2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算课件（28张ppt）

(共28张PPT)
1.1
空间向量及其运算
第一章
1.1.1 空间向量及其线性运算
1.理解空间向量的有关概念.
2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.
3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律.
4.理解向量共面的充要条件，并会运用判断两空间向量是否共面.
核心素养：数学运算、数学抽象、直观想象
学习目标
问题1
空间向量是平面向量的推广。
我们已经学过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给出空间向量的概念和线性表示吗？
新知讲解:
一 空间向量的概念、表示
1.空间向量的概念：在空间，具有 和 的量叫做空间向量.
2.空间向量的长度或模：向量的 .
3.空间向量的表示方法：
①字母表示法：用字母，，，…表示；
②几何表示法：空间向量也用 表示，若向量的起点是，终点是，也可记作.空间向量的模记为||或| |.
大小
大小
方向
有向线段
长度为0
二 几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量
单位向量 的向量称为单位向量
相反向量
共线向量 (平行向量)
相等向量 大小 方向 的向量称为相等向量
模为1
相等
相反
相等
相同
问题2
在学面向量的相关概念后，我们研究了平面向量的线性运算，你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？
思考 空间中的任意两个向量是不是共面的？
是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.
空间向量的线性运算 加法
减法 数乘
三 空间向量的运算（同平面向量）
当λ＝0时，λa＝0
想一想 向量起点的选择对向量线性运算的结果有影响吗？
没有影响，向量起点可以平移到任何位置.
1.两个有公共终点的向量，一定是共线向量.(　　)
2.在空间中，任意一个向量都可以进行平移.(　　)
3.空间两非零向量相加时，一定可以用平行四边形法则运算.(　　)
正误辨析:
×
√
×
√
即时巩固
四 空间向量的运算律
1.运算律
交换律：＋＝＋；
结合律：＋(＋)＝(＋)＋，λ(μ)＝(λμ)；
分配律：(λ＋μ)＝λ＋μ，λ(＋)＝λ＋λ.

（3）当≠0，≠0且≠0，≠1时，可分如下两种情况：
①当>0且≠1时，如图，在平面内任取一点，作＝， ＝， ＝， ＝，则＝+， ＝+.
由作法知∥，∠＝∠，| |＝λ||.所以＝.所以∽.
所以＝，∠＝∠.
因此点，，在同一条直线上，||＝||， 与的方向也相同.所以（+）＝+.
②当<0时，可类似证明（+）＝+.
思考　怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？
可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和.加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.
思考　由数乘λa＝0，可否得出λ＝0
不能.λa＝0 λ＝0或a＝0.
问题3
空间向量的线性运算是否可以解决空间中的相关问题呢？
1.空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 .
2.直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把 称为直线l的方向向量.
与向量平行的非零向量
想一想　对于空间向量a，b，c，若a∥b且b∥c， 是否可以得到a∥c
不能.若b＝0，则对任意向量a，c都有a∥b且b∥c.
五 共面向量
1..共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
2.向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 .
思考　
空间中，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的。
正误辨析:
×
即时巩固
2.若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.(　　)
3.空间中任意三个向量一定是共面向量.(　　)
×
×
×
典例剖析
例1 (1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知 ＝e1＋ke2， ＝5e1＋4e2， ＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________.
(2) 已知平行四边形ABCD ，从平面AC外一点O引向量使 , 求证：四点E、F、G、H共面；
课堂小结
1.知识清单：
(1)向量的概念.(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘).(3)向量的线性运算的运算律.
(4)空间向量共线的充要条件，直线的方向向量.(5)空间向量共面的充要条件.
2.方法归纳：
三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想、转化化归思想.
3.常见误区：
（1）对空间向量的理解应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数.
（2）混淆向量共线与线段共线、点共线.
典例剖析
例1 (多选题)下列说法中正确的是（ ）
A.若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反 B.若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C.空间向量的加法满足结合律 D.任一向量与它的相反向量不相等
解析　||＝||，说明与模相等，但方向不确定；对于的相反向量＝－，故||＝||，从而B正确；
空间向量的加法满足结合律，C正确；零向量的相反向量仍是零向量.故选BC.
反思感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.
例2 如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.
反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
例3 在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式.
所以由向量的加法法则，
（2）如图所示，分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，
证明　∵E，H分别是AB，AD的中点，
又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形.
反思感悟 向量共线的判定及应用
(1)本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别.
(2)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.
(3)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使
(2)判断M是否在平面ABC内.
而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，
∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内.
反思感悟 解决向量共面的策略
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.
随堂小测
1.下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________.
①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；②平行且模相等的两个向量是相等向量；
③若≠，则||≠||；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同.
①
2.(多选)如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，下列各式运算结果为 的是（ ）
AB
A
A.P∈直线AB B.P 直线AB
C.点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上 D.以上都不对
解析　因为，所以，
A
且M，A，B，C四点共面，
6.已知非零向量e1，e2不共线，则使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是_____.
解析　若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
所以所以k＝±1.
D
±1
7.如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线.
又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线.
谢 谢！