4，
∴11＜8+＜12，
∴8+的小数部分a=8+-11=-3，
∵3＜＜4，
∴-4＜-＜-3，
∴4＜8-＜5，
∴8-的整数部分是b=4，
∴ab-3a+4b
=（-3）×4-3×（-3）+4×4
=4-12-3+9+16
=+13，
答：ab-3a+4b的值为+13．
【点睛】
本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是解决问题的前提，求出a、b的值是正确解答的关键．
21．
【分析】
根据题意给出的解法即可求出答案即可．
【详解】
设x=+，
两边平方得：x2=（）2+（）2+2，
即x2=4++4﹣+6，
x2=14
∴x=±．
∵+＞0，∴x=．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．
22．（1）10；（2）26．
【解析】
【分析】
先根据x＝+，y＝﹣，求出x+y和xy的值，把通分后代入计算即可；
（2）先把2x2+6xy+2y2配方，然后把x+y＝2，xy＝1代入计算即可.
【详解】
（1）∵x＝+，y＝﹣，
∴x+y＝2，xy＝1，
∴＝
=；
（2）∵x+y＝2，xy＝1，
∴2x2+6xy+2y2
＝2x2+4xy+2y2+2xy
＝2（x+y）2+2xy
＝2×（2）2+2×1
＝24+2
＝26．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算及配方法，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应.
23．（1）（+1）2；（2+）2；（2）a的值是7或13．
【解析】
【分析】
1）根据完全平方公式求出即可；
（2）先根据完全平方公式展开，再求出m、n的值，再求出a即可．
【详解】
（1）4+2=3+2+1
=（）2+2×+12
=（+1）2；
6+4
=4+4+2
=22+2×2×+（）2
=（2+）2；
（2）∵a+4=（m+n）2，
∴a+4=m2+2mn+3n2，
∴a=m2+3n2，2mn=4，
∴mn=2，
∵m，n都是正整数，
∴m=2，n=1或m=1，n=2；
当m=2，n=1时，a=22+3×12=7；
当m=1，n=2时，a=12+3×22=13，
即a的值是7或13．
【点睛】
本题考查了阅读理解题，涉及了完全平方公式和求代数式的值、二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
24．（1）；（2）；（3）2
【分析】
（1）根据第一个例子可以解答本题；
（2）根据第二个例子和平方差公式可以解答本题；
（3）根据第二个例子和平方差公式把原式化简，找出式子的规律得出结果即可．
【详解】
解：（1）；
（2）；
（3）
＝，
＝，
＝，
＝3－1
＝2．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化和平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的方法．