辽宁省辽阳市2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 辽宁省辽阳市2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 564.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-14 15:21:52 | ||
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文档简介
辽阳市2021-2022学年高二上学期期末考试
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一册、第二册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若直线与直线垂直，则（ ）
A．6 B．4 C． D．
2．已知抛物线的焦点为F，准线为l，则“”是“F到l的距离大于1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知两个变量x与y的五组数据如下表所示，且y关于x的线性回归方程为，则（ ）
x 6.3 72 7.8 8.2 9.5
y 42 46 50 m 57
A．52 B．53 C．54 D．55
4．若椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为，则（ ）
A．1 B．3 C．6 D．1或3
5．甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（ ）
X012P0.080.140.78
X012P0.06.240.56
X012P0.060.560.38
X012P0.060.380.56
A B C D
A．A B．B C．C D．D
6．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为（ ）
A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.51
7．的展开式中x的系数是（ ）
A． B．152 C．88 D．
8．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，M是的中点，，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若直线与抛物线交于A，B两点，则（ ）
A．l的倾斜角为 B． C．l的倾斜角为 D．
10．在空间直角坐标系中，，则（ ）
A． B．点B到平面的距离是2
C．异面直线与所成角的余弦值 D．点O到直线的距离是
11．设某车间的A类零件的质量m（单位：）服从正态分布，且．（ ）
A．若从A类零件随机选取2个，则这2个零件的质量都大于的概率为0.25
B．若从A类零件随机选取3个，则这3个零件的质量恰有1个小于的概率为0.4
C．若从A类零件随机选取100个，则零件质量在的个数的期望为60
D．若从A类零件随机选取100个，则零件质量在的个数的方差为24
12．已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为．点M为C上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线的斜率之积大于，则C的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．的展开式中各项系数之和为_________．
14．设，则动点P的轨迹方程为________．
15．已知P为抛物线上的动点，，则的最小值为__________．
16．某体育赛事组织者招募到8名志愿者，其中3名女性，5名男性，体育馆共有A，B，C三个入口，每个入口需要分配不少于2个且不多于3个志愿者，每名志愿者都要被分配，则3名女志愿者被分在同一个入口的概率为________，每个入口都有女志愿者的分配方案共有________种．（本题第一空3分，第二空2分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知圆与圆．
（1）在①，②这两个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答．
若_______，判断这两个圆的位置关系；
（2）若，求直线被圆C截得的弦长．
注；若第（1）问分别选择两个条件分别作答，按第一个作答计分．
18．（12分）
某大学生社团组织社会调查活动，随机调查了某市区某个路口100个工作日中每天的天气情况和当天早高峰（7点至9点）时段经过该路口的机动车车次，整理数据得到下表：
机动车车次 天气
晴天 10 52 13
阴天 2 9 8
雨天 0 2 4
（1）分别估计该市一天的天气为晴天和雨天的概率；
（2）若晴天记为“天气好”，阴天或雨天记为“天气不好”，若当天早高峰时段经过该路口的机动车车次小于1600，则视为交通順畅，否则视为交通拥堵．根据所给数据，完成下面的列联表，在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，可否认为两种交通路况和“天气情况”有关？
交通顺畅 交通拥堵 合计
天气好
天气不好
合计
附：．
0.05 0.0 0.005
k 3.841 6.635 7.879
19．（12分）
如图，在长方体中，底面是正方形，O是的中点，．
