上海市金山区2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 上海市金山区2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 878.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-14 15:30:04 | ||
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文档简介
上海市金山区2021-2022学年高二上学期期末质量检测
数学
本试卷共有 21 道试题， 满分 150 分， 考试时间 120 分钟
一、填空题（本大题共有 12 题， 满分 54 分， 第 题每题 4 分， 第 题每题 5 分）考生 应在答题纸的相应位置直接填写结果．
必然事件的概率是________．
半径为1的球的体积为________．
已知向量 ， 向量 ， 若 ， 则实数 的值为________．
教育部门对某校学生的阅读素养进行调研， 在该校随机抽取了 100 名学生进 行百分制检测， 现将所得的成绩按照 ， 分成 6 组， 并根据所得数据作出了频率分布直方图 (如下图所示)， 则成绩在 这组的学生人数是________．
在空间直角坐标系 中， 已知向量 ， 则 在 轴上的投影向量为________．
将边长为 2 的正方形 绕其一边 所在的直线旋转一周， 所得的圆柱体积为________．
生活中有这样的经验： 三脚架在不平的地面上也可以稳固地支撑一部照相机． 这个经验用我 们所学的数学公理可以表述为________________．
有一组数据 ， 其平均数为 3 ， 方差为 2 ， 则新的数据 的方差为________．
一道数学难题， 在半小时内， 甲能独立解决的概率是 ， 乙能独立解决的概率是 ， 两人试 图独立地在半小时内解决它， 则至少有一人能解决该问题的概率为________．
乙两人练习跳绳，每人练习10组，每组不间断跳绳计数的茎叶图如图，则下面结论中所有正确的序号是______
①甲的极差比乙的大；②乙的中位数是18；
③甲的平均数比乙的大；④乙的众数是
如图， 四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱， 是一条侧棱， 是上底面上其余的八个点， 则集合 ， 中的元素个数为________．
我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理 “幂势既同， 则积不容异”， 即夹在两个平行平面之间的两个几何体， 被平行于这两个平面的任意平面所截， 如果截得的两个截面的面积总相等， 那么这两个几何体的体积相等． 现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件， 若该圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆， 则该几何体的体积为________．
二、选择题（本大题共有 4 题， 满分 20 分， 每题 5 分）每题有且只有一个正确选项． 考生应在 答题纸的相应位置， 将代表正确选项的小方格涂黑．
某家大型超市近 10 天的日客流量（单位：千人次）分别为：
2．5、2．8、4．4、3．6． 下列图形中不利于描述这些数据的是 ( ．
(A) 散点图；
(B) 条形图；
(C) 茎叶图；
(D) 扇形图．
设 是两个不同的平面， 是一条直线， 则以下命题正确的是 ( ．
(A) 若 ， 则 ；
(B) 若 ， 则 ；
(C) 若 ， 则 ；
(D) 若 ， 则 ．
由小到大排列的一组数据： ， 其中每个数据都小于 ， 则另一组数
据 的中位数可以表示为 ．
(A) ；
(B)
(C) ；
(D) ．
概率论起源于赌博问题． 法国著名数学家布莱尔帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌金分配问题： 甲、乙两赌徒约定先赢满 5 局者， 可获得全部赌金 700 法郎， 当甲赢了 4 局， 乙嬴了 3局， 不再赌下去时， 赌金如何分配 假设每局两人输贏的概率各占一半， 每局输贏相互独立， 那 么赌金分配比较合理的是 ．
(A）甲 525 法郎，乙 175 法郎；
(B) 甲 500 法郎， 乙 200 法郎；
(C) 甲 400 法郎， 乙 300 法郎；
(D) 甲 350 法郎， 乙 350 法郎．
