中小学教育资源及组卷应用平台
三角形的证明 单元测试（基础过关）
考试时间100分钟 总分120
单选题
本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若等腰三角形两边长分别为6和8，则底边上的高等于（ ）
A．2 B． C．2或 D．10
【答案】C
【分析】
因为题目没有说明哪个边为腰哪个边为底，所以需要讨论，①当6为腰时，此时等腰三角形的边长为6、6、8；②当8为腰时，此时等腰三角形的边长为6、8、8；然后根据等腰三角形的高垂直平分底边可运用勾股定理的知识求出高．
【解析】
解：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
边长为6和8的等腰三角形有6、6、8与6、8、8两种情况，
①当三边是6、6、8时，底边上的高AD＝＝＝2；
②当三边是6、8、8时，同理求出底边上的高AD是＝．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和等腰三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
2．等腰三角形的一个外角是110°，则底角为（ ）
A．70°或40° B．55°或70° C．55° D．70°
【答案】B
【分析】
由于外角大于，故应分两种情况：当这个角是底角时和当这个角是顶角时．
【解析】
解：（1）的外角的顶点为顶角顶点，
则底角，
（2）的外角的顶点为底角顶点，
则底角．
故选：
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质：两底角相等，以及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
3．在下列各原命题中，其逆命题为假命题的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
C．等腰三角形两个底角相等
D．同角的余角相等
【答案】D
【分析】
首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．
【解析】
A、逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，故此选项不符合题意；
B、逆命题是：如果一个三角形有两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，故此选项不符合题意；
C、逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，故此选项不符合题意；
D、逆命题是：如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角，是假命题，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
4．如图，在直角坐标系中，△AOB是等边三角形，若B点的坐标是（3，0），则A 点的坐标是（ ）
A．（，3） B．（，） C．（，） D．（，）
【答案】C
【分析】
过点A做AC⊥x轴于点C，根据等边三角形的性质结合点B的坐标即可找出OA、OC的长度，再利用勾股定理即可求出AC的长度，进而可得出点A的坐标，此题得解．
【解析】
解：过点A做AC⊥x轴于点C，如图所示．
∵△AOB是等边三角形，若B点的坐标是（3，0），
∴OA＝OB＝3，OC＝BC＝OB＝，
在Rt△ACO中，OA＝3，OC＝，
∴AC＝，
∴点A的坐标为（，）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质．勾股定理以及坐标与图形性质，利用勾股定理求出AC的长度是解题的关键．
5．如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接AB、AC、BC，形成了一个三角形．若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
【答案】A
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等进行求解即可．
【解析】
∵中转仓到A、B、C三地的距离相等，
∴中转仓的位置应选在△ABC三边的垂直平分线的交点处，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．
6．如如图， Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=10cm，AC=6cm，则BE的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据角平分线的性质得到DE=DC，证明Rt△AED≌Rt△ACD，根据全等三角形的性质得到AE=AC=6cm，结合图形计算，得到答案．
【解析】
解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=DC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE=AC=6cm，
∴BE=AB-AE=10-6=4（cm），
故选：B．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝5，△ABD的周长是13，则BC的长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】
先证明再证明结合 从而可得答案.
【解析】
解： DE是AC的垂直平分线，
△ABD的周长是13，
AB＝5，
故选A
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”是解本题的关键.
8．如图，已知在 A B C中，C D是A B边上的高线，B E平分∠A B C，交C D于点E， B C＝10， D E＝3，则 B C E的面积等于( )
A．6 B．9 C．15 D．1
【答案】C
【分析】
过E作EF⊥BC于F，根据角平分线性质得出EF＝DE＝3，根据三角形面积公式求出即可．
【解析】
解：过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，
∴EF＝DE＝3，
∵BC＝10，
∴△BCE的面积为×BC×EF＝15，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的面积和角平分线性质，能根据角平分线性质求出DE＝EF是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
9．如图，、分别平分、，连接，作于于，若的周长为18，，则的面积为（ ）
A．18 B．30 C．24 D．27
【答案】D
【分析】
如图，过作 垂直分别为证明再利用三角形的面积公式进行计算即可.
