绝密★启用前 试卷类型：A
2021-2022学年上学期期末高三学业质量检测试卷
数学试题答案及评分参考 2022.1
一、单项选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A D B A A B
二、多项选择题：
题号 9 10 11 12
答案 AD BD BC BCD
12. 在△中，，且，，若将△沿边上的中线折起，使得平面平面. 点在由此得到的四面体的棱上运动，则下列结论正确的为
A． B．四面体的体积为
C．存在点使得△的面积为 D．四面体的外接球表面积为
解析：（1）考查选项A：设为中点，易知平面，故，若，则，∴平面，从而，显然不可能，故选项A错误；
（2）考查选项B：考查三棱锥的体积，易知△的面积为，
在平面中，过作的垂线，交的延长线于点，易知，
∵平面平面，∴到平面，即三棱锥的高为，
∴三棱锥的体积为，
∴四面体的体积亦为，故选项B正确；
（3）考查选项C：显然当平面时，△的面积取得最小值，
易知，且，∴，
又四面体的体积为，∴，∴，
且△的面积为，∴存在点使得△的面积为，故选项C正确；
（4）考查选项D：设△与△的外心依次为，，
过作平面的垂线，过作平面的垂线，
则四面体的外接球球心为直线与的交点，
易知四边形为矩形，且，，
∴四面体的外接球半径，
∴外接球表面积为，故选项D正确；
综上所述，应选BCD.
三、填空题：
13. （或者，均可）； 14. ； 15. ； 16. .
16. 已知存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围为 .
解析：∵，
显然可取等号，∴的最小值为，
∴只需存在实数，使得成立即可，即，
易知当时，，∴，
∴，∴实数的取值范围为，故应填.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
设△的内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
(2) 若边上的高为，求.
解：(1) （解法一）由余弦定理，得，…………………………1分
∴，
∴，…………………………………………………………………3分
又∵，
∴，∴， ………………………………………………………………4分
∵为△的内角，∴，∴. …………………………………………5分
（解法二）由正弦定理，得，……………………………………1分
∴，
∵，，为△的内角，∴，
∴，
∴， …………………………………………………………………3分
∵，，∴，， ………………………………………4分
∴. ………………………………………………………………………………………5分
(2)∵△的面积，∴， …………………………………7分
由余弦定理，得，
∴， …………………………………………………………………………………9分
∴. ……………………………………………10分
或者亦可. …………………………10分
18．（12分）
已知数列满足，，且 ().
(1) 证明：数列是等比数列；
(2) 记的前项和为，且任意，均有，求实数的最小值.
解：(1)∵，∴，…………………………………2分
又∵， …………………………………………………………………………3分
∴是以为首项，为公比的等比数列， …………………………………4分
(2)（解法一）由(1)易知， …………………………………………………5分
∴，，…，（）， …………………6分
∴（），
∴（）， ………………………………………………………………………8分
经检验当时，，亦满足，
∴()， ……………………………………………………………………9分
∴， …………………………………………………………10分
∵任意，均有，
∴() …………………………………………………11分
显然()，∴,即实数的最小值为. ………………………12分
（解法二）由()得，()，…………6分
又，∴数列为常数列，即()，………………7分
∴()，即数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴()， ……………………………………………………………………9分
∴， …………………………………………………………10分
∵任意，均有，
∴() …………………………………………………11分
显然()，∴,即实数的最小值为. ………………………12分
19．（12分）
已知甲、乙、丙三个研究项目的成员人数分别为，，. 现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行睡眠时间的调查.
(1) 应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取多少人？
(2) 若抽出的人中有人睡眠不足，人睡眠充足，现从这人中随机抽取人做进一步的访谈调研. 若用随机变量表示抽取的人中睡眠充足的成员人数，求的分布列与数学期望.
解：(1)由已知，甲、乙、丙三个研究项目的成员人数之比为， ……2分
∴应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取的人数为，，，
∴，解得，
∴应从甲、乙、丙三个研究项目的成员中分别抽取人，人，人. …………………4分
(2)随机变量的所有可能取值为， …………………………………………………5分
则，，
，， …………………………9分
∴随机变量的分布列为
………………………………………………………………………11分
随机变量的数学期望. …………………12分
20．（12分）
如图，在三棱锥中，△为等腰直角三角形，，△为等边三角形.
(1) 证明：；
(2) 若直线与平面所成的角为，点在棱上，且，求二面角的大小.
解：(1) 证明：如图，取的中点，连接，， ………………………………1分
∵，∴， ………………………………………………………………2分
∵△为等边三角形，∴， …………………………3分
又∵，平面，
∴平面， ……………………………………4分
又∵平面，
∴. …………………………………………………………………5分
(2)（解法一）由(1)不难知道，在平面内，若过作直线的垂线，则该垂线亦为平面的垂线，故直线在平面内的射影为直线，
∴为直线与平面所成的角，即，……………………………6分
不放设，∵，为的中点，∴，
∵△为等边三角形，∴，
在△中，由正弦定理得，∴，∴，即，
由(1)知，，且，…………………………………………………………7分
以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得，，，，
则有，，………………………………………………………8分
易知为平面的一个法向量，…………………………………………………9分
设为平面的一个法向量，
则 即∴
则平面的一个法向量为，…10分
，…………11分
由图可知，二面角为锐角，
∴二面角的余弦值为，∴二面角的大小为. ……………12分
（解法二）过作，垂足为，过作，垂足为，连接，
由(1)不难知道，在平面内，若过作直线的垂线，则该垂线亦为平面的垂线，故直线在平面内的射影为直线，
∴为直线与平面所成的角，即，……………………………6分
不放设，∵，为的中点，∴，
∵△为等边三角形，∴，
在△中，由正弦定理得，∴，
∴，即.
