人教版八年级数学下册17.2第2课时勾股定理逆定理的应用 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
第十七章
17.2勾股定理逆定理
第二课时
勾股定理的逆定理的应用
人教版数学 八年级下册
学习目标
灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.
将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.
在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧.
新知讲解
勾股定理的逆定理的内容和作用是什么？
新知讲解
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。
判定直角三角形
作用：
逆定理:
1
2
例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
N
E
P
Q
R
新知讲解
问题1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的问题是什么？
1
2
N
E
P
Q
R
16×1.5=24
12×1.5=18
30
“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图.
问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？
实质是要求出两艘船航
向所成角.
勾股定理逆定理
新知讲解
解：根据题意得
PQ=16×1.5=24(海里),
PR=12×1.5=18(海里),
QR=30海里.
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.
∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
N
E
P
Q
R
1
2
新知讲解
新知讲解
解决实际问题的步骤：
1.构建几何模型(从整体到局部)；
2.标注有用信息,明确已知和所求；
3.应用数学知识求解.
【变式题】 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？
东
北
P
A
B
C
Q
D
分析：根据勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.
新知讲解
解：∵AC=10，AB=6，BC=8，
∴AC2=AB2+BC2，
即△ABC是直角三角形.
设PQ与AC相交于点D，根据三
角形面积公式有 BC·AB= AC·BD，
即6×8=10BD，解得BD=
在Rt△BCD中，
又∵该船只的速度为12.8海里/时，
6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟），
∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海.
东
北
P
A
B
C
Q
D
新知讲解
例2 一个零件的形状如图 所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 所示,这个零件符合要求吗
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图
图
新知讲解
在△BCD中，
∴△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角.
因此，这个零件符合要求.
解：在△ABD中，
∴△ABD 是直角三角形，∠A是直角.
D
A
B
C
4
3
5
13
12
图
新知讲解
1.A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？
A
B
C
5cm
12cm
13cm
解：∵ BC2+AB2=52+122=169，
AC2 =132=169，
∴BC2+AB2=AC2，
即△ABC是直角三角形，
∠B=90°.
答：C在B地的正北方向．
新知讲解
2.如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，
∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.
又∵AC2＝92＝81，
∴AB2＋BC2≠AC2，
∴∠ABC≠90°，
∴该农民挖的不合格．
新知讲解
例3 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
解析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.
A
D
B
C
3
4
13
12
新知讲解
解：连接AC.
A
D
B
C
3
4
13
12
在Rt△ABC中，
在△ACD中，
AC2+CD2=52+122=169=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
且∠ACD=90°.
∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.
新知讲解
新知讲解
四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.
【变式题1】 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.
解：连接BD.
在Rt△ABD中,
由勾股定理得 BD2=AB2+AD2，
∴BD=5m.
又∵ CD=12cm，BC=13cm,
∴ BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.
∴S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD= BD CD－ AB AD
= ×(5×12－3×4)=24 (cm2)．
C
B
A
D
新知讲解
【变式题2】 如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.
解: ∵ S△ACD=30 cm2，DC＝12 cm.
∴ AC=5 cm.
又∵
∴△ABC是直角三角形, ∠B是直角.
∴
D
C
B
A
新知讲解
（1）证明：∵CD=1，BC＝ 5 ，BD=2，
∴CD2+BD2=BC2，
∴△BDC是直角三角形；
（2）解：设腰长AB=AC=x，
在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，
∴x2=(x-1)2+22，
解得
用到了方程的思想
例4 如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC＝ 5 ，BD=2．
（1）求证：△BCD是直角三角形；
（2）求△ABC的面积．
新知讲解
1. 医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东 的方向.
东
医院
公园
超市
北
65°
小试牛刀
2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （　　）
A. B.
C. D.
D
小试牛刀
3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.
解：∵出发2小时，A组行了12×2=24(km)，B组行了9×2=18(km)，
又∵A，B两组相距30km，
且有242+182=302，
∴A，B两组行进的方向成直角．
小试牛刀
4.如图，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC边上的中线AD=15，试说明：AB=AC.
解：∵BC=16，AD是BC边上的中线，
∴BD=CD= BC=8.
∵在△ABD中，
AD2+BD2=152+82=172=AB2，
∴△ABD是直角三角形，即∠ADB=90°．
∴△ADC是直角三角形.
在Rt△ADC中，
∴AB=AC.
小试牛刀
课堂小结
1.勾股定理的逆定理的内容和作用是什么？
2.用勾股定理的逆定理解决实际问题的步骤有哪些？
谢谢观看!
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