湖南省长沙市长沙县、望城区、浏阳市2021-2022学年高二上学期期末调研考试数学试题（Word 扫描版含答案）

2021年下学期期末考试试卷
高二数学参考答案
时量：120分 分值：150分
一、选择题 ：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若两直线与平行，则的值为 A
A． B．2 C． D．0
2.若抛物线过点，则该抛物线的焦点坐标为 A
A. B. C. D.
3.若曲线在处的切线，也是曲线的切线，则 C
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为16，则椭圆的方程为D
A. B. C. D.
5.在等比数列中，是函数的极值点，则 B
A. B. C. D.
6.已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则B
A. B. C. D.
7. 已知矩形，为平面外一点，且平面，，分别为，上的点，且，，，则 B
A. B. C. 1 D.
8.已知函数是定义在上的奇函数，是的导函数，且，当时，则使得成立的的取值范围是B
A. B. C. D.
二、多选题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9.已知双曲线过点且渐近线为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐
标原点，为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是 AB
A. 双曲线的离心率为2 B. 双曲线的方程是
C. 的最小值为2 D. 直线与有两个公共点
10.已知递减的等差数列的前项和为，，则 ABD
A. B. 最大 C. D.
11.下列说法错误的是 ACD
A．若直线与直线互相垂直，则
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．过，两点的所有直线的方程为
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
12. 已知函数，若在区间的最小值为且最大值为1，则的值
可以是 AB
A．0 B．4 C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为
胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合
面为一”．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若，且，则解下个环所需的最少移动次数为 ▲ 16
14.已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围是 ▲ _.
15.如图，在三棱锥中，三条侧棱两两垂直，且的
长分别为. 为内部及其边界上的任意一点，点到平面
，平面，平面的距离分别为，则 ▲ 1
16. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆：
，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶
点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，现给出以下四个条件：
①；②；③轴，且；④四边形的内切圆过焦点，.
其中能使椭圆为“黄金椭圆”的条件是 ▲ 和 ▲ ②、④
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）解答下列各题：
（1）求两条平行直线与间的距离.
（5分）
（2）求曲线在点处的切线方程
当时，
所求切线为：，即 （10分）
18.（12分）
已知数列的前项和为，且（），.数列为
等比数列，且.
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
（1）由已知得：，
数列是以2为公差的等差数列.
，，，
. （4分）
设等比数列的公比为，
，，，
. （7分）
（2）由题意，得，
， （8分）
.
上述两式相减，得
（10分）
,
. （12分）
19.（12分）
如图是某圆拱桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度，拱高，建造时每隔需要用一根支柱支撑，求支柱的高度.（结果保留根号）
解：建立如图所示的直角坐标系，使线段所在直线为轴，为坐标原点.则圆拱所在的圆的圆心在轴，点的坐标分别为，设圆心坐标为，圆的半径为，那么圆的方程为：
（5分）
将点的坐标分别为圆的方程得：
解得：
所以圆的方程为 （9分）
将点的横坐标代入圆的方程，得
答：支柱的高度为 (12分)
20.（12分）
在如图所示多面体中，且，，且，
且，平面ABCD，.
（1）求点F到直线EC的距离；
（2）求平面BED与平面EDC夹角的余弦值；
解：（1）由平面ABCD知，，，又，
则建立以D点为原点的空间直角坐标系，如图所示， （（4分）
则，，，，，
，，
则，，
所以点F到直线EC的距离为：
（7分）
（2）由（I）知，，，
设平面BED的法向量为，
则，令，则 （9分）
设平面EDC的法向量为，
则，令，则 （11分）
故
由图知，二面角为锐二面角，故余弦值为 （12分）
21.（12分）
已知椭圆 离心率等于，且椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作倾斜角分别为的两条直线，设与椭圆异于点 的交点分别为，若，试问直线的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.
解：（1）由题意可得，解得
∴椭圆C的方程为； （4分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
当，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，
则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为 （6分）
联立，得
∴， （8分）
同理直线PB的直线方程为
（9分）
∴，，
，
∴AB的斜率为定值． （12分）
法二：设A（）,B()，当，则PA、PB斜率之和为零，显然直线AB的斜率存在，故设直线AB方程为y=kxm, （5分）
（7分）
又 = ① （9分）
故上式中的分子=0， 即
=0
即
（11分）
故 （舍去，因为会使①式的分母为零）
（12分）
22.（12分）
已知函数，．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若时，方程（）在上恰有两个不等的实数根，求实数的取值范围．
解：（1）函数的定义域为，（1分）， (2分 )
设函数，则，（3分）
由得，由得，即函数在递增，在递减，
从而得时，函数取最大值，
所以实数的取值范围是； （5分）
（2）由题意：在上恰有2个不相等的实数根，
设函数，则，
由得， 由得，则在上递减，在 上递增， （7分）
， ，，（10分）
而()在上恰有2个不相等的实数根，
则有，解得，
所以实数的取值范围. （12分）