2020-2021学年上海市浦东新区部分学校八年级（上）期末数学试卷（Word版含解析）

2020-2021学年上海市浦东新区部分学校八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（共6题，每题2分，满分12分）
1．下列二次根式中，与属同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各数中，是方程2x2+5x＝3的根的是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
3．直线y＝﹣x不经过点（　　）
A．（0，0） B．（﹣2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）
4．用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（　　）
A．8，15，17 B．，， C．，2， D．1，2，
5．下列命题中，逆命题是假命题的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．直角三角形的两个锐角互余
C．全等三角形的对应角相等
D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
6．已知在△ABC中，AB＝2，AC＝2，BC边上的高等于，那么BC的长是 （　　）
A．2 B．4 C．2或4 D．无法确定．
二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．的有理化因式是 　 　．
8．函数的定义域是　 　．
9．在实数范围内分解因式：2x2﹣3x﹣1＝　 　．
10．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是　 　．
11．已知函数f（x）＝，那么f（2）＝　 　．
12．我们学校响应国家对垃圾分类处理的号召，组织同学们积极学习垃圾分类相关知识．初二年级某班每月进行一次垃圾分类知识测试，结果显示9月份32名同学测试结果优秀，到11月份增加到38名同学测试结果优秀，设平均每月优秀人数增长的百分率为x，则可以列出的方程是 　 　．
13．已知P（x1，y1），Q（x2，y2）在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0，则y1　 　y2
（填“＞”“＜”或“＝”）．
14．如果点A的坐标为（2，﹣1），点B的坐标为（5，3），那么A、B两点的距离等于 　 　．
15．到点P的距离等于5的点的轨迹是 　 　．
16．在△ABC中，AB＝10，BC＝8，∠B＝60°，则AC的长度是 　 　．
17．如图，点P是∠AOB的角平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB＝60°，OC＝2，则PD＝　 　．
18．如图，将长方形ABCD绕点A顺时针旋转，点D落在边BC上的点D′处，点B、C分别落在点B′、点C′处，如果∠D′BC′＝∠D′C′B，那么DC：D′C的比值等于 　 　．
三、简答题：（本大题共4题，每题6分，满分24分）
19．计算：．
20．解方程：（x2﹣9）+x（x﹣3）＝0．
21．已知y＝y1+y2，y1与x﹣1成正比例，y2与x成反比例，且当x＝2时，y＝1；当x＝﹣2时，y＝﹣2，求y关于x的函数解析式．
22．一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为t（小时），航行的路程为s（千米），s与t的函数图象如图所示．
（1）甲乙两地相距 　 　千米；
（2）轮船顺水航行时航行的路程s关于所用时间t的函数关系式为 　 　，定义域是 　 　；
（3）如果轮船从乙地逆水航行返回到甲地时的速度为20千米/小时，那么点M的坐标是 　 　．
四、解答题：（本大题共4题，第23、24题每题6分，第25、26题每题8分，满分28分）
23．已知，如图，在△ABC中，∠B＝60°，BC＝4．
（1）尺规作图：求作一点P，使点P到点B、C的距离相等，同时P到边BA、BC的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求出点P到点B的距离．
24．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是中线，F是CE的中点，CD＝AB，求证：DF⊥CE．
25．如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，且点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（n，﹣2）．
（1）求a，n的值；
（2）若双曲线y＝（k＞0）的上点C的纵坐标为8，求△AOC的面积．
26．已知：如图，在△ABC纸片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按图所示的方法将△ACD沿AD折叠，使点C恰好落在边AB上的点C′处，点P是射线AB上的一个动点．
（1）求折痕AD长．
（2）点P在线段AB上运动时，设AP＝x，DP＝y．求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．