【解析】
解：如图，过作 垂直分别为
、分别平分、，,
故选D
【点睛】
本题考查的是三角形的角平分线的性质，三角形的面积的计算，掌握“三角形的角平分线的交点到三角形的三边的距离相等”是解题的关键.
10．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PGAD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③CH=HE；④∠PCF＝∠CPF；⑤∠CPA＝∠CEA．其中，正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【分析】
①根据角平分线的性质和外角的性质即可得到结论；
②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；
③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；
④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果；
⑤先求出∠DCB=2∠CAP+2∠CPA，再求出∠DCB=2∠CAP+2∠CEA，即可得出结果．
【解析】
解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，
∴∠PAB=∠CAB，∠PBE=∠CBE，
∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，
∠PBE=∠PAB+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB；故①正确；
过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，
∴PM=PN=PS，
∴PC平分∠BCD，
∵S△PAC：S△PAB=（AC PN）：（AB PM）=AC：AB；故②正确；
∵BE=BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE（三线合一），
∴CH=HE，故③正确；
∵PG∥AD，
∴∠FPC=∠DCP，
∵PC平分∠DCB，
∴∠DCP=∠PCF，
∴∠PCF=∠CPF，故④正确．
∵CP是∠DCB的角平分线，
∴∠DCP=∠DCB=∠CAP+∠CPA，
∴∠DCB=2∠CAP+2∠CPA，
∵BE＝BC，
∴∠CEA=∠BCE，
∴∠CBA=2∠CEA，
∵∠DCB=2∠CAP+∠CBA=2∠CAP+2∠CEA，
∴∠DCB=2∠CAP+2∠CPA=2∠CAP+2∠CEA，
∴∠CPA＝∠CEA，故⑤正确．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，根据角平分线的性质和平行线的性质解答是解题的关键．
二、填空题 本题共8个小题，11题1分，其他每小题2分，共15分。
11．“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是_________．
【答案】锐角三角形是等边三角形
【分析】
交换题目中的题设和结论即可．
【解析】
解：原命题“等边三角形是锐角三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形”，
结论是“这个三角形是锐角三角形”，
互换条件和结论可得到逆命题“如果一个三角形是锐角三角形，那么这个三角形是等边三角形”．简化为“锐角三角形是等边三角形”，
故答案为：锐角三角形是等边三角形．
【点睛】
本题考查了命题与逆命题，能准确找到命题中的题设和结论是解题的关键．
12．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为____
【答案】60°或120°
【分析】
等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
【解析】
解：当高在三角形内部时（如图1），
∵，
∴，即顶角是60°；
当高在三角形外部时（如图2），
∵，
∴，
∴，即顶角是120°．
故答案为：60或120．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出60°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于点E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则△ADE的周长是______．
【答案】8cm
【分析】
连接，证明进而可得，进而即可求得△ADE的周长．
【解析】
连接，
，
△ADE的周长是cm
故答案为：
【点睛】
本题考查了HL证明三角形全等以全等三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，直线l垂直平分BC，射线m平分∠ABC，且l与m相交于点P，若∠A＝60°，∠ACP＝15°，则∠ABP＝_____°．
【答案】35
【分析】
设∠ABP＝x，根据角平分线定义，线段垂直平分线的性质得到∠PCB＝∠CBP＝x，根据三角形内角和定理列方程，解方程，问题得解．
【解析】
解：设∠ABP＝x，
∵BP平分∠ABC，
∴∠CBP＝∠ABP＝x，
∵直线l垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴∠PCB＝∠CBP＝x，
∴60°+15°+x+x+x＝180°，
解得，x＝35°，
即∠ABP＝35°．
故答案为：35
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，设出未知数，用含x式子表示出各角，列出方程是解题关键．
15．如图，Rt△ABC中，AB，BC＝3，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 _____．
【答案】2
【分析】
