2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市南岗区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市南岗区九年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．﹣的倒数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A．a a2＝a2 B．（a2）3＝a5
C．a+a2＝a3 D．（ab2）2＝a2b4
3．围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平面的是（　　）
A．圆柱体 B．圆锥体 C．长方体 D．球体
4．抛物线y＝（x+1）2﹣3的对称轴是（　　）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣3 D．直线x＝3
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．分式方程＝的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝4 C．x＝6 D．x＝8
7．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（　　）
A．75° B．70° C．65° D．60°
8．点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
9．如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点B′的位置，连接BB′，过点D作DE⊥BB′，交BB′的延长线于点E，则B′E的长为（　　）
A． B． C． D．
10．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（　　）
A．5s时，两架无人机都上升了40m
B．10s时，两架无人机的高度差为20m
C．乙无人机上升的速度为8m/s
D．10s时，甲无人机距离地面的高度是60m
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资110200000元资金．数据110200000用科学记数法可表示为 　 　．
12．函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
13．把多项式a3﹣2a2+a分解因式的结果是　 　．
14．计算+的结果是　 　．
15．已知反比例函数y＝的图象经过点A（1，﹣2），则k＝　 　．
16．不等式组的解集是 　 　．
17．在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同，摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是 　 　．
18．一个扇形的弧长是10πcm，面积是200πcm2，则这个扇形的圆心角是 　 　度．
19．已知△ABC的三个顶点都是边长为6的同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，则点D到直线AB的距离为 　 　．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，BD＝AC，CD＝2，连接AD，若AD＝2，则AC的长为 　 　．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．先化简，再求代数式（1+）÷的值，其中a＝5﹣20．
22．已知：在6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出△ACD，使△ACD与△ACB全等，顶点D在格点上且不与点B重合；
（2）在图2中，过点B画出平分△ABC面积的直线l．
23．为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理．调查小组就某小区居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．
（1）本次调查的样本容量是多少？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）已知该小区有居民1800人，请估计该小区对垃圾分类知识“较少了解”的居民人数．
24．已知：在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AB，DC于点E，F，连接BF，DE．
（1）如图1，求证：四边形DEBF是菱形；
（2）如图2，AD∥EF，且AD＝AE，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中四个度数为30°的角．
25．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15000元，学校需要最少购买多少个足球？
26．已知：△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，且AD⊥BC于点D．
（1）如图1，求证：∠B＝∠C；
（2）如图2，点E在上，连接AE，CE，∠ACE＝∠ACB，求证：∠CAE＝2∠ACE；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作AF⊥CE交CE的延长线于点F，若AE＝5，AB＝13，求AF的长．
27．如图，经过点C（﹣2，﹣3）的抛物线y＝ax2+x﹣交x轴于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，点D在线段OA上，过点D作x轴的垂线交AC的延长线于点E，连接CD，设点D的横坐标为t，△CDE的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点F为BD的中点，连接BC，BE，CF，若∠AFC＝2∠CBE，求S的值．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．﹣的倒数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】利用倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，进而得出答案．
解：∵﹣2×（﹣）＝1，
∴﹣的倒数是﹣2．
故选：B．
2．下列计算正确的是（　　）
A．a a2＝a2 B．（a2）3＝a5
C．a+a2＝a3 D．（ab2）2＝a2b4
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．
解：A、a a2＝a3，故A不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故B不符合题意；
