5.5.2简单的三角恒等变换 课件(共16张PPT)

(共16张PPT)
5.5.2简单的三角恒等变换
人教A（2019）版
必修一
新知导入
温故知新
cos(α±β)=cosαcosβ sinαsinβ
Ｃ（α±β）：
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
S(α±β)：
tan(α±β)
T(α±β):
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α-sin2α=
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
tan2α=
Ｓ2α：
C2α：
T2α：
和、差、倍角公式
新知讲解
半角公式
先看下面的例子：求cos150的值
由cos300=cos2×150=2cos2150-1，即cos2150=
又因为cos150>0，所以cos150=
可以看出通过倍角公式可以将半角化为整角，我们可以推导以下公式：
以上公式可以将二次降为一次，称作降幂公式。
新知讲解
降幂公式通过开方以后可以得到以下公式：
以上公式称作半角公式
新知讲解
新知讲解
例2.求证：
证明：(1)因为
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ，　　　
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ，　　　
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sinαcosβ
即
(2)由(1)可得
sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sinαcosβ． ①
设α＋β＝θ，α－β＝φ，
则：
把α，β的值代入①，即得
辅助角公式
利用和角差角公式，看下面例子：
反之
我们给出一般情况下的公式：
其中
新知讲解
新知讲解
例3、求下列函数的周期，最大值和最小值：
(1)y＝sinx＋ cosx；　　　 (2)y＝3sinx＋4cosx
解：(1)y=sinx＋ cosx=2( sinx＋ cosx)
=2(sinxcos ＋cosxsin ）=2sin(x＋ )
因此，所求周期为2π，最大值为2，最小值为-2
(2)设3sinx＋4cosx＝Asin(x＋φ），则
3sinx＋4cosx=Asinxcosφ＋Acosxsinφ．
则：
Acosφ＝３，Asinφ＝４
A２cos2φ＋A２sin2φ＝25
所以
A２＝25
取A＝5，则cosφ＝ ，sinφ＝
由y＝5sin(x＋φ)可知，所求周期为２π，最大值为５，最小值为-5
合作探究
例4、如图，已知OPQ是半径为１，圆心角为 的扇形，C是扇形弧上的动
点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠POC＝α，求当角α取何值时，矩形
ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
解：
在Rt△ABC中，OB＝cosα，BC＝sinα
在Rt△OAD中， ＝tan60°＝
所以
OA＝ DA＝ BC＝ sinα，
AB＝OB－OA＝cosα－ sinα
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AB·BC
=(cosα－ sinα)sinα
＝sinαcosα－ sin２α
＝ sin2α－ (1－cos2α）
＝ ( sin2α＋ cos2α)－
＝ sin(2α＋ )-
由0＜α＜ ，得 ＜2α＋ ＜ ，所以当2α＋ ＝ ，即α＝ 时，
S最大＝ － ＝
因此，当α＝ 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为
合作探究
课堂练习
课堂总结
1、降幂公式、半角公式、辅助角公式
2、三角函数式的化简
(1)三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名．能求值的
求值，必要时切化弦，更易通分、约分．
(2)三角函数式化简的要求
①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．
板书设计
降幂公式：
半角公式：
辅助角公式：
其中
作业布置
3、课本P2286、7、9、12
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