根据题意，设，由折叠，在利用勾股定理列方程解出x，就求出BN的长．
【解析】
∵D是CB中点，，
∴，
设，则，
在中，，
，
解得：，
∴．
故答案是：2．
【点睛】
本题考查折叠的性质和勾股定理，关键是利用方程思想设边长，然后用勾股定理列方程解未知数，求边长．
16．如图，等腰ABC中，AB＝AC，ABC的周长＝24，若∠ABC的平分线交AC于点D，且＝5：8，则底边BC的长为__________．
【答案】##
【分析】
过点D作DE⊥BC，DF⊥AB，则有DE＝DF，再由三角形的周长为24，则有AB＝12﹣BC，再利用三角形的面积公式列出分式方程，解方程即可求解．
【解析】
解：过点D作DE⊥BC，DF⊥AB，如图所示：
∵∠ABC的平分线交AC于点D，
∴DE＝DF，
∵C△ABC＝24，AB＝AC，
∴AB＝（24﹣BC）＝12﹣BC，
∵S△ABD：S△CBD＝5：8，
∴，
∴，
解得：．
经检验符合题意，是原方程的解．
故答案为：．
【点睛】
本题考查角平分线性质，三角形周长与面积，分式方程，高相等两三角形面积的比等于底的比，利用面积比构造方程是解题关键．
17．如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2…按此规律上去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠An＋1BnBn＋1＝θn，则θn＝________．
【答案】
【分析】
根据三角形外角性质找到等腰三角形的底角度数变化规律，用α表示出等腰三角形的底角，再平角等于180°列式用α表示出θ1，同理表示出θ2、θ3……，由此即可找到规律求解．
【解析】
解：∵OA1＝OB1，∠AOB＝α，
∴．
∴θ．
∵B1B2＝B1A2，∠A2B1B2＝θ1，
∴，
∵
∴，
同理可求：，，
以此类推， ，，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键在于能够准确找到规律求解.
18．如图中，平分垂直平分线段于点D，点E，F分别在线段上，将沿直线翻折，点C恰好落在点O处，则的度数为________．
【答案】度
【分析】
连接OC、OB，由题意易证△AOB≌△AOC，则有OB=OC=OA，然后可得，进而可得，最后问题可求解．
【解析】
解：连接OC、OB，如图所示：
∵，
∴，
∵OA平分，
∴，
∵OA=OA，
∴△AOB≌△AOC，
∴OB=OC，
∵垂直平分线段，
∴，
∴OB=OC=OA，，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为100°．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的性质定理、折叠的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质定理、折叠的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
三、解答题 19题3分 20-26每题6分 27题12分 28题10分29题14分
19．写出定理“等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高线互相重合”的逆命题，并证明这个命题是真命题．
逆命题：______．
已知：______．
求证：______．
【答案】一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；如图所示，，是的角平分线；是等腰三角形；证明见解析．
【分析】
根据逆命题可直接进行解答，然后写出已知求证，进而根据三角形全等进行求证即可．
【解析】
解：由题意可得，原命题的逆命题为：一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形．这个命题是真命题．
已知，如图所示：
，是的角平分线，求证是等腰三角形．
证明如下：
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
故答案为：一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；如图所示，，是的角平分线；是等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查逆命题、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握逆命题、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定是解题的关键．
20．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）证明，；进而证明 ，即可解决问题；
（2）根据平行线的性质和含的直角三角形的性质解答即可．
【解析】
证明：（1）平分，， ，
，；
在和中，
，
，
；
（2）平分，，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
平分，， ，
，
．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质及其应用等几何知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
21．如图，已知△ABC是等边三角形，BD是AC上的高线．作AE⊥AB于点A，交BD的延长线于点E．取BE的中点M，连结AM．
（1）求证：△AEM是等边三角形；
（2）若AE＝1，求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）利用条件可求得∠E＝60°且利用直角三角形的性质可得出ME＝AM，可判定△AEM的形状；
（2）由条件利用勾股定理可求得AB和BD的长，可求出△ABC的面积．