三、解答题（本大题共有 5 题， 满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
(本题满分 14 分， 第 1 小题满分 4 分， 第 2 小题满分 4 分， 第 3 小题满分 6 分)
同时抛掷两颗骰子， 观察向上的点数．
(1)试表示 “出现两个 1 点” 这个事件相应的样本空间的子集；
(2) 求 “出现两个 1 点” 的概率；
(3) 求 “点数之和为 7” 的概率．
(本题满分 14 分， 第 1 小题满分 6 分， 第 2 小题满分 8 分)
如图， 已知正方体 的棱长为 分别 是棱 的中点．
(1) 求以 为顶点的四面体的体积；
(2) 求异面直线 与 所成的角的大小．
(本题满分 14 分， 第 1 小题满分 7 分， 第 2 小题满分 7 分)
如图， 在正方体 中， 是棱 的中点．
(1) 试判断直线 与平面 的位置关系， 并说明理由；
(2) 求证： 直线 平面 ．
(本题满分 16 分， 第 1 小题满分 6 分， 第 2 小题满分 6 分， 第 3 小题满分 4 分)
如图， 在直棱柱 中， 已知
， 点 分别是 的中点．
(1) 求异面直线 与 所成的角的大小；
(2) 求点 到平面 的距离；
(3) 在棱 上是否存在一点 ， 使得直线 与平面 所成的角的大小是 若存在， 请指出点 的位置， 若不存在， 请说明理由．
（本题满分 18 分， 第 1 小题满分 4 分， 第 2 小题满分 6 分， 第 3 小题满分 8 分)
如图， 是底面边长为 1 的正三棱锥， 分别为棱 上的点， 截面 底面 ， 且棱台 与棱锥 的棱长和相等． (棱长和是指多面 体中所有棱的长度之和)
(1) 求证： 为正四面体；
(2) 若 ， 求二面角 的大小；
(3) 设棱台 的体积为 ， 是否存在体积为 且各棱长均相等的直四棱柱， 使得它与棱台 有 相同的棱长和 若存在， 请具体构造出这样的一个直四棱柱， 并给出证明； 若不存在， 请说明理由．
上海市金山区2021-2022学年高二上学期期末质量检测
数学评分标准
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1. 1； 2. ； 3. 2；
4. 20； 5. ； 6. ；
7. 不在同一直线上的三点确定一个平面； 8. 2； 9. ；
10. ①③④； 11. 1； 12. .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．
13. A； 14. D； 15. C； 16. A.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17. 解：“同时抛掷两颗骰子”的样本空间是{1，2，…，6；1，2，…，6}，其中i、j分别是抛掷第一颗与第二颗骰子所得的点数.
（1）将“出现两个1点”这个事件用A表示，则事件A就是子集. …… 4分
（2）样本空间一共有个基本事件，它们是等可能的，从而“出现两个1点”的概率为. …… 8分
（3）将“点数之和为7”这个事件用B表示，则{，，，，，}，事件B共有6个基本事件，
从而“点数之和为7”的概率为. …… 14分
18. 解：（1）该四面体是以为底面，P为顶点的三棱锥.
P到平面的距离，的面积. …… 3分
因此四面体的体积. …… 6分
（2）解法1：连接AP，则，所以就是异面直线与所成的角或其补角. …… 10分
在Rt△ABP中，；在Rt中，；
在Rt中，.
在中，， …… 13分
所以异面直线与所成的角的大小为. ……14分
解法2：以点D为原点，、与的方向为x轴、y轴与z轴的正方向，建立空间直角坐标系. …… 8分
则，，，.
故，. …… 10分
设异面直线与所成的角的大小为，
则. …… 13分
故异面直线与所成的角的大小为. …… 14分
19. 解法1：（1）连接BD，设，连接OE. 在中，O、E分别是BD、的中点，则. …… 2分
因为直线AE在平面AEC上，而直线不在平面AEC上， …… 4分
根据直线与平面平行的判定定理，得到直线平面AEC. …… 7分
（2）直线在平面ABCD上的投影是BD， …… 9分
显然有. 由三垂线定理，可得. …… 11分
同理可得，. …… 13分
由于AC和是平面上的两条相交直线，根据直线与平面垂直的判定定理，得直线平面. …… 14分
解法2：（1）以点D为原点，、与的方向为x轴、y轴与z轴的正方向，建立空间直角坐标系. …… 1分
设正方体的棱长为，则，，，，，
故，，. …… 3分
设平面AEC的法向量为，则，，
即.
