2021-2022学年吉林省长春市新区九年级（上）期末数学试卷（Word版含解析）

2021-2022学年吉林省长春市新区九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．化简二次根式的正确结果为（　　）
A．3 B． C． D．
2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x+＝2 B．2x2﹣x＝1 C．3x3＝1 D．xy＝4
3．若＝，则的值为（　　）
A．5 B． C．3 D．
4．有5张完全相同的卡片，正面分别写有1，2，3，4，5这5个数字，现把卡片背面朝上，从中随机抽取一张卡片，其数字是奇数的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根的个数是（　　）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2+bx+c 0.02 0.01 0.02 0.04
A．1或2 B．1 C．2 D．0
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sinA的值为（　　）
A． B． C． D．1
7．已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
8．在平面直角坐标系中，若函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的k值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．计算sin60°+tan30°＝　 　．
10．若关于x的方程x2+（m2﹣2）x﹣15＝0有一个根是x＝3，则m的值是　 　．
11．已知二次函数y＝（x﹣m）2+1，当x＜1时，y随着x的增大而减小，请写出一个符合条件的m的值是　 　．
12．某市某楼盘准备以每平方米7200元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米5832元的均价开盘销售．则平均每次下调的百分率为　 　．
13．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1.5米后，水面的宽度为　 　米．
14．如图，在2×4的方格中，两条线段的夹角（锐角）为∠1，则sin∠1＝　 　．
三、解答题（共78分）
15．解方程：x2+2x﹣2＝0．
16．先化简，再求值：6x2+2xy﹣8y2﹣2（3xy﹣4y2+3x2），其中x＝，y＝．
17．某校围棋队共有4名队员，分别是：小明、小红、小聪、小丽，其中小明、小红来自八年级，小聪小丽来自九年级，现准备抽取两名队员参加集训．
（1）若从八年级、九年级中各随机抽取一人，则小红和小丽恰好被抽到参加集训的概率为 　 　；
（2）若从四名队员中随机抽取两名队员，请用列表法或画树状图法求抽到小明和小聪的概率．
18．在5×5的方格中，△ABC的三个顶点都在格点上，我们把像这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图．
（1）在图1的方格中作出与△ABC相似的最小格点三角形；
（2）在图2中把线段AC分成三条相等的线段AE＝EF＝FC，点E，F都在线AC上．（①只能用无刻度的直尺作直线；②保留作图痕迹）
19．2016年国庆节前夕，全球最长跨海大桥﹣港珠澳大桥主体桥梁工程贯通，大桥连接香港，澳门，珠海三地，总长55千米．大桥某段采用低塔斜拉桥桥型，图2是从图1引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长（结果精确到0.1米，＝1.732）．
20．如图，有一道长为25m的墙，计划用总长为50m的栅栏，靠墙围成由三个小长方形组成的矩形花圃ABCD．若花圃ABCD的面积为150m2，求AB的长．
21．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（Ⅰ）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（Ⅱ）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
22．如图，AD、BE是△ABC的高，连接DE．
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）若点D是BC的中点，CE＝6，BE＝8，求AB的长．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D，点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当t为何值时，△CPQ与△CAD相似？请直接写出t的值．
24．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2（a≠0）．
（1）该二次函数图象的对称轴是直线 　 　；
（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为，求点M和点N的坐标；
（3）已知线段PQ的两个端点坐标分别为P（0，﹣4）、Q（3，﹣4），当此函数图象与线段PQ只有一个交点时，直接写出a的取值范围．
（4）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2≥3时，y2≥y2恒成立，设t≤x1≤t+1，请结合图象，直接写出t的取值范围．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．化简二次根式的正确结果为（　　）
A．3 B． C． D．
【分析】根据二次根式的除法法则的逆运算和分母有理化把原式化简即可．
解：＝＝＝
故选：D．
2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x+＝2 B．2x2﹣x＝1 C．3x3＝1 D．xy＝4
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行判断．