（1）证明：．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（12分）
在2021年“双11”网上购物节期间，某电商平台销售了一款新手机，现在该电商为调查这款手机使用后的“满意度”，从购买了该款手机的顾客中抽取20人，调查结果显示，只有3人“非常满意”．从这20人中随机抽取3人做采访，记这3人中对该款手机“非常满意”的人数为X．
（1）求X的分布列；
（2）若被抽取的这3人中对该款手机“非常满意”的被采访者将获得100元话费补贴，其他被调查者将获得40元话费补贴，求这3人将获得的话费补贴总额的期望．
21．（12分）
如图1，在边长为4的等边三角形中，D，E，F分别是的中点，沿把折起，得到如图2所示的四棱锥．
（1）证明：平面．
（2）若二面角的大小为，求平面与平面所成角的大小．
22．（12分）
已知双曲线过点，且C的渐近线方程为．
（1）求C的方程．
（2）A，B为C的实轴端点，Q为C上异于A，B的任意一点，与y轴分别交于M，N两点，证明：以为直径的圆过两个定点．
高二考试数学试卷参考答案
1．A 由题意可知．即．
2．B 因为F到l的距离为m，所以“”是“F到l的距离大于1”的必要不充分条件．
3．D 因为，所以，则．
4．B 若，则由得（舍去）；若，则由得．
5．D X的取值范围为，
，
故X的分布列为
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
6．D 设“发送的信号为0”，“接收的信号为1”，
则，
因此．
7．C 因为的展开式的通项为，所以的展开式中x的系数是．
8．C 以为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系（图略）．不妨令，则．因为，所以，则，，，，则解得，故．
9．AD 因为l的斜率为1，所以l的倾斜角为，联立与，得，则，因为l经过抛物线的焦点，所以．
10．BD 因为，所以，A错误．在空间直角坐标系中，结合A与C两点的坐标可知y轴与平面垂直，所以为平面的一个法向量，则点B到平面的距离是，B正确．因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，C错误．因为，所以，所以点O到直线的距离是．D正确．
11．ACD 因为，所以，若从A类零件随机选取2个，则这2个零件的质量都大于的概率为．因为，所以，若从A类零件随机选取3个，则这3个零件的质量恰有1个小于的概率为．
，若从A类零件随机选取100个，则零件质量在的个数，则．
12．BD 设，依题意可得，则，
所以，则，从而．
13． 令，得的展开式中各项系数之和为．
14．（注：答案也可以写为） 因为，所以动点P的轨迹是焦点为A，B，实轴长为4的双曲线的上支．因为，所以，所以动点P的轨迹方程为．
15．6 易知M为抛物线的焦点，设P到准线的距离为d，则，而的最小值为P到准线l的距离，故的最小值为．
16．；540 由题意可知，有一个人口有2名志愿者，两个人口有3名志愿者，分配方案共有种，3名女志愿者在同一个入口的分配方案共有种，故3名女志愿者被分在同一个入的概率为，每个入口都有女志愿者的分配方案共有种．
17．解：（1）选①．
圆O的圆心为，半径为1； 1分
圆C的圆心为，半径为． 2分
因为两圆的圆心距为， 3分
且两圆的半径之和为， 4分
所以两圆外离． 5分
选②．
圆O的圆心为，半径为1； 1分
圆C的圆心为，半径为2． 2分
因为两圆的圆心距为， 3分
且两圆的半径之和为， 4分
所以两圆外切． 5分
（2）因为点C到直线的距离， 7分
所以直线被圆C截得的弦长为． 10分
18．解：（1）该市一天的天气为晴天的概率估计值为； 2分
该市一天的天气为雨天的概率估计值为． 4分
（2）
交通顺畅 交通拥堵 合计
天气好 62 13 75
天气不好 13 12 25
合计 75 25 100
8分
由题意可知， 10分
查表可得，
因为， 11分
所以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，可以认为两种交通路况和“天气情况”有关． 12分
19．（1）证明：在长方体中，以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨令，则， 2分
． 4分
因为，所以． 6分
（2）解：由（1）可知，， 7分
． 8分
设平面的法向量，
则令，得． 10分
设直线与平面所成的角，则． 12分
20．解：（1）X的取值范围为． 1分
，， 3分
，， 5分
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
6分
（2）由（1）知（或）． 9分
设这3人获得的话费补贴总额为Y．则（元）， 10分
所以元，
故这3人将获得的话费补贴总额的期望为147元． 12分
21．（1）证明：在中，因为E，F分别是的中点，所以， 2分
则在图2中，． 3分
又平面平面，所以平面． 5分
（2）解：取的中点M，连接，则的大小即二面角的大小． 6分
可设在平面内的投影为N，连接．以N为坐标原点，射线为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以．
则， 7分
． 8分
设平面的法向量，
则令，则，即． 9分
设平面的法向量，
则令，则，即． 10分
因为，所以平面与平面所成的角为． 12分
22．（1）解：由C的渐近线方程为，得， 1分
故可设C的方程为， 2分
将点代入可得， 3分
故C的方程为． 4分
（2）证明：设， 5分
则直线的方程为，
令，得，则， 6分