取，从而得到平面AEC的一个法向量为. …… 5分
而，所以. …… 6分
因为直线不在平面AEC上，所以直线平面AEC. …… 7分
（2），，
故，，
所以，，即，， …… 11分
由于AC和是平面上的两条相交直线，根据直线与平面垂直的判定定理，得直线平面. …… 14分
解法3：（2）设平面的法向量为，则，，
即，取，得到平面的一个法向量为， 11分
从而，所以，由此可得直线平面. … 14分
20. 解：（1）以点A为原点，、与的方向为x轴、y轴与z轴的正方向，建立空间直角坐标系. …… 1分
则，，，，
故，，
从而， …… 4分
所以异面直线AE与DF所成的角的大小为. …… 6分
（2），设平面DEF的法向量为，则，，即，
取，得到平面DEF的一个法向量为. …… 9分
点A到平面DEF的距离为. …… 12分
（3）假设存在满足条件的点M，设（），则，从而， …… 14分
即，解得：此方程无实数解，
故不存在满足条件的点M. …… 16分
21. 解：（1）因为棱台与棱锥的棱长和相等，
所以，
故. …… 2分
又因为截面底面ABC，所以，，
从而，从而，故为正四面体. …… 4分
（2）取BC的中点M，连接PM、DM、AM，
由，，得：平面PAM， …… 6分
而平面PAM，故，
从而是二面角的平面角. …… 7分
由（1）知，三棱锥的各棱长均为1，所以.
由D是PA的中点，得.
在Rt△ADM中，，
故二面角的大小为. …… 10分
（3）存在满足条件的直四棱柱. …… 11分
棱台的棱长和为定值6，体积为V.
设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，
则该四棱柱的棱长和为6，体积为. …… 13分
因为正四面体的体积是， …… 15分
所以，，从而， …… 17分
故构造棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直四棱柱即满足条件.
…… 18
数学
本试卷共有 21 道试题， 满分 150 分， 考试时间 120 分钟
一、填空题（本大题共有 12 题， 满分 54 分， 第 题每题 4 分， 第 题每题 5 分）考生 应在答题纸的相应位置直接填写结果．
必然事件的概率是________．
半径为1的球的体积为________．
已知向量 ， 向量 ， 若 ， 则实数 的值为________．
教育部门对某校学生的阅读素养进行调研， 在该校随机抽取了 100 名学生进 行百分制检测， 现将所得的成绩按照 ， 分成 6 组， 并根据所得数据作出了频率分布直方图 (如下图所示)， 则成绩在 这组的学生人数是________．
在空间直角坐标系 中， 已知向量 ， 则 在 轴上的投影向量为________．
将边长为 2 的正方形 绕其一边 所在的直线旋转一周， 所得的圆柱体积为________．
生活中有这样的经验： 三脚架在不平的地面上也可以稳固地支撑一部照相机． 这个经验用我 们所学的数学公理可以表述为________________．
有一组数据 ， 其平均数为 3 ， 方差为 2 ， 则新的数据 的方差为________．
一道数学难题， 在半小时内， 甲能独立解决的概率是 ， 乙能独立解决的概率是 ， 两人试 图独立地在半小时内解决它， 则至少有一人能解决该问题的概率为________．
乙两人练习跳绳，每人练习10组，每组不间断跳绳计数的茎叶图如图，则下面结论中所有正确的序号是______
①甲的极差比乙的大；②乙的中位数是18；
③甲的平均数比乙的大；④乙的众数是
如图， 四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱， 是一条侧棱， 是上底面上其余的八个点， 则集合 ， 中的元素个数为________．
我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理 “幂势既同， 则积不容异”， 即夹在两个平行平面之间的两个几何体， 被平行于这两个平面的任意平面所截， 如果截得的两个截面的面积总相等， 那么这两个几何体的体积相等． 现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件， 若该圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆， 则该几何体的体积为________．
