石景山区 2021—2022 学年第一学期高二期末试卷
数 学
本试卷共 6页，满分为 100分，考试时间为 120分钟．请务必将答案答在答题卡上，
在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项．
1．直线 x y 0的倾斜角为 ( )
A. 45 B. 60 C. 90 D. 135
2．点 (5, 3)到直线 x 2 0的距离等于 ( )
A. 7 B. 5 C. 3 D. 2
3．已知 m，n是两条不同直线， ， ， 是三个不同平面，下列命题中正确的是 ( )
A. 若m // ， n // ，则m // n B. 若 ， ，则 //
C. 若m // ，m // ，则 // D. 若m ， n ，则m // n
4．已知平面 的法向量为 (2, 4, 2)，平面 的法向量为 ( 1,2, k)，若 / / ，则 k ( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
5．下列双曲线中以 y 2x为渐近线的是 ( )
A. x2 y
2 2 2 2
1 B. x2 y 1 C. y2 x 1 D. y2 x 1
2 4 2 4
高二数学试卷第 1页（共 6页）
6. 若 a (2, 3,1)， b (2,0,3)， c (0,2,2) ，则 a (b c)的值为 ( )
A. 3 B. 4 C. 7 D. 15
7．如图，在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为 A1B1和 BB1的中点，那
么直线 AM与 CN夹角的余弦值为 ( )
A. 3 B. 10
2 10
C. 3 D. 2
5 5
8．已知椭圆 C的焦点为 F1( 1,0)， F2 (1,0).过点 F1的直线与椭圆 C交于 A，B两点．若
△ ABF2的周长为 8，则椭圆 C的标准方程为 ( )
x2 y2 x2 y2 2 2 2 2A. 1 B. 1 C. x y 1 D. x y 1
16 15 8 7 4 3 3 4
9．已知直线 l：kx y 1 k 0 和圆 C：x2 y2 4x 0，则直线 l与圆 C的位置关系为
( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
10．我们知道：用平行于圆锥母线的平面 (不过顶点 )截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线
是抛物线的一部分.如图，在底面半径和高均为 2的圆锥中，AB，
CD是底面圆的两条互相垂直的直径，E是母线 PB的中点，已
知过 CD与 E的平面与圆锥侧面的交线是以 E为顶点的圆锥曲
线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于 ( ).
A. 1 B. 2 C. 2 D. 1
2 2
高二数学试卷第 2页（共 6页）
第二部分（非选择题 共 60 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．
11．在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，M为 AD1的中点，则三棱锥M ABC 的
体积是__________.
12．如果直线m2x y 0与直线 x my 1 0垂直，那么m .
13．正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长是 1，则直线 BC与平面 ABC1D1所成角的大小为 .
14． P为抛物线 y 2x2 上一动点，当点 P到直线 2x y 4 0的距离最短时， P点的坐
标是__________.
15. 在平面直角坐标系中，到两个定点 A(0,1)和 B(0, 1)的距离之积等于 2的轨迹记作曲
线 C.对于曲线 C，有下列四个结论：
① 曲线 C是轴对称图形；
②曲线 C是中心对称图形；
③曲线 C上所有的点都在单位圆 x2 y2 1内；
④曲线 C上所有的点的横坐标 x [ 1,1].
其中，所有正确结论的序号是__________.
高二数学试卷第 3页（共 6页）
三、解答题共 5 小题，共 40 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．(本小题满分 6分)
已知点 A(1,3)， B(3,1)，C( 1,0) .求：
（Ⅰ） BC边上的中线所在直线的方程；
（Ⅱ）三角形 ABC的面积.
17．（本小题满分 8分）
如图，在四棱锥 P ABCD中，PB 平面 ABCD，AB BC，AD // BC ，AD 2BC，
点 E为棱 PD的中点．
（Ⅰ）求证：CE //平面 PAB；
（Ⅱ）求证： AD 平面 PAB.
高二数学试卷第 4页（共 6页）
18．（本小题满分 8分）
在平面直角坐标系中，已知点O(0,0)， A(1,1)， B(2,0)，△OAB的外接圆为圆 M，
直线 l的方程为 y kx 2.
（Ⅰ）求圆 M的方程；
（Ⅱ）若直线 l与圆 M相交于 E，F两点， | EF | 2 ，求 k的值.
19．(本小题满分 9分)
如图 1，在直角梯形 ABCD AB // CD AD DC AB AD 1中， ， ，且 CD 1 .现以
2
AD为一边向梯形外作正方形 ADEF，然后沿边 AD将正方形 ADEF折起，使 ED DC，
M为线段 DE上的动点，如图 2.
图 1 图 2
（Ⅰ）求二面角C BE A的大小；
DM
（Ⅱ）设 ，若 AM 所在直线与平面 BCE相交，求 的取值范围.
DE
高二数学试卷第 5页（共 6页）
20． (本小题满分 9分)
2 2
E : x y 1(a b 0) A(0, 1) 2椭圆 2 2 ，经过点 ，且离心率为 .a b 2
（Ⅰ）求椭圆 E的方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线与椭圆 E交于 P,Q两点，点M (2,0)，O为坐标原点，证明：
OMP OMQ.