直线的方程为，
令，得，则． 7分
设是以为直径的圆上任意一点，
则， 8分
即，
，
即， 9分
因为在C上，所以，则， 10分
所以，令，得． 11分
故以为直径的圆过两个定点，且这两个定点的坐标分别为． 12分
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一册、第二册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若直线与直线垂直，则（ ）
A．6 B．4 C． D．
2．已知抛物线的焦点为F，准线为l，则“”是“F到l的距离大于1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知两个变量x与y的五组数据如下表所示，且y关于x的线性回归方程为，则（ ）
x 6.3 72 7.8 8.2 9.5
y 42 46 50 m 57
A．52 B．53 C．54 D．55
4．若椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为，则（ ）
A．1 B．3 C．6 D．1或3
5．甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（ ）
X012P0.080.140.78
X012P0.06.240.56
X012P0.060.560.38
X012P0.060.380.56
A B C D
A．A B．B C．C D．D
6．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为（ ）
A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.51
7．的展开式中x的系数是（ ）
A． B．152 C．88 D．
8．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，M是的中点，，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若直线与抛物线交于A，B两点，则（ ）
A．l的倾斜角为 B． C．l的倾斜角为 D．
10．在空间直角坐标系中，，则（ ）
A． B．点B到平面的距离是2
C．异面直线与所成角的余弦值 D．点O到直线的距离是
11．设某车间的A类零件的质量m（单位：）服从正态分布，且．（ ）
A．若从A类零件随机选取2个，则这2个零件的质量都大于的概率为0.25
B．若从A类零件随机选取3个，则这3个零件的质量恰有1个小于的概率为0.4
C．若从A类零件随机选取100个，则零件质量在的个数的期望为60
D．若从A类零件随机选取100个，则零件质量在的个数的方差为24
12．已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为．点M为C上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线的斜率之积大于，则C的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．的展开式中各项系数之和为_________．
14．设，则动点P的轨迹方程为________．
15．已知P为抛物线上的动点，，则的最小值为__________．
16．某体育赛事组织者招募到8名志愿者，其中3名女性，5名男性，体育馆共有A，B，C三个入口，每个入口需要分配不少于2个且不多于3个志愿者，每名志愿者都要被分配，则3名女志愿者被分在同一个入口的概率为________，每个入口都有女志愿者的分配方案共有________种．（本题第一空3分，第二空2分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知圆与圆．
（1）在①，②这两个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答．
若_______，判断这两个圆的位置关系；
（2）若，求直线被圆C截得的弦长．
注；若第（1）问分别选择两个条件分别作答，按第一个作答计分．
18．（12分）
某大学生社团组织社会调查活动，随机调查了某市区某个路口100个工作日中每天的天气情况和当天早高峰（7点至9点）时段经过该路口的机动车车次，整理数据得到下表：
机动车车次 天气
晴天 10 52 13
阴天 2 9 8
雨天 0 2 4
（1）分别估计该市一天的天气为晴天和雨天的概率；
（2）若晴天记为“天气好”，阴天或雨天记为“天气不好”，若当天早高峰时段经过该路口的机动车车次小于1600，则视为交通順畅，否则视为交通拥堵．根据所给数据，完成下面的列联表，在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，可否认为两种交通路况和“天气情况”有关？
交通顺畅 交通拥堵 合计
天气好
天气不好
合计
附：．
0.05 0.0 0.005
k 3.841 6.635 7.879
19．（12分）
如图，在长方体中，底面是正方形，O是的中点，．
（1）证明：．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（12分）
在2021年“双11”网上购物节期间，某电商平台销售了一款新手机，现在该电商为调查这款手机使用后的“满意度”，从购买了该款手机的顾客中抽取20人，调查结果显示，只有3人“非常满意”．从这20人中随机抽取3人做采访，记这3人中对该款手机“非常满意”的人数为X．
