石景山区2021—2022学年第一学期高三期末试卷
数 学
本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设集合，，则
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设函数，则是
A．奇函数，且在单调递增 B．奇函数，且在单调递减
C．偶函数，且在单调递增 D．偶函数，且在单调递减
4．将本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行，则本数学书相邻的概率为
A． B． C． D．
5．记为等差数列的前项和，若，，则
A．36 B．45 C．63 D．75
6．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），其中自习时间的范围是
[17.5，30]，并制成了频率分布直方图，如右图所示，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据频率分布直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
A．56 B．60 C．120 D．140
7．若，，则
A． B． C． D．
8．在△中，若，则
A． B． C． D．
9．设是首项为的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，给出下列三个结论：
①
②△的面积与△的面积相等
③三棱锥的体积为定值
其中，所有正确结论的个数是
A． B． C． D．
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知向量，若，则_________．
12．双曲线的焦点坐标为________，渐近线方程为________．
13．设函数则使得成立的的取值范围是________．
14．若点关于轴的对称点为，则的一个取值为________．
15．数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为的小圆在一个半径为的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线．如图，已知，起始位置时大圆与小圆的交点为（点为轴正半轴上的点），滚动过程中点形成的轨迹记为星形线．有如下结论：
① 曲线上任意两点间距离的最大值为；
② 曲线的周长大于曲线的周长；
③ 曲线与圆有且仅有个公共点．
其中正确的序号为________________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题13分）
已知函数，，从条件①、
条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）的最小正周期；
（Ⅱ）在区间上的最小值．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
17．（本小题14分）
如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面为直角三角形，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若，，，判断在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为．
18．（本小题13分）
某校组织“创建文明城区”知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的学生先在两类问题中选择一类，然后从所选类别的问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，比赛结束．类问题回答正确得分，否则得分；类问题回答正确得分，否则得分．己知小明同学能正确回答类中的每一个问题的概率均为，能正确回答类中的每一个问题的概率均为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（Ⅰ）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（Ⅱ）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
19．（本小题15分）
已知椭圆，为坐标原点，右焦点坐标为，椭圆的离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）椭圆在轴上的两个顶点为，点满足，直线交椭圆于两点，且，求此时的大小．
20．（本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求的单调区间；
（Ⅲ）求证：当≤时，≥．
21．（本小题15分）
记实数，中的较大者为，例如，，对于无穷数列，记，若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”．
（Ⅰ）已知数列的通项公式分别为，，判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由；
（Ⅱ）已知首项为公比为的等比数列是“趋势递减数列”，求的取值范围；
（Ⅲ）若数列满足，为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有．石景山区2021-2022学年第一学期高三期末
数学试卷答案及评分参考
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A D B D D C B C
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
11．； 12．，； 13．；
14．（答案不唯一）； 15．①③．
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题13分）
解：选条件①：；
（Ⅰ）
，
所以的最小正周期是． ………………7分
（Ⅱ）因为，
所以≤≤，
所以≤≤，
所以≤≤，
当，即时，有最小值． ………………13分
选条件②：．
（Ⅰ）
，
所以最小正周期是． ………………7分
（Ⅱ）因为，
所以≤≤，
所以≤≤，
当，即时，有最小值． ………………13分
17．（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为四棱锥中，，
所以，
因为，，
所以． ………………4分
（Ⅱ）因为，，所以，
又因为，所以，
因为，，
所以． ………………9分
（Ⅲ）存在，当为线段中点时，理由如下：
由（Ⅱ）可知，因为，，
所以，
又，，
如图以点为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，．
设平面的法向量为，
由得
令，所以．
设（≤≤），
则，
所以，
直线与平面所成角为，
所以，
解得，符合题意，
所以当为线段中点时，直线与平面所成角的大小为．
………………14分
18.（本小题13分）
解：（Ⅰ）由题可知，的所有可能取值为，，．
；；．
所以的分布列为
………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；；，
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题． ………………13分
19.（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为右焦点为，所以，
因为离心率，
所以，，
所以椭圆的方程为． ………………5分
（Ⅱ）当直线垂直于轴时，（舍）．
当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，
由整理得，
设，由题意恒成立，
所以，，
，
解得，
所以直线的方程为．
因为为椭圆在轴上的两个顶点，不妨设，
因为，设，
所以，即，
即点在以原点为圆心，半径为的圆上．
法一： 因为原点到直线的距离，
所以直线与圆相切，
所以．
法二：联立解得即，
或解得即，
因为，
所以． ………………15分
20.（本小题15分）
解：（Ⅰ）
因为，
所以曲线在点处的切线方程为. ………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，（）
因为，令，所以或，
当时，，
则的变化情况如下表：
极大值 极小值
当时，，则 恒成立，在内恒增；
当时，，则 的变化情况如下表：
极大值 极小值
综上，当时，单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，单调递增区间是和 ，单调递减是.
………………10分
（Ⅲ）当时，令，得或，易知
则的变化情况如下表：
极小值 极大值
所以当时，取得极小值
由于，则，，，
所以由极小值定义及的单调性可知：当时，.
接下来，研究在的变化情况.
因为恒成立，设
对称轴，，
所以由二次函数的性质可知：当时，恒成立
所以在时恒成立.
综上所述：当时，. ………………15分
21.（本小题15分）
解：（Ⅰ）数列是“趋势递减数列”.
因为是单调递减数列，，且.所以数列是“趋势递减数列”.
数列是“趋势递减数列”.
因为，且.所以数列是“趋势递减数列”.
………………4分
（Ⅱ）当时，数列为单调递增数列，此时，且不满足题意；
当时，数列为常数列，不满足题意；
当时，数列为单调递减数列，此时，且，满足题意；
当时，此时，且，满足题意；
当时，此时，且，不满足题意；
综上，的取值范围为. ………………9分
（Ⅲ）先证必要性：
假设存在正整数≥使得，，令.
因为，为正实数，且所以≥，故≥，
则数列从开始以后的各项为，
当≥时，与为“趋势递减数列”矛盾，故假设不成立，的项中没有.
再证明充分性：
得，
因为的项中没有，所以对于任意正整数，，于是，
所以.
当时，，
当时，，
所以为“趋势递减数列”.
综上：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有. ……………15分