解：A、＝2为分式方程，所以A选项不符合题意．
B、2x2﹣x＝1为一元二次方程，所以B选项符合题意；
C、3x3＝1是一元三次方程，所以C选项不符合题意；
D、xy＝4是二元二次方程，所以D选项不符合题意；
故选：B．
3．若＝，则的值为（　　）
A．5 B． C．3 D．
【分析】根据比例的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．
解：由＝，得
4b＝a﹣b．，解得a＝5b，
＝＝5，
故选：A．
4．有5张完全相同的卡片，正面分别写有1，2，3，4，5这5个数字，现把卡片背面朝上，从中随机抽取一张卡片，其数字是奇数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】让正面的数字是奇数的情况数除以总情况数即为所求的概率．
解：∵从写有数字1，2，3，4，5这5张卡片中抽取一张，其中数字是奇数的有1、3、5这3种结果，
∴正面的数字是奇数的概率为，
故选：C．
5．根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根的个数是（　　）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2+bx+c 0.02 0.01 0.02 0.04
A．1或2 B．1 C．2 D．0
【分析】由表格中的对应值可得出，抛物线的最小值为0.01，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）没有实数根．
解：由表格中的对应值可得出，抛物线的最小值为0.01，
∴抛物线与x轴没有交点，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）没有实数根，
故选：D．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，那么sinA的值为（　　）
A． B． C． D．1
【分析】根据正弦的定义列式计算即可．
解：∵∠C＝90°，AB＝2BC，
∴sinA＝＝，
故选：A．
7．已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由题意知△ABC是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，看各个选项是否符合相似的条件．
解：∵由图可知，AB＝AC＝6，∠B＝75°，
∴∠C＝75°，∠A＝30°，
A、三角形各角的度数都是60°，
B、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
C、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
D、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
∴只有D选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：D．
8．在平面直角坐标系中，若函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的k值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，可以得到关于k的不等式组，从而可以求得k的取值范围，然后即可解答本题．
解：∵函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，
∴，
解得k＞0且k≠2，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．计算sin60°+tan30°＝　　．
【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
解：原式＝+
＝．
故答案为：．
10．若关于x的方程x2+（m2﹣2）x﹣15＝0有一个根是x＝3，则m的值是　2或﹣2　．
【分析】把x＝3代入x2+（m2﹣2）x﹣15＝0得9﹣3m2﹣6﹣15＝0，然后解关于m的方程即可．
解：把x＝3代入x2+（m2﹣2）x﹣15＝0得9﹣3m2﹣6﹣15＝0，
整理得m2＝4，解得m＝±2．
故答案为2或﹣2．
11．已知二次函数y＝（x﹣m）2+1，当x＜1时，y随着x的增大而减小，请写出一个符合条件的m的值是　m＝2　．
【分析】根据二次函数的对称性及在对称轴两侧的增减变化规律可得答案．
解：∵二次函数y＝（x﹣m）2+1的对称轴为x＝m，当x＜1时，y随着x的增大而减小
∴当m≥1时都符合要求，故可取m＝2
故答案为：m＝2
12．某市某楼盘准备以每平方米7200元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米5832元的均价开盘销售．则平均每次下调的百分率为　10%　．
【分析】设平均每次下调的百分率为x，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，即可得到结果．
解：设平均每次下调的百分率为x，根据题意得，
7200（1﹣x）2＝5832，
解得x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
答：平均每次下调的百分率为10%．
故答案为：10%．
13．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1.5米后，水面的宽度为　2　米．
【分析】根据二次函数图象和性质即可求解．
解：如图：
以拱顶到水面的距离为2米时的水面为x轴，拱顶所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
根据题意设二次函数解析式为：
y＝ax2+2
把A（2，0）代入，得
a＝﹣，
所以二次函数解析式为：y＝﹣x2+2，
当y＝﹣1.5时，﹣x2+2＝﹣1.5
解得x＝±．
所以水面的宽度为2．
故答案为2．