二、选择题（本大题共有 4 题， 满分 20 分， 每题 5 分）每题有且只有一个正确选项． 考生应在 答题纸的相应位置， 将代表正确选项的小方格涂黑．
某家大型超市近 10 天的日客流量（单位：千人次）分别为：
2．5、2．8、4．4、3．6． 下列图形中不利于描述这些数据的是 ( ．
(A) 散点图；
(B) 条形图；
(C) 茎叶图；
(D) 扇形图．
设 是两个不同的平面， 是一条直线， 则以下命题正确的是 ( ．
(A) 若 ， 则 ；
(B) 若 ， 则 ；
(C) 若 ， 则 ；
(D) 若 ， 则 ．
由小到大排列的一组数据： ， 其中每个数据都小于 ， 则另一组数
据 的中位数可以表示为 ．
(A) ；
(B)
(C) ；
(D) ．
概率论起源于赌博问题． 法国著名数学家布莱尔帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌金分配问题： 甲、乙两赌徒约定先赢满 5 局者， 可获得全部赌金 700 法郎， 当甲赢了 4 局， 乙嬴了 3局， 不再赌下去时， 赌金如何分配 假设每局两人输贏的概率各占一半， 每局输贏相互独立， 那 么赌金分配比较合理的是 ．
(A）甲 525 法郎，乙 175 法郎；
(B) 甲 500 法郎， 乙 200 法郎；
(C) 甲 400 法郎， 乙 300 法郎；
(D) 甲 350 法郎， 乙 350 法郎．
三、解答题（本大题共有 5 题， 满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
(本题满分 14 分， 第 1 小题满分 4 分， 第 2 小题满分 4 分， 第 3 小题满分 6 分)
同时抛掷两颗骰子， 观察向上的点数．
(1)试表示 “出现两个 1 点” 这个事件相应的样本空间的子集；
(2) 求 “出现两个 1 点” 的概率；
(3) 求 “点数之和为 7” 的概率．
(本题满分 14 分， 第 1 小题满分 6 分， 第 2 小题满分 8 分)
如图， 已知正方体 的棱长为 分别 是棱 的中点．
(1) 求以 为顶点的四面体的体积；
(2) 求异面直线 与 所成的角的大小．
(本题满分 14 分， 第 1 小题满分 7 分， 第 2 小题满分 7 分)
如图， 在正方体 中， 是棱 的中点．
(1) 试判断直线 与平面 的位置关系， 并说明理由；
(2) 求证： 直线 平面 ．
(本题满分 16 分， 第 1 小题满分 6 分， 第 2 小题满分 6 分， 第 3 小题满分 4 分)
如图， 在直棱柱 中， 已知
， 点 分别是 的中点．
(1) 求异面直线 与 所成的角的大小；
(2) 求点 到平面 的距离；
(3) 在棱 上是否存在一点 ， 使得直线 与平面 所成的角的大小是 若存在， 请指出点 的位置， 若不存在， 请说明理由．
（本题满分 18 分， 第 1 小题满分 4 分， 第 2 小题满分 6 分， 第 3 小题满分 8 分)
如图， 是底面边长为 1 的正三棱锥， 分别为棱 上的点， 截面 底面 ， 且棱台 与棱锥 的棱长和相等． (棱长和是指多面 体中所有棱的长度之和)
(1) 求证： 为正四面体；
(2) 若 ， 求二面角 的大小；
(3) 设棱台 的体积为 ， 是否存在体积为 且各棱长均相等的直四棱柱， 使得它与棱台 有 相同的棱长和 若存在， 请具体构造出这样的一个直四棱柱， 并给出证明； 若不存在， 请说明理由．
上海市金山区2021-2022学年高二上学期期末质量检测
数学评分标准
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1. 1； 2. ； 3. 2；
4. 20； 5. ； 6. ；
7. 不在同一直线上的三点确定一个平面； 8. 2； 9. ；
10. ①③④； 11. 1； 12. .
