天津市西青区2021-2022学年高三上学期期末考试数学试卷（PDF版含答案）

西青区 2021--2022学年度第一学期高三期末考试
数学试卷
本试卷分为第 I卷（选择题）和第 II卷（非选择题）两部分，共 100分，考试用时
60分钟。第 I卷 1至 3 页，第 II卷 3 至 4 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试
用条形码。答题时，考生务必将答案涂在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第 I卷
注意事项：
1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共 9题，每题 5 分，共 45 分。在每题给出的四个选项中，只有一项是最
符合题目要求的。
一、单选题(共 45分)
1．(本题 5分)已知全集U 2，3，5，7，11，13，17，19 ,集合 A 2，7，11 ,集合 B 5，11，13 ,则
UA B
A． 5 B．{13} C． 5，13 D． 11，13
2．(本题 5分)设 a R，则“ a 1”是“直线 ax y a 1 0与直线 x ay a 0平行”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2
3．(本题 5分)函数 f x x x sin x 在 ,

的图象大致为（ ）
x2 1 2 2
A． B．
C． D．
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4．(本题 5分)在黄陵中学举行的数学知识竞赛中，将高二两个班参赛的学生成绩(得分
均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右
的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是 0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是
40．这两个班参赛的学生人数是（ ）
A．80 B．90
C．100 D．120
5．(本题 5分)已知直三棱柱 ABC A1B1C1的 6个顶点都在球O的球面上,若
AB 3, AC 4, AB AC, AA1 12,则球O的表面积为
A．153π B．160
C．169 D．360
2 2 3 3
6 x y．(本题 5分)已知双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的一条渐近线方程 y x

，且过点 5,

，
a b 2 2
则双曲线的方程为（ ）
x2A y
2 x2 y2 x2 y2
． 1 B． 1 C． y2 1 D． x2 1
4 9 9 4 4 4
7 2．(本题 5分)在 5,5 上随机取一个实数 m，能使函数 f x x 2mx 2在 R上有
零点的概率为
2 3 1 3
A． B． C． D．
5 5 5 10

8．(本题 5分)将函数 f x sin 2x ( )的图像向右平移 个单位后，得到
2 6
y sin 2x 的图像，则函数 f x 的单调增区间为
6

A． k

,k ,k z B． k

,k ,k z
3 6 6 3

C． k

,k ,k z D． k

,k 2 ,k z
4 4 6 3

1 2a
x 1 , x ,1
9．(本题 5分)定义在 R上的函数 f x 2 （其中 a 0且 a 1），
a loga x, x 1,
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f x f x
对于任意 x1 x
1 2
2 都有 0成立，则实数 a的取值范围为（ ）x1 x2
1 , 3 3 1 3 3 A． B
,1 ．
2 4
C． , D． ,1
4 2 4 4
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共 11 题，共 105 分。
二、填空题(共 30分)
10．(本题 5分)设 z
3 2i
，期中 i为虚数单位，则复数 z的虚部为__________________.
i
4
11 ( 1 ． 本题 5分) x
2 1 的展开式中常数项是________．
x
12．(本题 5分)若集合 A 0,1,2,3 ,B y y x 2 1，x A ，则集合 B的所有子集的个
数是_________.
13．(本题 5分)已知直线 l经过点 P ，且被圆 截得的
弦长为 8，则直线 l的方程是________________．
1
14．(本题 5 2分)已知函数 f (x) x a | x | 2 a有且只有一个零点，若方程 f (x) kx 1
无解，则实数 k的取值范围为___________.
π
15．(本题 5分)在等腰直角三角形 ABC中， C ，点 P在三角形内，满足
2

PA 2PB (2 2 2)PC 0，则 APB ______.
三、解答题(共 75分)
16．(本题 14分)在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且满足
3b 2c bcos A a 2 b 2 c 2 .
（1）求 cos A的值；

（2）求 cos 2A 3
的值.

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17．(本题 15分)如图，PD垂直于梯形 ABCD所在的平面， ADC BAD 90 ，F 为
PA中点，PD 2， AB AD
1
CD 1，四边形 PDCE为矩形，线段 PC交DE于点
2
N .
（1）求平面 ABC与平面 PBC所成角的大小；
（2）在线段 EF上是否存在一点Q，使得 BQ与平面
π
BCP所成角的大小为 ？若存在，请求出 FQ的长；
6
若不存在，请说明理由.
18．(本题 15分)已知{an}是等差数列，且 a3 a4 8， a2 4 a4；数列{bn}满足：
b 1n a ．n 1an 2
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}
S 1
的前 n项和为 Sn，若 n ，求 n的最大值．n 1 20
2 2
19．( x y本题 15分)已知椭圆C : 2 2 1 a b 0 的左、右焦点分别为 F1、F2，焦点为a b
F2的抛物线D : y2 4x的准线被椭圆C截得的弦长为 2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点 F1、 F2到直线 l : y mx n的距离之积为1，求证：直线 l与椭圆C相切．
20．(本题 16分)已知 f (x) xe x
（1）证明： f (x) ln x x 1；
（2）若 x 1时， f (x) e a(ln x x 1)恒成立，求实数 a的取值范围.
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西青区 2021--2022学年度第一学期高三期末考试
数学答案
1．C 2．A 3．D 4．C 5．C 6．A 7．B 8．A 9．A
10．-3 11．-11 12．16 13．x＋4＝0或 4x＋3y＋25＝0
, 0 5 14． 15．
8
16．(1) 由已知结合余弦定理得 3b 2c b cos A 2ab cosC，∴ 3b 2c cos A 2acosC .
由正弦定理得 3sin B 2sinC cos A 2sin AcosC
∴3sinB cos A 2 sin AcosC cos AsinC 2sin A C .
∵ A B C ，∴3sin B cos A 2sin B，
∵sin B 0，∴ cos A
2
.
3
(2) 因为 cos A
2
5 4 5，所以 sin A ，则 sin 2A 2sin Acos A ，
3 3 9
则 cos 2A 2cos2 A 1
1
，
9