14．如图，在2×4的方格中，两条线段的夹角（锐角）为∠1，则sin∠1＝　　．
【分析】由勾股定理的逆定理可得∠CED＝90°，可得∠EDC＝∠ECD＝45°，由平行线的性质和锐角三角函数可求解．
解：如图，过点C作CE∥AB，连接DE，
∵CE＝，DE＝，CD＝，
∴DE＝CE，CE2+DE2＝10＝CD2，
∴∠CED＝90°，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∵CE∥AB，
∴∠1＝∠DCE＝45°，
∴sin∠1＝，
故答案为：．
三、解答题（共78分）
15．解方程：x2+2x﹣2＝0．
【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
解：原方程化为：x2+2x＝2，
x2+2x+1＝3
（x+1）2＝3，
x+1＝±
x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
16．先化简，再求值：6x2+2xy﹣8y2﹣2（3xy﹣4y2+3x2），其中x＝，y＝．
【分析】根据整式的加减法则进行化简，再把值代入化简后的整式计算即可求解．
解：原式＝6x2+2xy﹣8y2﹣6xy+8y2﹣6x2
＝（6x2﹣6x2）+（2xy﹣6xy）+（﹣8y2+8y2）
＝﹣4xy．
当x＝，y＝时，
原式＝﹣4××
＝﹣8．
17．某校围棋队共有4名队员，分别是：小明、小红、小聪、小丽，其中小明、小红来自八年级，小聪小丽来自九年级，现准备抽取两名队员参加集训．
（1）若从八年级、九年级中各随机抽取一人，则小红和小丽恰好被抽到参加集训的概率为 　　；
（2）若从四名队员中随机抽取两名队员，请用列表法或画树状图法求抽到小明和小聪的概率．
【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到小红和小丽恰好被抽到参加集训的结果数，再根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到小明和小聪恰好被抽到参加集训的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：（1）列表如下：
小明 小红
小聪 （小明，小聪） （小红，小聪）
小丽 （小明，小丽） （小红，小丽）
由表可知，共有4种等可能结果，其中小红和小丽恰好被抽到参加集训的有1种结果，
所以小红和小丽恰好被抽到参加集训的概率为，
故答案为：；
（2）列表如下：
小明 小红 小聪 小丽
小明 （小红，小明） （小聪，小明） （小丽，小明）
小红 （小明，小红） （小聪，小红） （小丽，小红）
小聪 （小明，小聪） （小红，小聪） （小丽，小聪）
小丽 （小明，小丽） （小红，小丽） （小聪，小丽）
由表知，共有12种等可能结果，其中抽到小明和小聪的有2种结果，
∴抽到小明和小聪的概率为＝．
18．在5×5的方格中，△ABC的三个顶点都在格点上，我们把像这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列作图．
（1）在图1的方格中作出与△ABC相似的最小格点三角形；
（2）在图2中把线段AC分成三条相等的线段AE＝EF＝FC，点E，F都在线AC上．（①只能用无刻度的直尺作直线；②保留作图痕迹）
【分析】（1）根据网格即可在图1的方格中作出与△ABC相似的最小格点三角形；
（2）根据网格，在图2中在线AC上找到点E，F即可．
解：（1）如图1，三角形DEF即为所求；
（2）如图2，点E，F即为所求．
19．2016年国庆节前夕，全球最长跨海大桥﹣港珠澳大桥主体桥梁工程贯通，大桥连接香港，澳门，珠海三地，总长55千米．大桥某段采用低塔斜拉桥桥型，图2是从图1引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长（结果精确到0.1米，＝1.732）．
【分析】设DH＝x米，由三角函数得出CH＝x，得出BH＝BC+CH＝2+x，求出AH＝BH＝2+3x，由AH＝AD+DH得出方程，解方程求出x，即可得出结果．
解：设DH＝x米，
∵∠CDH＝60°，∠H＝90°，
∴CH＝DH tan60°＝x，
∴BH＝BC+CH＝2+x，
∵∠A＝30°，
∴AH＝BH＝2+3x，
∵AH＝AD+DH，
∴2+3x＝20+x，
解得：x＝10﹣，
∴BH＝2+（10﹣）＝10﹣1≈16.3（米）．
答：立柱BH的长约为16.3米．
20．如图，有一道长为25m的墙，计划用总长为50m的栅栏，靠墙围成由三个小长方形组成的矩形花圃ABCD．若花圃ABCD的面积为150m2，求AB的长．
【分析】设AB＝xm，则BC＝（50﹣4x）m，根据花圃ABCD的面积为150m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合BC的长不超过墙的长度，即可确定AB的长．
解：设AB＝xm，则BC＝（50﹣4x）m，
依题意得：x（50﹣4x）＝150，
整理得：2x2﹣25x+75＝0，
解得：x1＝5，x2＝．
当x＝5时，50﹣4x＝50﹣4×5＝30＞25，不合题意，舍去；
当x＝时，50﹣4x＝50﹣4×＝20＜25，符合题意．
答：AB的长为m．
21．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
（Ⅰ）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（Ⅱ）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【分析】（Ⅰ）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；
（Ⅱ）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值．
【解答】（Ⅰ）证明：当m＝0时，此方程为一元一次方程，此时x＝1．方程有实数根，
当m不等于0时，Δ＝（m+2）2﹣8m
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（Ⅱ）解方程得，x＝，