（3）当△APD是等腰三角形时，求AP的长．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．下列二次根式中，与属同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】各式化简为最简二次根式，找出被开方数相同的即为同类二次根式．
解：A、原式＝3，不符合题意；
B、原式＝3|a|，不符合题意；
C、原式＝3|b|，不符合题意；
D、原式＝3|b|，符合题意．
故选：D．
2．下列各数中，是方程2x2+5x＝3的根的是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】求出一元二次方程的解，再判断即可．
解：2x2+5x﹣3＝0，
（2x﹣1）（x+3）＝0，
2x﹣1＝0，x+3＝0，
x1＝，x2＝﹣3．
故选：A．
3．直线y＝﹣x不经过点（　　）
A．（0，0） B．（﹣2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）
【分析】直接把各点代入直线y＝﹣x进行检验即可．
解：A、当x＝0时，y＝﹣×0＝0，故此点在直线上，故本选项错误；
B、当x＝﹣2时，y＝﹣×（﹣2）＝≠3，故此点不在直线上，故本选项正确；
C、当x＝3时，y＝﹣×3＝﹣2，故此点在直线上，故本选项错误；
D、当x＝﹣3时，y＝﹣×（﹣3）＝2，故此点在直线上，故本选项错误．
故选：B．
4．用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（　　）
A．8，15，17 B．，， C．，2， D．1，2，
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
解：A、∵82+152＝172，∴此三角形为直角三角形，故选项错误；
B、∵（）2+（）2＝（）2，∴此三角形是直角三角形，故选项错误；
C、∵（）2+22≠（）2，∴此三角形不是直角三角形，故选项正确；
D、∵12+22＝（）2，∴此三角形为直角三角形，故选项错误．
故选：C．
5．下列命题中，逆命题是假命题的是（　　）
A．两直线平行，同旁内角互补
B．直角三角形的两个锐角互余
C．全等三角形的对应角相等
D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
【分析】交换原命题的逆命题后判断正误即可．
解：A、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意；
B、逆命题为：两个锐角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意；
C、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；
D、逆命题为：两条边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意．
故选：C．
6．已知在△ABC中，AB＝2，AC＝2，BC边上的高等于，那么BC的长是 （　　）
A．2 B．4 C．2或4 D．无法确定．
【分析】根据勾股定理分别求出BD，CD，结合图形计算即可．
解：BD＝＝3，
CD＝＝1，
如图（1）BC＝BD+CD＝4，
如图2，BC＝BD﹣CD＝2，
故选：C．
二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．的有理化因式是 　（答案不唯一）　．
【分析】找出已知二次根式的有理化因式即可．
解：的有理化因式是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
8．函数的定义域是　　．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可知：2x﹣3≥0，解得x的范围．
解：要使函数有意义，
则2x﹣3≥0，
解得x．
故答案为x≥．
9．在实数范围内分解因式：2x2﹣3x﹣1＝　2（x﹣﹣）（x﹣+）　．
【分析】解方程2x2﹣3x﹣1＝0得，x1＝，x2＝，则可将该多项式实现实数范围内的因式分解．
解：解方程2x2﹣3x﹣1＝0得，
x1＝，x2＝，
则2x2﹣3x﹣1＝2（x﹣）（x﹣）＝2（x﹣﹣）（x﹣+）．
10．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是　m＜1且m≠0　．
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＜1且m≠0．
故答案为：m＜1且m≠0．
11．已知函数f（x）＝，那么f（2）＝　1　．
【分析】把x＝2代入函数关系式计算即可．
解：当x＝2时，f（2）＝＝＝1．
故答案为：1．
12．我们学校响应国家对垃圾分类处理的号召，组织同学们积极学习垃圾分类相关知识．初二年级某班每月进行一次垃圾分类知识测试，结果显示9月份32名同学测试结果优秀，到11月份增加到38名同学测试结果优秀，设平均每月优秀人数增长的百分率为x，则可以列出的方程是 　32（1+x）2＝38　．