C、a与a2不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、（ab2）2＝a2b4，故D符合题意；
故选：D．
3．围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平面的是（　　）
A．圆柱体 B．圆锥体 C．长方体 D．球体
【分析】根据图形观察，围成立体图形的各个面是平面还是曲面逐一判断即可．
解：A．圆柱体是由平面和曲面围成，故A不符合题意；
B．圆锥体是由平面和曲面围成，故B不符合题意；
C．长方体是由平面围成的，故C符合题意；
D．球体是由曲面围成的，故D不符合题意；
故选：C．
4．抛物线y＝（x+1）2﹣3的对称轴是（　　）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣3 D．直线x＝3
【分析】根据抛物线的顶点式，可以写出该抛物线的对称轴，本题得以解决．
解：∵抛物线y＝（x+1）2﹣3，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
故选：A．
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
6．分式方程＝的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝4 C．x＝6 D．x＝8
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：去分母得：20＝2（x+4），
解得：x＝6，
检验：把x＝6代入得：5（x+4）≠0，
∴分式方程的解为x＝6．
故选：C．
7．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（　　）
A．75° B．70° C．65° D．60°
【分析】先利用对顶角相等和互余得到∠A＝20°，再利用等腰三角形的性质得到∠OBA＝∠A＝20°，然后根据切线的性质得到OB⊥BC，从而利用互余计算出∠ABC的度数．
解：∵OC⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∵∠APO＝∠BPC＝70°，
∴∠A＝90°﹣70°＝20°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠A＝20°，
∵BC为⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°．
故选：B．
8．点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【分析】分别把A、B、C各点坐标代入反比例函数y＝求出y1、y2、y3的值，再比较大小即可．
解：∵点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＝＝2，y2＝＝6，y3＝＝﹣3，
∵﹣3＜2＜6，
∴y3＜y1＜y2，
故选：C．
9．如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点B′的位置，连接BB′，过点D作DE⊥BB′，交BB′的延长线于点E，则B′E的长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】分别延长AD和BE交于点F，利用特殊角三角函数求出EF的长，根据△ABB'是等边三角形，求出B'E＝BF﹣BB'﹣EF即可．
解：分别延长AD和BE交于点F，
由题知，AB＝2，∠ABF＝60°，
∴BF＝AB÷cos60°＝2÷＝4，AF＝BF sin60°＝4×＝2，∠F＝90°﹣∠ABF＝30°，
∴DF＝AF﹣AD＝2﹣2，
∴EF＝DF cos∠F＝（2）×＝3﹣，
由题知，△ABB'是等边三角形，
∴B'E＝BF﹣BB'﹣EF＝4﹣2﹣（3﹣）＝﹣1，
故选：A．
10．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（　　）
A．5s时，两架无人机都上升了40m
B．10s时，两架无人机的高度差为20m
C．乙无人机上升的速度为8m/s
D．10s时，甲无人机距离地面的高度是60m
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
解：由图象可得，
5s时，甲无人机上升了40m，乙无人机上升了40﹣20＝20（m），故选项A错误；
甲无人机的速度为：40÷5＝8（m/s），乙无人机的速度为：（40﹣20）÷5＝4（m/s），故选项C错误；
则10s时，两架无人机的高度差为：（8×10）﹣（20+4×10）＝20（m），故选项B正确；
10s时，甲无人机距离地面的高度是8×10＝80（m），故选项D错误；
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资110200000元资金．数据110200000用科学记数法可表示为 　1.102×108　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：数据110200000用科学记数法可表示为1.102×108．
故答案为：1.102×108．
12．函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≠　．
【分析】根据分母不为零是分式有意义的条件，可得答案．
解：由题意，得
2x﹣1≠0，解得x≠，
故答案为：x≠．
13．把多项式a3﹣2a2+a分解因式的结果是　a（a﹣1）2　．
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式进行二次分解因式
解：a3﹣2a2+a
＝a（a2﹣2a+1）
＝a（a﹣1）2．
故答案为：a（a﹣1）2．
14．计算+的结果是　5　．
【分析】利用二次根式的加减法法则运算即可．
解：原式＝2＝5，
故答案为：5．
15．已知反比例函数y＝的图象经过点A（1，﹣2），则k＝　﹣2　．
【分析】直接把点A（1，﹣2）代入y＝求出k的值即可．
解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（1，﹣2），
∴﹣2＝，
解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
16．不等式组的解集是 　1≤x＜3　．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
解：，
由①得：x＜3，
由②得：x≥1，
∴不等式组的解集为1≤x＜3．
故答案为：1≤x＜3．
17．在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同，摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是 　6　．