【解析】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高线，AE⊥AB，
∴∠ABD＝30°，
∴∠E＝60°，
∵点M是BE的中点，
∵在Rt△ABE中，AM＝BE＝EM，
∴△AEM是等边三角形；
（2）∵AE＝1，∠EAB＝90°，∠ABD＝30°
∴BE＝2AE＝2，
由勾股定理得：AB＝，
∴AB＝AC＝BC＝，
∴AD＝AB＝，
∴BD＝，
∴S△ABC＝××＝．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的判定和性质、勾股定理以及直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半，掌握等边三角形的性质和判定是解题的关键．
22．如图①是一个直角三角形纸片，∠C＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD（如图②），求AC和DC的长．
【答案】，
【分析】
由题意可得，，根据勾股定理求得，设，在中，根据勾股定理列方程求解即可．
【解析】
解：由题意可得，，，
根据勾股定理可得：，
设，则，
在中，，即，
解得，
即．
【点睛】
此题考查了利用勾股定理解直角三角形，涉及了折叠的性质，解题的关键是掌握勾股定理．
23．如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G，求证：
（1）BF＝CG；
（2）AB+AC＝2AG．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）连接EB、EC，利用已知条件证明Rt△BEF≌Rt△CEG，即可得到BF＝CG；
（2）根据（1）中的条件证得Rt△AFE≌Rt△AGE，根据全等三角形的性质得到AG＝AF，于是得到结论．
【解析】
（1）证明：连接BE、EC，
∵ED⊥BC，
D为BC中点，
∴BE＝EC，
∵EF⊥AB，EG⊥AG，
且AE平分∠FAG，
∴FE＝EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中，
，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），
∴BF＝CG；
（2）在Rt△AFE与Rt△AGE中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△AGE，
∴AG＝AF，
∴AB+AC＝AB+AG+CG＝AB+AG+BF＝AG+AF＝2AG．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练正确全等三角形的判定定理是解题的关键．
24．如图，在△ABC中，，AD平分，交BC于点D，．
（1）求证：；
（2）若AB＝6cm，则△DBE的周长为多少？
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）根据角平分线的性质证明结合， 从而可得结论；
（2）先证明可得 结合（1）可得 从而可得答案.
【解析】
解：（1） AD平分，，
，
（2）
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，熟练的利用图形的性质证明“”是解本题的关键.
25．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，AB的垂直平分线EF分别交AB，BD，BC于点E，G，F，连接AG，CG．
（1）求证：BG＝CG；
（2）若∠ABC＝42°，求∠CGF的度数．
【答案】（1）见解析；（2）27°
【分析】
（1）由等腰三角形的性质得出AD＝CD，BD⊥AC，则AG＝CG，由垂直平分线的性质得出AG＝BG，则可得出结论；
（2）由直角三角形的性质求出∠BFE的度数，由等腰三角形的性质求出∠BCG，根据三角形外角的性质可求出答案．
【解析】
（1）证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，
∴AD＝CD，BD⊥AC，
∴AG＝CG，
∵AB的垂直平分线EF交BD于G，
∴AG＝BG，
∴BG＝CG；
（2）解：∵EF⊥AB，
∴∠BEF＝90°，
∵∠ABC＝42°，
∴∠BFE＝90°﹣∠ABC＝48°，
∵BD平分∠ABC，AB＝BC，
∴∠GBC＝∠ABC＝＝21°，
∵BG＝CG，
∴∠GBC＝∠GCB＝21°，
∴∠CGF＝∠BFE﹣∠GCF＝48°﹣21°＝27°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
26．如图，在ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，CB边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F．
（1）若CMN的周长为16cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
【答案】（1）16cm；（2）40°
【分析】
（1）根据线段的垂直平分线的性质得到MA=MC，NB=NC，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据四边形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠A+∠B=70°，由∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，计算即可．
【解析】
（1）∵DM是AC边的垂直平分线，
∴MA=MC，
∵EN是BC边的垂直平分线，
∴NB=NC，
AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周长=16cm；
（2）∵MD⊥AC，NE⊥BC，
∴∠ACB=180°-∠MFN=110°，
∴∠A+∠B=70°，
∵MA=MC，NB=NC，
