湖南省师大附中2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题

湖南省湖南师大附中2012-2013学年高一第一学期期中考试数学试题
时量：120分钟
满 分：100 分（必考试卷Ⅰ） 50分（必考试卷Ⅱ）
命题人：高一备课组
试卷Ⅰ
一、选择题:本大题共7个小题,每小题5分,满分35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，，则( )
A. B. C. D.
2. 函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（ ）
A. B. C. D.
4． 下列函数中，值域为的函数是（ ）
A. B. C. D.
5．设，则的大小关系是
A. B. C. D.
6． 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
7． 已知函数，若时，有，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.
8.计算 .
9.若幂函数的图像经过点，则的值是 .
10.函数在区间上的最小值是，则的取值范围是 .
11.用二分法求方程在区间上零点的近似值，先取区间中点，则下一个含根的区间是 .
12.给出下列四个命题：①函数是偶函数；②函数与
是相同的函数；③函数的图像是一条直线； ④已知函数的定义域为R，
对任意实数，，当时，都有，则在R上是减函数．其中正确命题的序号是 ．（写出你认为正确的所有命题序号）
13. 设函数， 则是 函数(填奇、偶、非奇非偶)，若，则实数a的取值范围是 .
三、解答题:本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
14．（本小题满分11分）
解关于的不等式：且.
15．（本小题满分12分）
已知函数是上的奇函数，
求的值；
先判断的单调性，再证明之.
16．（本小题满分12分）
已知函数，设其值域是，
（1）求函数的值域；
（2）若函数在内有零点，求的取值范围.
试卷Ⅱ
一、选择题:本大题共1个小题,每小题5分,满分5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数在区间上的最大值与最小值分别是，
则的值为 .
A. B. C. D. 因的变化而变化
二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.
2. 已知二次函数（，是常数，且）有零点，且方程有两个相等的实数根．则的解析式是 .
三、解答题:本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
3.（本小题满分13分）
已知函数.
（1）请在直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的单调区间；
（2）若函数恰有3个不同零点，求实数的取值范围。
4. （本小题满分13分）
经市场调查，某门市部的一种小商品在过去的20天内的日销售量（件）与价格（元）
均为时间（天）的函数，且日销售量近似满足函数（件），而日销售价格近
似满足于（元）．
（1）试写出该种商品的日销售额与时间的函数表达式；
（2）求该种商品的日销售额的最大值与最小值．
5．(本小题满分14分）
一般地，如果函数的图象关于点对称，那么对定义域内的任意，则
恒成立. 已知函数的定义域为，其图象关于点对称.
（1）求常数的值；
（2）解方程：；
（3）求证：（）.
湖南师大附中高一年级数学必修1模块结业考试
答 题 卷
时量：120分钟
必考试卷Ⅰ得分
必考试卷Ⅱ得分
试卷Ⅰ
（满分：100 分）
一、选择题（5′×7＝35′）
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
二、填空题（5′×6＝30′）
8．____________ ____ _ ____； 9．______ __________；
10．________ ______ ___； 11． __________；
12．________ ______ ___； 13． ________.
三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤14．（本小题满分11分）
15．（本小题满分12分）
16．（本小题满分12分）
试卷Ⅱ
（满分：50 分）
1．____________ ____ _ ____； 2．______ __________.
3．（本小题满分13分）
4．（本小题满分13分）
5．（本小题满分14分）
湖南师大附中高一年级数学必修1模块结业考试参考答案
试卷Ⅰ
一．选择题（5′×7＝35′）
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
B
C
A
A
C
B
D
二．填空题（5′×6＝30′）
8．； 9． ； 10．；
11．； 12．①④； 13．奇 、 .
三．解答题:本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
14．（本小题满分11分）
解关于的不等式：且.
当时，，
解集是……………………6分
当时，解集是……………………11分
15．（本小题满分12分）
已知函数是上的奇函数，
(1)求的值；
(2)先判断的单调性，再证明之.
解：（1）据题意有，则……………………5分
（2）在上单调递增，以下证明之：
任取，且
，∴，
故在上单调递增……………………12分
16．（本小题满分12分）
已知函数，设其值域是，
（1）求函数的值域；
（2）若函数在内有零点，求的取值范围.
解：（1）设，则……………………2分
则，……………………4分
即函数的值域……………………6分（2）∵当时，有，
又……………………8分
∴ 函数在内有零点等价于：
关于的方程：在内有解，………………10分
而
∴ ……………………12分
试卷Ⅱ
一、选择题:本大题共1个小题,每小题5分,满分5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数在区间上的最大值与最小值分别是，
则的值为 .
A. B. C. D. 因的变化而变化
二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.
2. 已知二次函数（，是常数，且）有零点，且方程有两个相等的实数根．则的解析式是 .
三、解答题:本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
3.（本小题满分13分）
已知函数.
（1）请在直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的单调区间；
（2）若函数恰有3个不同零点，求实数的取值范围。
解：（1）函数的图象如右图；………………5分
函数的单调递减区间是
单调增区间是及………………8分
（2）作出直线，
函数恰有3个不同零点等价于函数与函数的图象恰有三个不同公共点。
由函数的图象易知： ………………13分
4. （本小题满分13分）
经市场调查，某门市部的一种小商品在过去的20天内的日销售量（件）与价格（元）
均为时间（天）的函数，且日销售量近似满足函数（件），而日销售价格近
似满足于（元）．
（1）试写出该种商品的日销售额与时间的函数表达式；
（2）求该种商品的日销售额的最大值与最小值．
解：（1）由已知得:
……………………6分
（2）由（1）知①当时
该函数在
……………………9分
②当时
该函数在，
……………………12分
由①②知
……………………13分
5．(本小题满分14分）
一般地，如果函数的图象关于点对称，那么对定义域内的任意，则
恒成立.
已知函数的定义域为，其图象关于点对称.
（1）求常数的值；
（2）解方程：；
（3）求证：（）.
解：（1）的定义域为，
由题意有恒成立
，又，……………………4分
（2）由（1）知：
∴
……………………7分
令，则原方程变为：，解之得或，
当时，，无解
当时，……………………9分
（3）由（1）知，
法1：设可写成
两式相加得，
所以 ……………………………………………………14分
法2：由（1）知，再对分奇偶分别证明.