【分析】利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为，然后根据概率公式构建方程求解即可．
解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：
＝，
解得：x＝6，
经检验：x＝6是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是6个，
故答案为6．
18．一个扇形的弧长是10πcm，面积是200πcm2，则这个扇形的圆心角是 　45　度．
【分析】利用扇形面积公式求出R的值，再利用扇形面积公式计算即可得到圆心角度数．
解：∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是200πcm2，
∴S＝Rl，即200π＝×R×10π，
解得：R＝40，
∴S＝200π＝，
解得：n＝45°，
故答案为：45．
19．已知△ABC的三个顶点都是边长为6的同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，则点D到直线AB的距离为 　3或6﹣6　．
【分析】分两种情况：①当B为直角顶点时，过D作DH⊥AB于H，由△AHD和△BHD是等腰直角三角形可得AH＝DH＝BH＝3，则点D到直线AB的距离为3；②当B不是直角顶点时，过D作DH⊥BC于H，由△CDH是等腰直角三角形，得AD＝DH＝CH，证明△ABD≌△HBD（AAS），有AB＝BH，即可求解．
解：①当B为直角顶点时，过D作DH⊥AB于H，如图：
∵△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABD＝∠ADH＝45°，AD＝CD＝AC，
∴△AHD和△BHD是等腰直角三角形，
∴AH＝DH＝BH，
∴DH＝BC＝3，
∴点D到直线AB的距离为3；
②当B不是直角顶点时，过D作DH⊥BC于H，如图：
∵△ABC的三个顶点都是同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，
∴△CDH是等腰直角三角形，AD＝DH＝CH，
在△ABD和△HBD中，
，
∴△ABD≌△HBD（AAS），
∴AB＝BH＝6，
∵AB＝AC＝6，
∴BC＝＝＝6，
∴CH＝BC﹣BH＝6﹣6，
∴AD＝6﹣6，即此时点D到直线AB的距离为6﹣6，
综上所述，点D到直线AB的距离为3或6﹣6，
故答案为：3或6﹣6．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，BD＝AC，CD＝2，连接AD，若AD＝2，则AC的长为 　4　．
【分析】根据等腰三角形的“三线合一”性质，想到过点A作AE⊥BC，垂足为E，设AB＝AC＝BD＝x，然后在Rt△AED和Rt△AEC中，分别利用勾股定理表示出AE2，建立等量关系即可解答．
解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵AB＝AC，BD＝AC，
∴设AB＝AC＝BD＝x，
∵CD＝2，
∴BC＝BD+CD＝x+2，
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴BE＝EC＝1+x，
∴DE＝BD﹣BE＝x﹣1，
在Rt△AED中，AE2＝AD2﹣DE2＝（）2﹣（x﹣1）2＝+x+7，
在Rt△AEC中，AE2＝AC2﹣EC2＝x2﹣（1+x）2＝﹣x﹣1，
∴+x+7＝﹣x﹣1，
解得：x1＝4，x2＝﹣2（不符合题意，舍去），
∴AC＝4，
故答案为：4．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．先化简，再求代数式（1+）÷的值，其中a＝5﹣20．
【分析】根据分式的减法以及乘除运算进行化简，然后将a的值代入化简后的式子即可求出答案．
解：原式＝÷
＝
＝，
当a＝5﹣20＝﹣1时，
原式＝＝．
22．已知：在6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出△ACD，使△ACD与△ACB全等，顶点D在格点上且不与点B重合；
（2）在图2中，过点B画出平分△ABC面积的直线l．
【分析】（1）构造平行四边形ABCD即可；
（2）过AC的中点D和点B作直线l即可．
解：（1）如图，△ADC即为所求；
（2）如图，直线l即为所求．
23．为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理．调查小组就某小区居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．
（1）本次调查的样本容量是多少？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）已知该小区有居民1800人，请估计该小区对垃圾分类知识“较少了解”的居民人数．
【分析】（1）根据较多了解的人数是55人，占总人数的55%，即可求得本次调查的样本容量；
（2）求出完全了解、较少了解的人数，据此补全条形统计图；
（3）用总人数乘以“较少了解”人数所占的百分比即可．
解：（1）本次调查的样本容量是：55÷55%＝100；
（2）完全了解的人数为：100×30%＝30（人），
较少了解的人数为：100﹣30﹣55﹣5＝10（人），
补全条形统计图如下：
（3）估计该小区对垃圾分类知识“较少了解”的居民人数为：1800×＝180（人）．
24．已知：在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AB，DC于点E，F，连接BF，DE．
（1）如图1，求证：四边形DEBF是菱形；
（2）如图2，AD∥EF，且AD＝AE，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中四个度数为30°的角．
【分析】（1）证△DOF≌△BOE（ASA），得到DF∥BE，DF＝BE，则四边形DEBF为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形从而证得结论；
（2）证四边形ADFE是平行四边形，得AE＝DF，再证△ADE是等边三角形，得∠AED＝60°，然后由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得∠EDB＝∠EBD＝∠AED＝30°，同理∠FDB＝∠FBD＝30°．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AD∥EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AE＝DF，
由（1）得：四边形DEBF是菱形，
∴DE＝DF＝BE，
∴AD＝DE，
∵AD＝AE，