∴∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，
∴∠MCN=∠ACB -∠MCA-∠NCB =∠ACB –(∠A+∠B)=40°．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
27．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，EA⊥AB于点A，EB交AC于点D，且AD＝AE．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）如图2，过E作EF⊥AC于点F．
①求证：AF＝CD；
②若BC＝6，AB＝10，则线段DE的长为_______．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②．
【分析】
（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠ADE，然后根据等角的余角相等得到∠DBC＝∠ABE，即可证明BD平分∠ABC；
（2）①过D作DH⊥AB于H，首先根据角平分线的性质定理得到CD＝DH，然后根据同角的余角相等得到∠AEF＝∠DAH，利用AAS证明△ADH≌△EAF，根据全等三角形的性质得到AF＝DH，即可证明AF＝CD；
②首先根据勾股定理求出AC的长度，然后证明Rt△BCD≌Rt△BHD（HL），根据全等三角形对应边相等得到BH＝BC＝6，设AF＝CD＝x，在Rt△AEF中利用勾股定理列方程求出AF＝CD＝3，即可得到DF的长度，最后在Rt△EFD中利用勾股定理即可求出DE的长．
【解析】
（1）证明：如图1，
∵AD＝AE，
∴∠E＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠BDC，
∴∠E＝∠BDC，
∵EA⊥AB，
∴∠BAE＝90°，
∴∠E+∠ABE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠BDC+∠DBC＝90°，
∴∠DBC＝∠ABE，
∴BD平分∠ABC；
（2）①证明：如图2，过D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，
∴CD＝DH，
∵EA⊥AB，EF⊥AC，
∴∠EAB＝∠AFE＝∠AHD＝90°，
∴∠AEF+∠EAF＝∠EAF+∠DAH＝90°，
∴∠AEF＝∠DAH，
在△ADH与△EAF中，
，
∴△ADH≌△EAF（AAS），
∴AF＝DH，
∴AF＝CD；
②解：∵BC＝6，AB＝10，∠C＝90°，
∴
∵CD＝DH，BD＝BD，
∴Rt△BCD≌Rt△BHD（HL），
∴BH＝BC＝6，
∴，
∵△ADH≌△EAF，
∴EF＝AH＝4，
设AF＝CD＝x，
∴AE＝AD＝8﹣x，
∵EF⊥AC，
∴AE2＝AF2+EF2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴AF＝CD＝3，
∴DF＝，
∴DE＝＝＝2．
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，勾股定理的运用，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线以及熟练掌握以上各知识．
28．阅读下面材料：
（原题呈现）如图1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．
（思考引导）因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到DEC≌DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．
（问题解答）（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；
（2）拓展提升：如图3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长．
【答案】（1）5.8；（2）4.3
【分析】
（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到AD＝DE，∠A＝∠DEC，由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB，得到△BDE是等腰三角形，得出AC＝CE＝3.6，DE＝BE＝2.2，相加可得BC的长；
（2）在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，得到△DEB≌△DBC（SAS），在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论．
【解析】
解：（1）如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．
在△ACD与△ECD中，
，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，
∵∠A＝2∠B，
∴∠DEC＝2∠B，
∴∠B＝∠EDB，
∴△BDE是等腰三角形；
∴BE＝DE＝AD＝2.2，AC＝EC＝3.6，
∴BC的长为5.8；
（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，
∴∠ABC＝∠C＝80°，
∵BD平分∠B，
∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，
在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，
在△DEB和△DBC中，
，
∴△DEB≌△DBC（SAS），
∴∠BED＝∠C＝80°，
∴∠4＝60°，
∴∠3＝60°，