【分析】如果设平均每月优秀人数增长的百分率是x，那么10月份的优秀人数是32（1+x）人， 11月份的优秀人数是32（1+x）2元，而此时优秀人数是38人，列出方程．
解：设平均每月优秀人数增长的百分率是x，依题意，得
32（1+x）2＝38．
故答案为：32（1+x）2＝38．
13．已知P（x1，y1），Q（x2，y2）在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0，则y1　＞　y2
（填“＞”“＜”或“＝”）．
【分析】根据反比例函数的比例系数k＞0可知，该函数在x＜0内单调递减，再结合x1＜x2＜0，即可得出结论．
解：∵反比例函数中k＞0，
∴该函数在x＜0内单调递减．
∵x1＜x2＜0，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
14．如果点A的坐标为（2，﹣1），点B的坐标为（5，3），那么A、B两点的距离等于 　5　．
【分析】根据两点间的距离公式计算即可．
解：由两点间的距离公式得，AB＝＝5，
故答案为：5．
15．到点P的距离等于5的点的轨迹是 　以点P为圆心，5为半径的圆　．
【分析】根据圆的定义即可得出答案．
解：根据圆的定义可知：到点P的距离等于5的点的轨迹是以点P为圆心，5为半径的圆，
故答案为：以点P为圆心，5为半径的圆．
16．在△ABC中，AB＝10，BC＝8，∠B＝60°，则AC的长度是 　2　．
【分析】根据题意画出图形，结合锐角三角函数关系以及勾股定理得出AD，AC的长即可．
解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝10，∠B＝60°，∠BDA＝90°，
∴BD＝AB＝5，
∴CD＝3，AD＝，
∴在Rt△ADC中，AC＝．
故答案为：2．
17．如图，点P是∠AOB的角平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB＝60°，OC＝2，则PD＝　　．
【分析】过P点作PH⊥OB于H，如图，先利用角平分线的性质得到∠POD＝∠POC，PD＝PH，再利用平行线的性质证明∠CPO＝∠POC得到PC＝OC＝2，然后利用含30度的直角三角形三边的关系．
解：过P点作PH⊥OB于H，如图，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB，
∴∠POD＝∠POC，PD＝PH，
∵PC∥OA，
∴∠POD＝∠CPO，∠PCH＝∠AOB＝60°，
∴∠CPO＝∠POC，
∴PC＝OC＝2，
在Rt△PCH中，∴∠PCH＝60°，
∴CH＝PC＝1，
∴PH＝CH＝，
∴PD＝．
故答案为：．
18．如图，将长方形ABCD绕点A顺时针旋转，点D落在边BC上的点D′处，点B、C分别落在点B′、点C′处，如果∠D′BC′＝∠D′C′B，那么DC：D′C的比值等于 　+1　．
【分析】根据题意可作出图形，由旋转可知，DC＝D′C′，AD＝AD′，因为∠D′BC′＝∠D′C′B，所以BD′＝C′D′＝AB＝CD，所以△ABD′是等腰直角三角形，则AD′＝BC＝AB＝DC，所以DC：D′C＝DC：（BC﹣BD′）＝DA：（DC﹣DC）＝+1．
解：根据题意可作出图形，
由旋转可知，DC＝D′C′，AD＝AD′，
∵∠D′BC′＝∠D′C′B，
∴BD′＝C′D′，
又∵AB＝CD，
∴AB＝BD′＝DC，
∴△ABD′是等腰直角三角形，
∴AD′＝AB＝DC，
∴BC＝DC，
∴DC：D′C＝DC：（BC﹣BD′）＝DA：（DC﹣DC）＝+1．
故答案为：+1．
三、简答题：（本大题共4题，每题6分，满分24分）
19．计算：．
【分析】先进行分母有理化，再化简二次根式，最后合并即可．
解：原式＝5﹣（﹣）+5
＝5﹣++5
＝4+6．
20．解方程：（x2﹣9）+x（x﹣3）＝0．
【分析】先把方程化为一般式，然后利用求根公式解方程．
解：（x2﹣9）+x（x﹣3）＝0，
由原方程，得2x2﹣3x﹣9＝0，
则a＝2，b＝﹣3，c＝﹣9，
△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣9）＝81＞0，
x＝＝，
所以x1＝＝3，x2＝＝﹣，
∴x1＝3，x2＝﹣．
21．已知y＝y1+y2，y1与x﹣1成正比例，y2与x成反比例，且当x＝2时，y＝1；当x＝﹣2时，y＝﹣2，求y关于x的函数解析式．
【分析】可设y1＝k1（x﹣1），y2＝（k1≠0，k2≠0），把已知条件代入则可求得y与x的函数解析式；
解：设y1＝k1（x﹣1），y2＝（k1≠0，k2≠0），
∴y＝y1+y2＝k1（x﹣1）+．
把x＝2时，y＝1；当x＝﹣2时，y＝﹣2代入可得：，
解得，，
∴y关于x的函数解析式为y＝（x﹣1）+．
22．一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地．若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用的时间为t（小时），航行的路程为s（千米），s与t的函数图象如图所示．
（1）甲乙两地相距 　60　千米；
（2）轮船顺水航行时航行的路程s关于所用时间t的函数关系式为 　s＝30t　，定义域是 　0≤t≤2　；