∴AD＝AE＝DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∵DE＝BE，
∴∠EDB＝∠EBD＝∠AED＝30°，
同理：∠FDB＝∠FBD＝30°，
即图2中四个度数为30°的角为∠EDB、∠EBD、∠FDB、∠FBD．
25．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15000元，学校需要最少购买多少个足球？
【分析】（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元，根据数量＝总价÷单价，结合用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设学校可以购买m足球，则可以购买（200﹣m）个篮球，利用总价＝单价×数量，结合购买足球和篮球的总费用不超过15000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
解：（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴2x﹣30＝90．
答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元．
（2）设学校可以购买m个足球，则可以购买（200﹣m）个篮球，
依题意得：60m+90（200﹣m）≤15000，
解得：m≥100，
答：学校最少可以购买100个足球．
26．已知：△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，且AD⊥BC于点D．
（1）如图1，求证：∠B＝∠C；
（2）如图2，点E在上，连接AE，CE，∠ACE＝∠ACB，求证：∠CAE＝2∠ACE；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作AF⊥CE交CE的延长线于点F，若AE＝5，AB＝13，求AF的长．
【分析】（1）由垂径定理可得BD＝CD，由垂直平分线的性质可得AB＝AC；
（2）连接BE，设∠ACE＝α，则∠ACB＝3α，由圆周角定理得出∠ABE＝∠ACE＝α，可证出∠CAE＝∠CBE＝2α＝2∠ACE；
（3）过点E作EG⊥AC于点G，在CG上截取GH＝AG，连接EH，证出CH＝EH＝5，由勾股定理求出EG和CE的长，根据三角形ACE的面积可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，AD过圆心O，
∴BD＝CD，且AD⊥BC，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C；
（2）证明：连接BE，
设∠ACE＝α，则∠ACB＝3α，
∴∠ABC＝∠ACB＝3α，
∵∠ABE＝∠ACE＝α，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝3α﹣α＝2α，
∴∠CAE＝∠CBE＝2α＝2∠ACE；
（3）解：过点E作EG⊥AC于点G，在CG上截取GH＝AG，连接EH，
∴EH＝AE＝5，
∴∠AHE＝∠EAH＝2α，
∴∠CEH＝∠AHE﹣∠ECH＝2α﹣α＝α＝∠ECH，
∴CH＝EH＝5，
∵AC＝AB＝13，
∴AH＝AC﹣CH＝13﹣5＝8，
∴AG＝GH＝4，
∴CG＝4+5＝9，
在Rt△AEG中，EG＝＝＝3，
在Rt△CEG中，CE＝＝＝3，
∵，
∴，
∴．
27．如图，经过点C（﹣2，﹣3）的抛物线y＝ax2+x﹣交x轴于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，点D在线段OA上，过点D作x轴的垂线交AC的延长线于点E，连接CD，设点D的横坐标为t，△CDE的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点F为BD的中点，连接BC，BE，CF，若∠AFC＝2∠CBE，求S的值．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）如图1，令y＝0，可求得A（﹣5，0），B（1，0），再运用待定系数法求得直线AC的解析式为y＝﹣x﹣5，设D（t，0），则E（t，﹣t﹣5），可得DE＝t+5，即可求得答案；
（3）如图2，在线段AC上截取CH＝CE，连接BH，过点H作HK⊥BE于点K，过点C作CG⊥AB于点G，则∠CGF＝∠AGC＝∠BKH＝90°，根据F是BD的中点，可得F（，0），由△BCE≌△BCH（SAS），可得BH＝BE＝，∠CBE＝∠CBH，进而得出∠EBH＝2∠CBE，利用面积法求出HK，再运用三角函数定义求得sin∠EBH＝＝，sin∠AFC＝＝，由∠AFC＝2∠CBE，可得∠AFC＝∠EBH，推出sin∠AFC＝sin∠EBH，建立方程求解即可．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+x﹣经过C（﹣2，﹣3），
∴﹣3＝a×（﹣2）2+×（﹣2）﹣，
解得：a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣；
（2）如图1，在y＝x2+x﹣中，令y＝0，
则x2+x﹣＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝1，
∴A（﹣5，0），B（1，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣5，0），C（﹣2，﹣3），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣5，
设D（t，0），则E（t，﹣t﹣5），
∴DE＝t+5，
∴S＝ DE （xD﹣xC）＝×（t+5）×（t+2）＝t2+t+5，
∴S与t的函数解析式为S＝t2+t+5；
（3）如图2，在线段AC上截取CH＝CE，连接BH，过点H作HK⊥BE于点K，过点C作CG⊥AB于点G，
则∠CGF＝∠AGC＝∠BKH＝90°，
由（2）知：A（﹣5，0），B（1，0），C（﹣2，﹣3），D（t，0），E（t，﹣t﹣5），
∵F是BD的中点，
∴F（，0），
∵G（﹣2，0），
∴AG＝BG＝CG＝3，
∴∠CAG＝∠ACG＝∠BCG＝∠CBG＝45°，BC＝3，
∴∠ACB＝∠BCE＝90°，
∵DG＝t+2，
∴CE＝CH＝（t+2），
∴EH＝2（t+2），
在Rt△BED中，BE＝＝＝，
在△BCE和△BCH中，
，
∴△BCE≌△BCH（SAS），
∴BH＝BE＝，∠CBE＝∠CBH，
∴∠EBH＝2∠CBE，
∵S△BEH＝EH BC＝BE HK，
∴HK＝＝，
∴sin∠EBH＝＝，
在Rt△CFG中，CF＝＝＝，
∴sin∠AFC＝＝，
∵∠AFC＝2∠CBE，
∴∠AFC＝∠EBH，
∴sin∠AFC＝sin∠EBH，
∴＝，
整理得：（2t+1）（t+5）2＝0，
∴t＝﹣或t＝﹣5（舍去），
当t＝﹣时，
S＝t2+t+5＝×（﹣）2+×（﹣）+5＝，
故S的值为．