所以 cos 2A cos 2A cos sin 2A sin
1 4 15
.
3 3 3 18
17．(1)
连接DB，如下图所示：
因为 ABCD是直角梯形，且 AD AB
1
DC 1，
2
故可得BC 2 BD，则DB2 BC 2 DC 2 ，
则△DBC为直角三角形，即DB BC .
因为 PD 面 ABC，又DB BC，
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则 PBD即为平面 ABC与平面 PBC所成角的平面角；

在Rt△ PBD中， PD 2 DB，故 PBD ，4

故平面 ABC与平面 PBC所成角的大小为 .
4
(2)因为 PD 平面 ABCD，DA,DC 面 ABCD，故 PD DA,PD DC，
又 ADC 90 ，则DA DC，即DP,DA,DC两两垂直，
故以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则 A 1,0,0 ,P 0,0, 2 ,F 1 2 , 0, ,B 1,1,0 ,C 0, 2,0 ,E 0, 2, 2 ，
2 2
不妨设存在点Q x, y, z π在线段 EF上，使得 BQ与平面 BCP所成角的大小为 ，
6


则存在实数 0,1 x 1 2 1 2使得 FQ FE，即 , y, z , 2, ，
2 2 2 2
x 1 1 , y 2 , z 2 2
1 1
解得 ，即Q , 2 ,
2 2
.
2 2 2 2 2 2 2 2

设平面BCP的法向量为n x, y, z ，BC 1,1,0 ,PC 0,2, 2
n

BC 0 x y 0
则

，即 ，不妨取 z 2，故可得 n 1,1, 2 .
n PC 0 2y 2z 0

BQ 1 1

又 , 2 1,
2 2
，
2 2 2 2
1 1 2
2

则 BQ 2 1
2 2 2

1 2
2 2 2 2
19 10 7
2
1 1 BQ n 2 1 2 2 2

5 1 2 2 2 2 2 2
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BQ n
5 1
故可得： sin cos BQ,n

，即 1 2 2 ，
6 BQ n 2 19 2 10 7
整理得： 2 1，又 0,1 ，即可得 1，此时点Q与点 E重合.

FQ FE 1 ,2, 2
2 2


，则
2 2 FQ
1 2 19
2 2 .
2 2 2
π
综上所述：在线段 EF上存在点Q与点 E重合，使得 BQ与平面BCP所成角的大小为 ，
6
且FQ 19的长度为 .
2
18．（Ⅰ）设等差数列 an 的公差为 d，
2a1 5d 8 a1 1
依题意有
2d 4
，解得 ，
d 2
所以 an 1 2(n 1) 2n 3 ．
1 1 1 1 1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn an 1an 2 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1
，

S 1 1 1 1 1 1 1 n n
，
2 3 3 5 2 n 1 2 n 1 2 n 1
S 1
由 n 可得 2n2 17n 1 0．
n 1 20
设 f x 2x2 17x 1，
则 f x 在 (0,17) 17上单调递减，在 ( , )上单调递增，
4 4
又 f 8 7 0, f 9 10 0，
∴n的最大值为 8．
19．（1）设椭圆C的焦距为 2c c 0 ，
抛物线D的焦点为 F2 1,0 ，则 c 1，抛物线D的准线方程为 x 1，
2
由于抛物线D的准线被椭圆C截得的弦长为 2，则点 P 1, 在椭圆C上，
2


2 2
由椭圆的定义得 2a PF PF 02
2 2 2
1 2 + + 2 + 2 2， a 2 ，则
2 2
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b a2 c2 1，
x2
因此，椭圆C的标准方程为 y2 1；
2
m n m n
（2）点 F1 1,0 到直线 l的距离 d1 ，点 F2 2 1,0 到直线 l的距离为 d2 ，m 1 m2 1
m2 n2
则 d1d2 2 1 m
2 n 2 m 2 1 .
m 1
①若m2 1 m2 n2，则 n2 1，显然不成立；
②若m2 1 n2 m2，则 n2 2m2 1 .
y mx n
C 将直线 l的方程与椭圆 的方程联立 x2 2 ，
y 1 2
y 2m2消去 得 1 x2 4mnx 2 n2 1 0，
16m2n2则 4 2m2 1 2 n2 1 8 2m2 n2 1 0，
因此，直线 l与椭圆C相切.
20．（（1）令 g x f x ln x x 1 xex ln x x 1, x 0 ，
令 ，可得函数 u x 在 0, 上单调递增，
x 1 因此存在 0 ,12
，使得 可得 x0 ln x0，

函数 g x 在 0, x0 上单调递减，在 x0 , 上单调递增，
函数 g x 在 x x0处取得极小值即最小值，
因此 f x lnx x 1 ;
（2）令
函数 a 0时，u x 0，
可得 h ' x 0，函数 h x 在 1, 上单调递增，
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满足条件，
a 0时， 在 1, 上单调递增，

0 a e时，u x 0此时函数 h x 在 1, 上单调递增，
h x h 1 0，满足条件，
a e时，存在 x0 1，使得
因此函数 h x 在 1, x0 上单调递减，
因此 不满足条件舍去,
综上可得，a的取值范围是 ,e .
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