（1）求X的分布列；
（2）若被抽取的这3人中对该款手机“非常满意”的被采访者将获得100元话费补贴，其他被调查者将获得40元话费补贴，求这3人将获得的话费补贴总额的期望．
21．（12分）
如图1，在边长为4的等边三角形中，D，E，F分别是的中点，沿把折起，得到如图2所示的四棱锥．
（1）证明：平面．
（2）若二面角的大小为，求平面与平面所成角的大小．
22．（12分）
已知双曲线过点，且C的渐近线方程为．
（1）求C的方程．
（2）A，B为C的实轴端点，Q为C上异于A，B的任意一点，与y轴分别交于M，N两点，证明：以为直径的圆过两个定点．
高二考试数学试卷参考答案
1．A 由题意可知．即．
2．B 因为F到l的距离为m，所以“”是“F到l的距离大于1”的必要不充分条件．
3．D 因为，所以，则．
4．B 若，则由得（舍去）；若，则由得．
5．D X的取值范围为，
，
故X的分布列为
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
6．D 设“发送的信号为0”，“接收的信号为1”，
则，
因此．
7．C 因为的展开式的通项为，所以的展开式中x的系数是．
8．C 以为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系（图略）．不妨令，则．因为，所以，则，，，，则解得，故．
9．AD 因为l的斜率为1，所以l的倾斜角为，联立与，得，则，因为l经过抛物线的焦点，所以．
10．BD 因为，所以，A错误．在空间直角坐标系中，结合A与C两点的坐标可知y轴与平面垂直，所以为平面的一个法向量，则点B到平面的距离是，B正确．因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，C错误．因为，所以，所以点O到直线的距离是．D正确．
11．ACD 因为，所以，若从A类零件随机选取2个，则这2个零件的质量都大于的概率为．因为，所以，若从A类零件随机选取3个，则这3个零件的质量恰有1个小于的概率为．
，若从A类零件随机选取100个，则零件质量在的个数，则．
12．BD 设，依题意可得，则，
所以，则，从而．
13． 令，得的展开式中各项系数之和为．
14．（注：答案也可以写为） 因为，所以动点P的轨迹是焦点为A，B，实轴长为4的双曲线的上支．因为，所以，所以动点P的轨迹方程为．
15．6 易知M为抛物线的焦点，设P到准线的距离为d，则，而的最小值为P到准线l的距离，故的最小值为．
16．；540 由题意可知，有一个人口有2名志愿者，两个人口有3名志愿者，分配方案共有种，3名女志愿者在同一个入口的分配方案共有种，故3名女志愿者被分在同一个入的概率为，每个入口都有女志愿者的分配方案共有种．
17．解：（1）选①．
圆O的圆心为，半径为1； 1分
圆C的圆心为，半径为． 2分
因为两圆的圆心距为， 3分
且两圆的半径之和为， 4分
所以两圆外离． 5分
选②．
圆O的圆心为，半径为1； 1分
圆C的圆心为，半径为2． 2分
因为两圆的圆心距为， 3分
且两圆的半径之和为， 4分
所以两圆外切． 5分
（2）因为点C到直线的距离， 7分
所以直线被圆C截得的弦长为． 10分
18．解：（1）该市一天的天气为晴天的概率估计值为； 2分
该市一天的天气为雨天的概率估计值为． 4分
（2）
交通顺畅 交通拥堵 合计
天气好 62 13 75
天气不好 13 12 25
合计 75 25 100
8分
由题意可知， 10分
查表可得，
因为， 11分
所以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，可以认为两种交通路况和“天气情况”有关． 12分
19．（1）证明：在长方体中，以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨令，则， 2分
． 4分
因为，所以． 6分
（2）解：由（1）可知，， 7分
． 8分
设平面的法向量，
则令，得． 10分
设直线与平面所成的角，则． 12分
20．解：（1）X的取值范围为． 1分
，， 3分
，， 5分
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
6分
（2）由（1）知（或）． 9分
设这3人获得的话费补贴总额为Y．则（元）， 10分
所以元，
故这3人将获得的话费补贴总额的期望为147元． 12分
21．（1）证明：在中，因为E，F分别是的中点，所以， 2分
则在图2中，． 3分
又平面平面，所以平面． 5分
（2）解：取的中点M，连接，则的大小即二面角的大小． 6分
可设在平面内的投影为N，连接．以N为坐标原点，射线为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以．
则， 7分
． 8分
设平面的法向量，
则令，则，即． 9分
设平面的法向量，
则令，则，即． 10分
因为，所以平面与平面所成的角为． 12分
22．（1）解：由C的渐近线方程为，得， 1分
故可设C的方程为， 2分
将点代入可得， 3分
故C的方程为． 4分
（2）证明：设， 5分
则直线的方程为，
令，得，则， 6分
直线的方程为，
令，得，则． 7分
设是以为直径的圆上任意一点，
则， 8分
即，
，
即， 9分
因为在C上，所以，则， 10分
所以，令，得． 11分
故以为直径的圆过两个定点，且这两个定点的坐标分别为． 12分
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