结合(1)可知，二面角为直二面角，…………7分
∴平面，又平面，∴,
又，平面，∴平面，又平面，
∴，∴为二面角的平面角. ………………………………8分
∵，，∴，，， ……………………9分
取的中点，连接，则，，
∴，…………………………………………………………………10分
∴， …………………………………………………………………11分
∴二面角的余弦值为，∴二面角的大小为. ……………12分
21．（12分）
在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线与交于异于点的，两点，记直线，的斜率分别为，，当时，.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 证明：为定值.
解：(1) ∵在上，∴，………………………………………………………1分
当时，直线的方程为：，
将代入，并整理得，
解得，或，………………2分
∴，解得，
∴椭圆的方程为：. ………………………………………………………4分
(2)由题意知，直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，，， ………………………5分
联立得， ………………………7分
∴，且， …………………………………………………8分
∴
， ……………11分
∴，即为定值. ………………………………………………………12分
22．（12分）
已知定义在上的函数().
(1) 求的单调递增区间；
(2) ，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：(1) ， ………………………………………………………………1分
①当时，，
∴在上单调递减，即无单调递增区间；………………………………………2分
②当时，令，则，
∴在上单调递增， ……………………………………………………………………3分
令，解得，
∴当时，；当时，，………………4分
∴在上单调递减；在上单调递增，
∴的单调递增区间为，
综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，无单调递增区间. ……………………………………………………………………………………5分
(2)由(1)可知，当时，有最小值，且最小值为，
即，，当且仅当时等号成立， ………………………………………6分
易知不等式等价于，
∴当时，须有成立， ………………………………………………………7分
令，则，
∴在上单调递增，
又，
∴等价于， …………………………………………………………………8分
下证当时，，有不等式恒成立.
（证法一）一方面，∵，，
∴，，即， …………………………………………9分
∴，，
∴，， ……………………………………………………10分
∴只需证当时，，有不等式恒成立即可，
另一方面，由，，可得，∴，
又当时，，显然有， …………………………………………11分
∴当时，，显然有不等式恒成立，
∴当时，，显然不等式恒成立，
综上所述，实数的取值范围为. ………………………………………………12分
（证法二）令，，则，
∴为单调递增函数，
∴的最小值为， ………………………………………………9分
下证，∵，，∴只需证，
∴只需证，即证，…………………………………………10分
令，则，
易知的最小值为，∴，即，
∴当时，，显然有不等式恒成立，
∴当时，，显然不等式恒成立，
综上所述，实数的取值范围为. ………………………………………………12分
高三数学参考答案及评分标准 第 1 页 共 9 页绝密★启用前
试卷英型:A
2021-2022学年第一学期期末质量检测试题
高三数学
注意事项
].本试卷共4页,共22题,满分150分,老试用时120分钟
2.答詮前,考生竻必将甪己的学校,班级和姓填在答题卞上,正确粘贴糸形码
作答选择题时,用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂
非选择趣的答案必写在答趣卡各题日的指定Ⅸ域內相应位置上,不雀使用铅笔和涂改氵
考试结束后,考生上交答
单项选择题;本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有
项是符合题目要求的
1.已知复数z=(1+i)·i(i为虚数单拉),则z的共轭复数
2.设集合M={x|y=√x,N={y|y=1-x2},则M∩N
C.[0,1
D,(0,1)
(x+2)的各项系数和为
4.已知
则eosa-
C
5.为了分析某次考试的情况,随机抽取了若十学生,将其考试
频率/组距
成绩分组为:
[100.110),[110,120),[20.13
30,140),「140,1501
并绘制成如右图所示的频率分布直方图,据此可估计该次考试
成绩的中位数m∈(k,k+1),则整数k的饩为
B.100
D.102
6.设实数a>0,则“
g(a+)>0”的
A.充分不必要条仁
必要不允分条件
C.充分必要条件
D).既不充分也个必要条件
高三敫学试题第1页共4页
正E方体ABCD-4BC1D1,O为正方形ABCD的中心,P为A4的中点,则直线PO与AD1所戍的
8.阿波罗尼新(公元前
前190年),古希腊人,与刚基米德、欧八里得·起被誉为占希腊三
大数学家.阿波罗尼斯研究了众多平而轨迹问题,其中阿波罗尼斯员是他的论著中的一个著名问题:
面上两点A,B,则所有满足A=1(2>0,且A41)的点P的轨迹是个圆.已知平面内的两
个相异定点P,
动点M满足|MP|=21MQ,记M的轨迹为C,若与C无公共点的直线上在
点R,使得|MR的最小值为6,且最大值为10,则C的长度为
、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多
项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分
9.已知点O是边长为1的正方形ABCD的
则卜列结论止确約为
IAR
已知d为等差数列{an}的公差,Sn为其前n项和,若{an}为递减数列,则下列结论花确的为
A.数列{S}为递减数列
B3.数列{一}是等差数
S,S依次成等差数列
若S5>0,S
则
1.在平面直角坐标系Oy中,点A4(1.0),动点M(x,y)(x≥0),记M到y轴的距离
将满足
AM|=d+1的M的轨迹记为r,且直线l:Ax-y+k=与r交于相异的两点P(x1,y),Q(x2,y2)
则下列结论正确的为
A.曲线r的方程为p2=2
B3.直线/过定点(-1,0)
片可能是輕数
AB⊥BC,凡AC=2
若将△ABC沿AC边上的中线BD折起,使得平面
ABD⊥平而BCD.点E在由此得到的四而体ABCD的棱AC上运动,则下列结论正俑的为
B.匹面体ABCD約体积为
C.存在点E使得△BDE的面积为
冂.四而休ABCD的外接球表面积为
尚三学試题第2页共4页