在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，
同理可得△BDE≌△FDE，
∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，
∵∠A＝20°，
∴∠6＝20°，
∴AF＝EF＝2，
∵BD＝DF＝2.3，
∴AD＝BD+BC＝4.3．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键．
29．已知，等边，D在下方，，连接．
（1）如图1，求证：平分；
（2）如图2，点E为上一点，连接并延长，交于点F，若，求证：．
（3）如图3，在（2）问的条件下，过点C作CGBD点G，点H在上，，，，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）7
【分析】
（1）延长DC到E使得CE=BD，先证明△ABD≌△ACE，得到AD=AE，∠ADB=∠AEC，则∠ADE=∠AED，即可推出∠ADB=∠ADC，即可证明AD平分∠BDC；
（2）设AD与BC的交点为O，由（1）得BD平分∠BDC，，再由∠AOB=∠COD，即可得到∠BAO=∠DCO，则可以推出∠DCO+∠DAC=60°，再由∠DFC=∠DAF+∠ADF，∠ADF=2∠BAD，得到∠DFC=∠DAF+2∠DCO=60°+∠DCO，根据∠DCF=∠DCO+∠ECF=60°+∠DCO，即可得到∠DCF=∠DFC，则CD=DF；
（3）延长CG交AD于P，由平行线的性质可得∠BDC+∠PCD=180°，则∠PCD=60°，即可得到∠BCD=∠ACP，再由∠PDC=60°，可证△PDC是等边三角形，得到PC=DC，∠DPC=∠DCP=60°；证明△CDG≌△PCH得到HP=CG，设∠BCD=∠BAD=∠ACP=x，则∠DFC=∠DCF=60°+x，则∠GCE=∠GCD-∠BCD=60°-x，∠ADF=2x，从而得到∠EDC=∠ADC-∠ADF=60°-2x，则∠GEC=∠GDC+∠BCD=60°-x，即可得到CG=GE=HP，再由DP=DH+HP，DF=DE+GE+GF，DP=DC=DF，即可推出DH=DP-HP=DF-GE=DE+GF=7．
【解析】
解：（1）如图所示，延长DC到E使得CE=BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，
∵∠BDC=120°，
∴∠BDC+∠BAC=180°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
又∵∠ACD+∠ACE=180°，
∴∠ABD=∠ACE，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AD=AE，∠ADB=∠AEC，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADB=∠ADC，
∴AD平分∠BDC；
（2）如图所示，设AD与BC的交点为O，
由（1）得BD平分∠BDC，
∴，
又∵∠AOB=∠COD，
∴∠BAO=∠DCO，
∴∠BAC=∠BAO+∠DAC=∠DCO+∠DAC=60°，
∵∠DFC=∠DAF+∠ADF，∠ADF=2∠BAD，
∴∠DFC=∠DAF+2∠DCO=60°+∠DCO，
又∵∠DCF=∠DCO+∠ECF=60°+∠DCO，
∴∠DCF=∠DFC，
∴CD=DF；
（3）如图所示，延长CG交AD于P，
∵CG∥BD，
∴∠BDC+∠PCD=180°，
∴∠PCD=60°，
∴∠BCD+∠PCB=∠ACP+∠PCB=60°，
∴∠BCD=∠ACP，
又∵∠PDC=60°，
∴△PDC是等边三角形，
∴PC=DC，∠DPC=∠DCP=60°，
又∵∠CDG=∠PCH，
∴△CDG≌△PCH（ASA），
∴HP=CG，
设∠BCD=∠BAD=∠ACP=x，则∠DFC=∠DCF=60°+x，
∴∠GCE=∠GCD-∠BCD=60°-x，∠ADF=2x，
∴∠EDC=∠ADC-∠ADF=60°-2x
∴∠GEC=∠GDC+∠BCD=60°-x，
∴∠GEC=∠GCE，
∴CG=GE=HP，
∵DP=DH+HP，DF=DE+GE+GF，DP=DC=DF，
∴DH=DP-HP=DF-GE=DE+GF=7．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的性质与判定条件．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第一章 三角形的证明 单元测试（基础过关）
考试时间100分钟 总分120
一、单选题
本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若等腰三角形两边长分别为6和8，则底边上的高等于（ ）
A．2 B． C．2或 D．10
2．等腰三角形的一个外角是110°，则底角为（ ）
A．70°或40° B．55°或70° C．55° D．70°
3．在下列各原命题中，其逆命题为假命题的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
C．等腰三角形两个底角相等
D．同角的余角相等
4．如图，在直角坐标系中，△AOB是等边三角形，若B点的坐标是（3，0），则A 点的坐标是（ ）
A．（，3） B．（，） C．（，） D．（，）
5．如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接AB、AC、BC，形成了一个三角形．若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
6．如如图， Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=10cm，AC=6cm，则BE的长度是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝5，△ABD的周长是13，则BC的长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