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．
13. A； 14. D； 15. C； 16. A.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17. 解：“同时抛掷两颗骰子”的样本空间是{1，2，…，6；1，2，…，6}，其中i、j分别是抛掷第一颗与第二颗骰子所得的点数.
（1）将“出现两个1点”这个事件用A表示，则事件A就是子集. …… 4分
（2）样本空间一共有个基本事件，它们是等可能的，从而“出现两个1点”的概率为. …… 8分
（3）将“点数之和为7”这个事件用B表示，则{，，，，，}，事件B共有6个基本事件，
从而“点数之和为7”的概率为. …… 14分
18. 解：（1）该四面体是以为底面，P为顶点的三棱锥.
P到平面的距离，的面积. …… 3分
因此四面体的体积. …… 6分
（2）解法1：连接AP，则，所以就是异面直线与所成的角或其补角. …… 10分
在Rt△ABP中，；在Rt中，；
在Rt中，.
在中，， …… 13分
所以异面直线与所成的角的大小为. ……14分
解法2：以点D为原点，、与的方向为x轴、y轴与z轴的正方向，建立空间直角坐标系. …… 8分
则，，，.
故，. …… 10分
设异面直线与所成的角的大小为，
则. …… 13分
故异面直线与所成的角的大小为. …… 14分
19. 解法1：（1）连接BD，设，连接OE. 在中，O、E分别是BD、的中点，则. …… 2分
因为直线AE在平面AEC上，而直线不在平面AEC上， …… 4分
根据直线与平面平行的判定定理，得到直线平面AEC. …… 7分
（2）直线在平面ABCD上的投影是BD， …… 9分
显然有. 由三垂线定理，可得. …… 11分
同理可得，. …… 13分
由于AC和是平面上的两条相交直线，根据直线与平面垂直的判定定理，得直线平面. …… 14分
解法2：（1）以点D为原点，、与的方向为x轴、y轴与z轴的正方向，建立空间直角坐标系. …… 1分
设正方体的棱长为，则，，，，，
故，，. …… 3分
设平面AEC的法向量为，则，，
即.
取，从而得到平面AEC的一个法向量为. …… 5分
而，所以. …… 6分
因为直线不在平面AEC上，所以直线平面AEC. …… 7分
（2），，
故，，
所以，，即，， …… 11分
由于AC和是平面上的两条相交直线，根据直线与平面垂直的判定定理，得直线平面. …… 14分
解法3：（2）设平面的法向量为，则，，
即，取，得到平面的一个法向量为， 11分
从而，所以，由此可得直线平面. … 14分
20. 解：（1）以点A为原点，、与的方向为x轴、y轴与z轴的正方向，建立空间直角坐标系. …… 1分
则，，，，
故，，
从而， …… 4分
所以异面直线AE与DF所成的角的大小为. …… 6分
（2），设平面DEF的法向量为，则，，即，
取，得到平面DEF的一个法向量为. …… 9分
点A到平面DEF的距离为. …… 12分
（3）假设存在满足条件的点M，设（），则，从而， …… 14分
即，解得：此方程无实数解，
故不存在满足条件的点M. …… 16分
21. 解：（1）因为棱台与棱锥的棱长和相等，
所以，
故. …… 2分
又因为截面底面ABC，所以，，
从而，从而，故为正四面体. …… 4分
（2）取BC的中点M，连接PM、DM、AM，
由，，得：平面PAM， …… 6分
而平面PAM，故，
从而是二面角的平面角. …… 7分
由（1）知，三棱锥的各棱长均为1，所以.
由D是PA的中点，得.
在Rt△ADM中，，
故二面角的大小为. …… 10分
（3）存在满足条件的直四棱柱. …… 11分
棱台的棱长和为定值6，体积为V.
设直四棱柱的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，
则该四棱柱的棱长和为6，体积为. …… 13分
因为正四面体的体积是， …… 15分
所以，，从而， …… 17分
故构造棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直四棱柱即满足条件.
…… 18
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