（3）如果轮船从乙地逆水航行返回到甲地时的速度为20千米/小时，那么点M的坐标是 　（11，120）　．
【分析】（1）从图象直接观察即可；
（2）根据图象用待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据顺水航行的路程与逆水航行的路程相等求出纵坐标，再根据路程÷速度＝时间求出时间，再加上8即可得出横坐标．
解：（1）由图象可知：甲乙两地相距60千米，
故答案为：60；
（2）设轮船顺水航行时航行的路程s关于所用时间t的函数关系式为s＝kt，
把（2，60）代入，得2k＝60，
解得：k＝30，
则轮船顺水航行时航行的路程s关于所用时间t的函数关系式为s＝30t，
其中0＜≤t≤2，
故答案为：s＝30t，0＜≤t≤2；
（3）由题意得：60÷20＝3（小时），
则点M的横坐标为8+3＝11，
纵坐标为60×2＝120，
故点M的坐标为（11，120）．
故答案为：（11，120）．
四、解答题：（本大题共4题，第23、24题每题6分，第25、26题每题8分，满分28分）
23．已知，如图，在△ABC中，∠B＝60°，BC＝4．
（1）尺规作图：求作一点P，使点P到点B、C的距离相等，同时P到边BA、BC的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求出点P到点B的距离．
【分析】（1）作∠ABC的角平分线BQ，作线段BC的垂直平分线MN，MN交BC于点DM交BQ于点P，点P即为所求；
（2）解直角三角形求出BP即可．
解：（1）如图，点P即为所求；
（2）∵BQ平分∠ABC，
∴∠ABC＝∠ABC＝30°，
∵MN垂直平分线段BC，
∴BD＝CD＝2，
∴PB＝＝＝．
24．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE是中线，F是CE的中点，CD＝AB，求证：DF⊥CE．
【分析】连接DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝AB，再求出DE＝CD，然后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．
【解答】证明：连接DE，
∵AD是BC边上的高，在Rt△ADB中，CE是中线，
∴DE＝AB，
∵CD＝AB，
∴DC＝DE，
∵F是CE中点，
∴DF⊥CE．
25．如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，且点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（n，﹣2）．
（1）求a，n的值；
（2）若双曲线y＝（k＞0）的上点C的纵坐标为8，求△AOC的面积．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得a的值，根据一次函数图象上点的坐标特征即可求得n；
（2）由条件（1）知，k＝8，点C的纵坐标为8，求出C的坐标为（1，8），然后根据S△AOC＝S△COD+S梯形ACDE﹣S△AOE＝S梯形ACDE即可求得．
解：（1）∵直线y＝ax（a＞0）与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，
∴，
解得a＝，n＝﹣4；
（2）∵双曲线y＝（k＞0）经过A点，
∴k＝4×2＝8，
∵双曲线y＝（k＞0）的上点C的纵坐标为8，
∴C点的坐标为（1，8），
如图，作AE⊥x轴于E，CD⊥x轴于D，
∴S△AOC＝S△COD+S梯形ACDE﹣S△AOE＝S梯形ACDE＝（8+2）（4﹣1）＝15．
26．已知：如图，在△ABC纸片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按图所示的方法将△ACD沿AD折叠，使点C恰好落在边AB上的点C′处，点P是射线AB上的一个动点．
（1）求折痕AD长．
（2）点P在线段AB上运动时，设AP＝x，DP＝y．求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．
（3）当△APD是等腰三角形时，求AP的长．
【分析】（1）由翻折可知：CD＝DC′，AC＝AC′＝3，设CD＝DC′＝x，在Rt△BDC中，根据BD2＝C′D2+C′B2，构建方程即可解决问题．
（2）利用勾股定理即可解决问题．
（3）分三种情形：①PA＝PD，②AP＝AD，③当PD＝AD时，分别求解即可．
解：（1）如图1中，
由翻折可知：CD＝DC′，AC＝AC′＝3，设CD＝DC′＝x，
在Rt△BDC中，∵BD2＝C′D2+C′B2，
∴（4﹣x）2＝x2+22，
解得x＝，
∴AD＝＝＝．
（2）如图2中，当点P在C'D左侧，AC＝AC'＝3，则PC'＝3﹣x，
∵，
∴y＝＝（0≤x≤10）．
当点P在C'D右侧，同理可得y＝（0≤x≤10）．
∴y关于x的函数解析式为y＝（0≤x≤10）．
（3）如图3中，
①当PA＝PD时，设PA＝PD＝m，
在Rt△PCD中，∵PD2＝DC′2+C′P2，
∴m2＝（）2+（3﹣m）2，
解得m＝，
∴PA＝．
②当AD＝AP′＝时，△ADP′是等腰三角形，
③当PD＝AD时，点P在AB的延长线上．如图4，
AP＝2AC'＝6．
综上所述，满足条件的PA的值为或或6．