人教版八年级数学下册17.1第1课时勾股定理 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
第十七章
17.1勾股定理
第一课时
勾股定理
人教版数学 八年级下册
学习目标
了解勾股定理的发现过程.
掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理.
新课引入
相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时,发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种关系.我们也来观察一下图案,看看能从中发现什么数量关系.
A
B
C
新知讲解
图中三个正方形的面积有什么关系？
等腰直角三角形的三边有什么关系？
同学们，先独立思考，然后以小组为单位交流讨论，并试着用三角板验证你的猜想.
新知讲解
问题1
图中三个正方形的面积有什么关系？
A
B
C
新知讲解
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
问题2
等腰直角三角形的三边有什么关系？
新知讲解
想一想　
在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？
新知讲解
方法1：
补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：
左图：
右图：
新知讲解
方法2：
分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：
左图：
右图：
你还有其他办法求C的面积吗？
新知讲解
根据前面求出的C的面积直接填出下表：
4
13
25
9
16
9
思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
A的面积 B的面积 C的面积
左图
右图
新知讲解
分析表中数据，你发现了什么？
结论
以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4 9 13
右图 16 9 25
新知讲解
由上面的几个例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.
即：两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
b
c
动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
赵爽弦图证明勾股定理
c
b
a
a
c
b
a
新知讲解
数形结合思想
等 积 变 换
证明命题1的方法有很多，下面介绍我国古人赵爽的证法：
=
新知讲解
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
∵ c2=
=b2-2ab+a2+ 2ab
=a2+b2
∴ a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为
c2
赵爽弦图证明勾股定理
新知讲解
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为
(a+b)2
c2
∵ (a+b)2 =
a2+2ab+b2 = 2ab +c
∴a2+b2=c2
c2
毕达哥拉斯证法
新知讲解
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
a
b
c
c
如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得
化简,得
新知讲解
勾
股
勾
股
弦
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理.
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
新知讲解
a、b、c为正数
公式变形：
勾股定理
a
b
c
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
新知讲解
例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°.
（1）若a=b=5,求c;
（2）若a=1,c=2,求b.
解：
(1)据勾股定理得
(2)据勾股定理得
C
A
B
新知讲解
【变式题】
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图 ，
当BC为斜边时，如图 ，
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
图
图
当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.
新知讲解
例2 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.
A
D
B
C
3
4
解：由勾股定理可得
AB2=AC2+BC2=25，
即 AB=5.
根据三角形面积公式，
∴ AC×BC= AB×CD.
∴ CD= .
由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．
小试牛刀
1.下列说法中,正确的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
C
2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .
36 cm
8 cm
10 cm
小试牛刀
3.在△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=15，b=8，则c= .
（2）若c=13，b=12，则a= .
4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.
17
5
74或24
小试牛刀
5.求下列图中未知数x、y的值：
解：由勾股定理可得
81+ 144=x2，
解得x=15.
解：由勾股定理可得
y2+ 144=169，
解得 y=5
小试牛刀
6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．
在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，
∴∠B=∠BAD=45°，
∴BD=AD=1，∴AB= ．
在Rt△ADC中，∵∠C=30°，
∴AC=2AD=2，
∴CD= ，∴BC=BD+CD=1+ ，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC= ．
课堂小结
勾股定理：
内容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a +b =c .
注意：
1、在直角三角形中
2、看清哪个角是直角
3、已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
公式变形：
谢谢观看!
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