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3.6.2直线和圆的位置关系教学设计
课题 直线和圆的位置关系 单元 3 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.能判定一条直线是否为圆的切线． 2.会过圆上一点画圆的切线． 3.会作三角形的内切圆．
重点 1.探索圆的切线的判定方法，并能运用． 2.作三角形内切圆的方法．
难点 探索圆的切线的判定方法．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.直线和圆有哪些位置关系？ 2.切线的性质是什么？ 学生自由讨论回答 让学生回顾直线与圆的位置关系，并在根据d=r判断直线和圆相切的过程中.明确用数量关系判断相切是常见的一种方法之一，在作图过程中体会判断圆的切线需要的条件，为下步归纳切线的判定定理作准备..
讲授新课 如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角为∠α，当l绕点A旋转时， (1)随着∠α的变化，点O到l的距离(d如何变化 直线l与⊙O的位置关系如何变化 (2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r 此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系 为什么 归纳： 经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线． 试一试：判断下图中的l是否为⊙O的切线？为什么？ 例1、如图，已知AB 是⊙ O 的直径，AB=4， 点C 在线段AB 的延长线上， 点D 在⊙ O 上， 连接CD， 且CD=OA，OC=2 ，求证：CD 是⊙ O 的切线. 例2 如图，在ABC中，作一个圆使它与这个三角形三边都相切. 教师多媒体展示作图过程： 解：1.作∠B，∠C的平分线BE和CF，交点为I. 2.过I作BC的垂线，垂足为D. 3.以I为圆心，以ID为半径作⊙I. ⊙I就是所求的圆. 想一想：类比前面我们学习过的外接圆，你能给这个圆和这个圆心一个名字吗？它们与外接圆和外心有何不同？ 和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 引导学生，画一个圆，并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动．观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见．得出结论 学生观察说明理由，并体会圆的切线必须满足的条件 学生在小组内交流、汇总，并在全班交流，补充. 让学生在练习本上画草图进行分析，要明确此圆需在三角形的内部，且与三角形三边相切，然后重点探究确定圆心和半径的方法，并尝试画图，同时能口述画图过程，还要让学生说明这样做的道理. 引导学生大胆归纳内切圆和内心的概念，同时还要说明它们与外接圆、外心的不同. 通过作图的过程，学生很容易发现切线的判定定理，让学生总结 通过一组不是圆的切线的判断，让学生体会圆的切线必须满足三个条件：有过圆心的线（直径或半径）；过圆上的点（直径一端或半径外端）；垂直.为下步添加辅助线判断圆的切线做准备. 学生已有了作外接圆的经验，让学生自主类比作外接圆的过程进行分析，一是提高学生的自主分析能力，二是培养学生的小组合作意识.学生通过作图还可以提高动手操作的能力和说理能力. 学生类比外接圆和外心的概念，总结内切圆和内心的概念，一是提高学生的归纳能力，二是让学生体会类比思想.
课堂练习 1.下列四个选项中的表述,正确的是( ) A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D.经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 2.如图,点B在☉A上,点C在☉A外,以下条件不能判定BC是☉A的切线的是( ) A.∠A=50°,∠C=40° B.∠B-∠C=∠A C.AB2+BC2=AC2 D.☉A与AC的交点是AC的中点 3.如图，⊙O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于 . 4.如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C画圆弧,则点B与下列格点连线所得的直线中,能够与该圆弧相切的格点坐标是 . 5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E. 求证:PE是⊙O的切线. 6.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切． 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共25张PPT)
3.6.2直线与圆的位置关系
北师大版 九年级下册
情景导入
1.直线和圆有哪些位置关系？
2.切线的性质是什么？
相交、相切、相离
性质:圆的切线垂直于过切点的半径.
几何语言：如图所示，
∵直线l 切☉O于T，∴OT⊥l.
