2021学年第一学期期末质量检测
高二数学试卷
本试卷共有21道试题,满分150分,考试时间120分钟
填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考生
应在答题纸的相应位置直接填写结果
1.必然事件的概率是
2,半径为1的球的体积为
3.已知向量a=(2,1,3),向量b=(4,m,6),若a∥b,则实数m的值为
4.教育部门对某校学生的阅读素养进行
调研,在该校随机抽取了100名学生进
频率
行百分制检测,现将所得的成绩按照003
[40,50),[50,60),[60,70),[70,80)
80,90),[90,100]分成6组,并根据000
所得数据作出了频率分布直方图(如右图
040506708090100威绩分
所示),则成绩在[70,80)这组的学生人
数是
5,在空间直角坐标系O-xyz中,已知向量a=(1,0,3),则a在x轴上的投影向量为
6.将边长为2的正方形ABCD绕其一边AB所在的直线旋转一周,所得的柱体积为
7.生活中有这样的经验:三脚架在不平的地而上也可以稳固地支撑一部照相机,这个经验用我
们所学的数学公理可以表述为
8,有一组数据x、x2、…、x,其平均数为3,方差为2,则新的数据x-1
的方差为
9.一道数学难题,在半小时内,甲能独立解决的概率是一,乙能独立解决的概率是-,两人试
图独立地在半小时内解决它,则至少有一人能解决该问题的概率为
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10.甲、乙两人练习跳绳,每人练习10组,每组不间甲
809
断跳绳计数的茎叶图如图,则下面结论中所有正确的序
32|113489
号是
76542020113
73
①甲的极差比乙的大
②乙的中位数是18;
③甲的平均数比乙的大;④乙的众数是21
P2
11.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,
AB是一条侧棱,P(i=1,2,…,8)是上底面上其B
P3
的八个点,则集合{yy=AB.AB,i=1,2
}中的元素个数为
12.我国南北朝时期的数学家祖眶提出了一个原理“幂势既同,则积不容异”,即夹在两个平行
平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相
等,那么这两个几何体的体积相等.现有某几何体和一个圆锥满足祖晅原理的条件,若该圆锥的
则面展开图是一个半径为2的半圆,则该几何体的体积为
二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确逸项.考生应在
答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑
13.某家大型超市近10天的日客流量(单位:千人次)分别为:34、3.6、56、1.8、3.7、4.0、
2.5、2.8、44、3.6.下列图形中不利于描述这些数据的是()
(A)散点图
(B)条形图
(C)茎叶图
(D)扇形图
14.设a、B是两个不同的平面,l是一条直线,则以下命题正确的是
(A)若l∥a,a∥B,则lcB
(B)若l∥ax,a⊥B,则l⊥B
(C)若l⊥a,a⊥B,则l∈B;
(D)若l⊥a,a∥B,则l⊥B
15.由小到大排列的一组数据:x、x2、x、x、x5,其中每个数据都小于-2,则另一组数
据2、一x1、x2、x3、-x4、x5的中位数可以表示为()
(A)+x
(B)
(C)2+
16.概率论起源于赌博问题.法国著名数学家布莱尔·帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌金分配
问题:甲、乙两赌徒约定先赢满5局者,可获得全部赌金700法郎,当甲赢了4局,乙赢了3
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高二数学评分标准
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1. 1； 2. ； 3. 2；
4. 20； 5. ； 6. ；
7. 不在同一直线上的三点确定一个平面； 8. 2； 9. ；
10. ①③④； 11. 1； 12. .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．
13. A； 14. D； 15. C； 16. A.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17. 解：“同时抛掷两颗骰子”的样本空间是{1，2，…，6；1，2，…，6}，其中i、j分别是抛掷第一颗与第二颗骰子所得的点数.
（1）将“出现两个1点”这个事件用A表示，则事件A就是子集. …… 4分
（2）样本空间一共有个基本事件，它们是等可能的，从而“出现两个1点”的概率为. …… 8分
（3）将“点数之和为7”这个事件用B表示，则{，，，，，}，事件B共有6个基本事件，
从而“点数之和为7”的概率为. …… 14分
18. 解：（1）该四面体是以为底面，P为顶点的三棱锥.
P到平面的距离，的面积. …… 3分
因此四面体的体积. …… 6分
（2）解法1：连接AP，则，所以就是异面直线与所成的角或其补角. …… 10分
在Rt△ABP中，；在Rt中，；
在Rt中，.
在中，， …… 13分
所以异面直线与所成的角的大小为. ……14分
解法2：以点D为原点，、与的方向为x轴、y轴与z轴的正方向，建立空间直角坐标系. …… 8分
则，，，.
故，. …… 10分
设异面直线与所成的角的大小为，
则. …… 13分
故异面直线与所成的角的大小为. …… 14分
19. 解法1：（1）连接BD，设，连接OE. 在中，O、E分别是BD、的中点，则. …… 2分
因为直线AE在平面AEC上，而直线不在平面AEC上， …… 4分
根据直线与平面平行的判定定理，得到直线平面AEC. …… 7分
（2）直线在平面ABCD上的投影是BD， …… 9分
显然有. 由三垂线定理，可得. …… 11分
同理可得，. …… 13分
由于AC和是平面上的两条相交直线，根据直线与平面垂直的判定定理，得直线平面. …… 14分
解法2：（1）以点D为原点，、与的方向为x轴、y轴与z轴的正方向，建立空间直角坐标系. …… 1分
设正方体的棱长为，则，，，，，
故，，. …… 3分
设平面AEC的法向量为，则，，
即.
取，从而得到平面AEC的一个法向量为. …… 5分
而，所以. …… 6分
因为直线不在平面AEC上，所以直线平面AEC. …… 7分
（2），，
故，，
所以，，即，， …… 11分
由于AC和是平面上的两条相交直线，根据直线与平面垂直的判定定理，得直线平面. …… 14分
解法3：（2）设平面的法向量为，则，，
即，取，得到平面的一个法向量为， 11分
从而，所以，由此可得直线平面. … 14分
20. 解：（1）以点A为原点，、与的方向为x轴、y轴与z轴的正方向，建立空间直角坐标系. …… 1分
则，，，，
故，，
从而， …… 4分
所以异面直线AE与DF所成的角的大小为. …… 6分
（2），设平面DEF的法向量为，则，，即，
取，得到平面DEF的一个法向量为. …… 9分
点A到平面DEF的距离为. …… 12分
（3）假设存在满足条件的点M，设（），则，从而， …… 14分
即，解得：此方程无实数解，
故不存在满足条件的点M. …… 16分
21. 解：（1）因为棱台与棱锥的棱长和相等，
所以，
故. …… 2分
又因为截面底面ABC，所以，，
从而，从而，故为正四面体. …… 4分
（2）取BC的中点M，连接PM、DM、AM，
由，，得：平面PAM， …… 6分
而平面PAM，故，
从而是二面角的平面角. …… 7分
由（1）知，三棱锥的各棱长均为1，所以.
由D是PA的中点，得.
在Rt△ADM中，，
故二面角的大小为. …… 10分
（3）存在满足条件的直四棱柱. …… 11分
棱台的棱长和为定值6，体积为V.
设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，
则该四棱柱的棱长和为6，体积为. …… 13分
因为正四面体的体积是， …… 15分
所以，，从而， …… 17分
故构造棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直四棱柱即满足条件.
…… 18分