高二数学试卷第 6页（共 6页）石景山区 2021—2022 学年第一学期高二期末
数学试卷答案及评分参考
一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4分，共 40 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D C B A D C A C
二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．
题号 11 12 13 14 15
2 1 1
答案 0或-1 ( , ) ①②④
3 4 2 2
三、解答题：本大题共 5 个小题，共 40 分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步
骤．
16．(本小题满分 6分)
解:（Ⅰ）因为 A(1,3)， B(3,1)，C( 1,0)，
1
所以线段 BC的中点坐标为 (1, )， …………………………1 分
2
所以 BC边上的中线所在的直线的斜率不存在，
BC边上的中线所在的直线方程为 x 1. …………………………3 分
BC y 0 x 1（Ⅱ）直线 的方程为 ，即 x 4y 1 0，
1 0 3 1
A BC d |1 3 4 1| 10 17则点 到直线 的距离 ，
12 42 17
又 | BC | (3 1)2 (1 0)2 17 ，
1 10 17
故 S ABC 17 5 . …………………………6 分2 17
高二数学答案第 1页（共 5页）
17．(本小题满分 8分)
证明：（Ⅰ）取 PA中点 F，连接 EF，BF，因为 E为 PD中点，F为 PA中点，
EF // AD EF 1所以 ，且 AD .
2
1
又因为 BC // AD，且 BC AD
2 ，
所以 EF // BC，且 EF BC .
所以四边形 BCEF为平行四边形，
所以CE // BF，
因为CE 平面 PAB， BF 平面 PAB
所以CE //平面 PAB. …………………………4 分
（Ⅱ）因为 PB 平面 ABCD， AD 平面 ABCD
所以 PB AD
又因为 AB BC， AD // BC
所以 AD AB，
又 AB PB B，AB、 PB 平面 PAB
所以 AD 平面 PAB. …………………………8分
18．(本小题满分 8分)
解：（Ⅰ）圆 M经过点O(0,0)、 A(1,1)、 B(2,0)，
所以OA AB，|OA | | AB |， …………………………2 分
所以圆心为M (1,0)，半径为 r 1， …………………………3 分
则圆 M的方程为 (x 1)2 y2 1； …………………………4 分
（Ⅱ）设圆心M (1,0)到直线 l的距离为 d，
因为直线 l与圆 M相交于 E，F两点， | EF | 2 ，
| EF | 2 2
所以 ( )2 d 2 r 2，得 ( )2 d 2 1，则 d ………………………6分
2 2 2
高二数学答案第 2页（共 5页）
| k 2 | 2
所以 ，解得 k 1或 k 7 . …………………………8 分
k 2 1 2
19．(本小题满分 9分)
解：因为 ED DC，所以，易得DA,DC,DE
两两垂直，以 D为坐标原点，DA,DC,DE方
向分别为 x轴，y轴，z轴正方向，建立如图
所示空间直角坐标系，
则C(0,2,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，E(0,0,1) .
（Ⅰ） AB (0,1,0)， EB (1,1, 1)，CB (1, 1,0)，
设平面 ABE的法向量 n1 (x1 , y1 , z1)
n1 AB n1 AB y1 0，
n1 EB n1 EB x1 y1 z1 0，
令 x1 1，得 y1 0, z1 1.
所以平面 ABE的法向量 n1 (1,0,1) . …………………………2分
设平面CBE的法向量 n2 (x2 , y2 , z2 )
n2 EB n2 EB x2 y2 z2 0
n2 CB n2 CB x2 y2 0
令 x2 1，得 y2 1, z2 2 .
所以平面CBE的法向量 n2 (1,1,2) . …………………………3分
cos n ,n n n 1 0 2 3 1 2 1 2 …………………………5 分
n n 2 6 21 2
高二数学答案第 3页（共 5页）
二面角C BE A 5为钝角，所以二面角C BE A的大小为 . ………………6 分
6
DM
（Ⅱ）因为 ，所以M (0,0, )且 [0,1],
DE
AM ( 1,0, )，
因为 AM 所在直线与平面 BCE相交，
所以 AM n2 1 2
1
0，解得 ， ………………8 分
2
1 1所以 的取值范围为 [0, ) ( ,1]. ………………9分
2 2
20．(本小题满分 9分)
c 2
解：（Ⅰ）由题设知， ，b 1， …………………………1 分
a 2
结合 a2 b2 c2，解得 a 2，
x2
所以椭圆的方程为 y2 1 . …………………………3 分
2
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得椭圆的右焦点为 (1,0)，
当直线 PQ斜率存在时，设直线 PQ的方程为 y k(x 1)， P(x1, y1)，Q(x2 , y2 )，
x2
代入椭圆方程 y2 1，
2
可得 (2k 2 1)x2 4k 2x 2k 2 2 0，易知 0，
4k 2 2k 2x x x x 21 2 2 ， 1 2 2 ， …………………………5 分2k 1 2k 1
k k y1 y2 k(x1 1) k(x则 2 1)MP MQ x1 2 x2 2 x1 2 x2 2
k x1 1 x2 2 k x2 1 x1 2
x1 2 x2 2
2kx1x2 3k x x 4k 1 2
(x1 2)(x2 2)
高二数学答案第 4页（共 5页）
2k 2k 2 2 12k 3 4k 2k2 1
2k 2 1 0，
(x1 2)(x2 2)
则 OMP OMQ； …………………………8 分
当直线 PQ斜率不存在时，PQ垂直 x轴，由对称性易知 OMP OMQ，
综上， OMP OMQ. …………………………9 分
（以上解答题，若用其它方法，请酌情给分）
高二数学答案第 5页（共 5页）