x1＝，x2＝1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m＝1或2，m＝2不合题意，
∴m＝1．
22．如图，AD、BE是△ABC的高，连接DE．
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）若点D是BC的中点，CE＝6，BE＝8，求AB的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定即可证明结论；
（2）根据垂直平分线的性质可得AB＝AC，由（1）△ACD∽△BCE，可得，再根据勾股定理即可求出AB的长；
【解答】（1）证明：∵AD、BE是△ABC的高，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCE；
（2）解：∵点D是BC的中点，AD⊥BC，
∴AB＝AC，
在Rt△BEC中，
∵CE＝6，BE＝8，
∴BC＝＝＝10，
∴CD＝BC＝5，
∵△ACD∽△BCE，
∴，
∴AD＝，
∴AC＝＝＝，
∴AB＝AC＝．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D，点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当t为何值时，△CPQ与△CAD相似？请直接写出t的值．
【分析】（1）利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长．
（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H，通过三角形相似即可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式，即可解决问题；
（3）先用t表示出DP，CQ，CP的长，再分∠CPQ＝90°与∠CQP＝90°两种情况，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．
解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10．
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝BC AC＝AB CD．
∴CD＝＝4.8．
∴线段CD的长为4.8；
（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图1所示．
由题可知DP＝t，CQ＝t，
则CP＝4.8﹣t，
∵∠ACB＝∠CDB＝90°，
∴∠HCP＝90°﹣∠DCB＝∠B，
∵PH⊥AC，
∴∠CHP＝90°，
∴∠CHP＝∠ACB．
∴△CHP∽△BCA．
∴，
∴，
∴PH＝﹣t，
∴S＝S△CPQ＝CQ PH＝t（﹣t）＝﹣t2+t（0≤t≤4.8）；
（3）由运动知，DP＝t，CQ＝t．则CP＝4.8﹣t．
∵∠ACD＝∠PCQ，且∠ADC＝90°，
①当∠CPQ＝∠ADC＝90°时，如图2，
∴△CPQ∽△CDA，
∴，
∴，
∴t＝3；
②当∠CQP＝∠ADC＝90°时，如图3．
∵△CPQ∽△CAD，
∴，
∴，
∴t＝，
∴当t为3或时，△CPQ与△CAD相似．
24．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2（a≠0）．
（1）该二次函数图象的对称轴是直线 　x＝1　；
（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为，求点M和点N的坐标；
（3）已知线段PQ的两个端点坐标分别为P（0，﹣4）、Q（3，﹣4），当此函数图象与线段PQ只有一个交点时，直接写出a的取值范围．
（4）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2≥3时，y2≥y2恒成立，设t≤x1≤t+1，请结合图象，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解．
（2）根据抛物线顶点坐标及x的取值范围可得顶点（1，﹣a﹣2）为图象最低点N，最高点M（5，15a﹣2），由点M的纵坐标为求解．
（3）通过二次函数解析式可得抛物线经过定点（0，﹣2），然后分类讨论a＞0与a＜0求解．
（4）由x2≥3时，y2≥y2恒成立可得抛物线开口向下，则x＝3时，y2取最大值，直线x＝3关于对称轴为直线x＝﹣1，所以﹣1≤x1≤3，进而求解．
解：（1）y＝ax2﹣2ax﹣2＝a（x﹣1）2﹣a﹣2，
∴函数的对称轴为直线x＝1，
故答案为：x＝1．
（2）∵y＝a（x﹣1）2﹣a﹣2，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣a﹣2），
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，顶点（1，﹣a﹣2）为图象最低点N，
∵5﹣1＞1﹣（﹣1），
∴直线x＝5与抛物线交点为最高点M，
把x＝5代入代入y＝ax2﹣2ax﹣2得y＝15a﹣2，
∴M（5，15a﹣2），
∵15a﹣2＝，
∴a＝，
∴M（5，），N（1，﹣）．
（3）∵y＝ax2﹣2ax﹣2＝ax（x﹣2）﹣2，
∴x＝0或x＝2时，y＝﹣2，
∴抛物线经过定点（0，﹣2），（2，﹣2），
当a＞0时，抛物线开口向上，
当顶点（1，﹣a﹣2）落在PQ上时满足题意，
﹣a﹣2＝﹣4，
解得a＝2，
当a＜0时，抛物线开口向下，
∵抛物线经过定点（0，﹣2），
∴抛物线不经过点P，
当抛物线经过点Q时，将（3，﹣4）代入y＝ax2﹣2ax﹣2得﹣4＝3a﹣2，
解得a＝﹣，
∴a＝2或a≤﹣．
（4）当x2≥3时，y2≥y2，即抛物线开口向下，点A（x1，y1）在点B（x2，y2）上方，
∴点A到对称轴距离小于等于点B到对称轴距离，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴x＝3时，y2 取最大值，
直线x＝3关于对称轴对称后为直线x＝﹣1，
∴﹣1≤x1≤3，
∵t≤x1≤t+1，
∴，
∴﹣1≤t≤2．