8．如图，已知在 A B C中，C D是A B边上的高线，B E平分∠A B C，交C D于点E， B C＝10， D E＝3，则 B C E的面积等于( )
A．6 B．9 C．15 D．1
9．如图，、分别平分、，连接，作于于，若的周长为18，，则的面积为（ ）
A．18 B．30 C．24 D．27
10．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PGAD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③CH=HE；④∠PCF＝∠CPF；⑤∠CPA＝∠CEA．其中，正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题 本题共8个小题，11题1分，其他每小题2分，共15分。
11．“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是_________．
12．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为____
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于点E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则△ADE的周长是______．
14．如图，在△ABC中，直线l垂直平分BC，射线m平分∠ABC，且l与m相交于点P，若∠A＝60°，∠ACP＝15°，则∠ABP＝_____°．
15．如图，Rt△ABC中，AB，BC＝3，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 _____．
16．如图，等腰ABC中，AB＝AC，ABC的周长＝24，若∠ABC的平分线交AC于点D，且＝5：8，则底边BC的长为__________．
17．如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2…按此规律上去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠An＋1BnBn＋1＝θn，则θn＝________．
18．如图中，平分垂直平分线段于点D，点E，F分别在线段上，将沿直线翻折，点C恰好落在点O处，则的度数为________．
三、解答题 19题3分 20-26每题6分 27题12分 28题10分29题14分
19．写出定理“等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高线互相重合”的逆命题，并证明这个命题是真命题．
逆命题：______．
已知：______．
求证：______．
20．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF．
21．如图，已知△ABC是等边三角形，BD是AC上的高线．作AE⊥AB于点A，交BD的延长线于点E．取BE的中点M，连结AM．
（1）求证：△AEM是等边三角形；
（2）若AE＝1，求△ABC的面积．
22．如图①是一个直角三角形纸片，∠C＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD（如图②），求AC和DC的长．
23．如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G，求证：
（1）BF＝CG；
（2）AB+AC＝2AG．
24．如图，在△ABC中，，AD平分，交BC于点D，．
（1）求证：；
（2）若AB＝6cm，则△DBE的周长为多少？
25．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，AB的垂直平分线EF分别交AB，BD，BC于点E，G，F，连接AG，CG．
（1）求证：BG＝CG；
（2）若∠ABC＝42°，求∠CGF的度数．
26．如图，在ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，CB边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F．
（1）若CMN的周长为16cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
27．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，EA⊥AB于点A，EB交AC于点D，且AD＝AE．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）如图2，过E作EF⊥AC于点F．
①求证：AF＝CD；
②若BC＝6，AB＝10，则线段DE的长为_______．
28．阅读下面材料：
（原题呈现）如图1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．
（思考引导）因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到DEC≌DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．
（问题解答）（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；
（2）拓展提升：如图3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长．
29．已知，等边，D在下方，，连接．
（1）如图1，求证：平分；
（2）如图2，点E为上一点，连接并延长，交于点F，若，求证：．
（3）如图3，在（2）问的条件下，过点C作CGBD点G，点H在上，，，，求线段的长．