情景导入
当你在下雨天快速转动雨伞时，水滴是顺着伞的什么方向飞出去的？
砂轮打磨零件时，溅出火星沿着砂轮的什么方向飞出去的
均沿着圆的切线的方向飞出．
猜想
O
A
B
如图，AB 是 O 的直径，直线 l 与 AB 的夹角为∠α. 当 l 绕点 A 旋转时，
l
d
α
l
（1）随着∠α 的变化，点 O 到 l 的距离 d 如何变化？直线 l 与 ⊙O 的位置关系如何变化？
∠α 从90°变小到0°，再由0°变大到90°，点 O 到 l 的距离 d 先由 r 变小到0，再由0变大到 r；直线 l 与 ⊙O 先相切，再相交，最后又相切.
新知讲解
（2）当∠α 等于多少度时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r？此时，直线 l 与 ⊙O 有怎样的位置关系？为什么
O
A
B
l
d
α
l
当∠α = 90°时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r . 此时，直线 l 与 ⊙O 相切.
归纳总结
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
OA为⊙O的半径
BC ⊥ OA于A
BC为⊙O的切线
Ｏ
A
B
C
切线的判定定理
应用格式
做一做
O
A
已知⊙O 上有一点A，过点A 画⊙O的切线.
l
练一练
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
O.
A
O.
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
(1)不是，因为没有垂直.
(2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
注意：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
总结
典例精析
例1、如图，已知AB 是⊙ O 的直径，AB=4， 点C 在线段AB 的延长线上， 点D 在⊙ O 上， 连接CD， 且CD=OA，OC=2 ，求证：CD 是⊙ O 的切线.
证明：连接OD.
由题意可知CD=OD=OA=AB=2.
∵ OC=2，∴ OD2+CD2=OC2.
∴∠ODC=90°，即OD ⊥CD.
又∵点D 在⊙O 上，
∴ CD 是⊙O 的切线.
练一练
如图，点O为∠MPN的平分线上一点，以点O为圆心的⊙O与PN相切于点A. 求证：PM为⊙O的切线．
想一想
如图，连接OA，过点O作OB⊥PM于点B.
∵PN与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PN.
∵点O在∠MPN的平分线上，
OB⊥PM，
∴OB＝OA.
∴点O到直线PM的距离等于⊙O的半径．
∴PM为⊙O的切线．
证明：
方法点拨
(1) 已明确直线和圆有公共点，连结圆心和公共点，即半径，再证直线与半径垂直.简记“有交点，连半径,证垂直”;
(2) 不明确直线和圆有公共点，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径.简记“无交点，作垂直,证半径”.
证切线时辅助线的添加方法
例1
例2
典例精析
例2、 已知：△ABC.
求作：⊙I ，使它与△ABC 的三边都相切.
圆心 I 到三边的距离 d 都等于 ⊙I 的半径 r .
圆心 I 在△ABC 的角平分线上
A
B
C
典例精析
A
B
C
F
I
D
作法：1. 分别作∠B，∠C 的平分线 BE 和 CF，交点为 I .
2. 过 I 作 BC 的垂线，垂足为 D .
3. 以 I 为圆心，以 ID 的长为半径作⊙I .
⊙I 就是所求的圆.
·
探究新知
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
4.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.
┐
A
C
O
┐
┐
D
E
F
3.三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
⊙O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心.
填一填
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边中垂线的交点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条角平分线的交点
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别
平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．
A
B
O
A
B
C
O
课堂练习
1.下列四个选项中的表述,正确的是( )
A.经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D.经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线
C
2.如图,点B在☉A上,点C在☉A外,以下条件不能判定BC是☉A的切线的是( )
A.∠A=50°,∠C=40° B.∠B-∠C=∠A
C.AB2+BC2=AC2 D.☉A与AC的交点是AC的中点
D
课堂练习
3.如图，⊙O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于 .
4.如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C 画圆弧,则点B与下列格点连线所得的直线中,能够与该圆弧相切的格点坐标是 .
55°
(6,2)
课堂练习
证明：连接OP.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OPB=∠C.
∴OP∥AC.
∵PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙O的切线.
5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.
O
A
B
C
E
P
课堂练习
6.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．
证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC.
又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，
∴OM＝ON，
∴CD与⊙O相切．
M
N
作业布置
1.课本第93页习题3.8第1、2、3题
2.如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．
课堂小结
切线的判定及三角形的内切圆
切线的判定
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
三角形的内切圆
与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
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