北京朝阳区2021-2022学年高三上学期期末质量检测数学试卷（Word版含答案）

北京市朝阳区2021-2022学年度第一学期期末质量检测
高三数学试卷 2022.1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题 共40分）
选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.
A. B. C. D.
2.双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
3. 在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为
A． B. C. D.
4.已知抛物线上一点与焦点的距离为，则点到轴的距离是
A． B. C.4 D.12
5.设函数 若，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
6. 在直角坐标平面内，为坐标原点，已知点, 将向量绕原点按逆时针
方向旋转得到,则的坐标为
A. B. C. D.
7. 某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的10%以下，则至少需要过滤
（参考数据：）
A.2次 B.3次 C.4次 D.5次
8.若函数的最大值为，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
9.已知平面向量满足与的夹角为，记,则的取值范围为
A. B. C. D.
10.如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上．
11．在的展开式中，的系数为__________.
12.已知圆，直线，则使“圆上至少有3个点到直线距离都
是1”成立的一个充分条件是“ ”.
13.如图，正方形的边长为2，取正方形各边的中点，作第2个正方形， 然后再取正方形各边的中点,作第3个正方形，依此方法一直继续下去.则第4个正方形的面积是 ；从正方形开始，连续8个正方形面积之和是 .
14.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点，平面与平面 (填“垂直”或“不垂直”）；
的面积的最大值为 ．
15. 已知函数的部分图象如图所示，设
给出以下四个结论：
函数的最小正周期是；
函数在区间上单调递增；
函数的图象过点；
直线为函数的图象的一条对称轴.
其中所有正确结论的序号是 ． ．
三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（本小题满分13分）
记的内角的对边分别为，已知（）.
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）是否存在正整数，使得角为钝角？如果存在，求出的值，并求此时的面积；如果不存在，说明理由.
17.（本小题满分13分）
“双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2”模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时.某学校的课后服务有学业辅导、体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了100人作为样本，发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下：
每周参加活动天数 课后服务活动 1天 2~4天 5天
仅参加学业辅导 10人 11人 4人
仅参加体育锻炼 5人 12人 1人
仅参加实践能力创新培养 3人 12人 1人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；
（Ⅱ）从全校学生中随机抽取3人，以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若样本中上个月未参加任何课后服务的学生有人在本月选择仅参加学业辅导，样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化.从全校学生中随机抽取3人，以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数，试判断方差,的大小关系(结论不要求证明).
18.（本小题满分14分）
刍甍（chú méng）是中国古代数学书中提到的一种几何体.《九章算术》中有记载“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.”
如图，在刍甍中，四边形是正方形，平面和平面交于.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，，，，再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得刍甍存在，并求平面和平面夹角的余弦值．
条件①：，；
条件②：平面平面；
条件③：平面平面.
19.（本小题满分15分）
已知曲线：且).
（Ⅰ）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；
（Ⅱ）当时，过点作斜率为的直线交曲线于点（异于顶点），交直线于.过点作轴的垂线,垂足为，直线交轴于，直线交轴于，求线段中点的坐标.
20.（本小题满分15分）
已知函数，.
（Ⅰ）求曲线在处切线的斜率；
（Ⅱ）求函数的极大值；
（Ⅲ）设，当时，求函数的零点个数,并说明理由.
（21）（本小题满分15分）
对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则记．
（Ⅰ）写出集合和；
（Ⅱ）证明：对任意，存在，使得；
（Ⅲ）设集合，求证：中的元素个数是完全平方数．
北京市朝阳区2021-2022学年度第一学期期末质量检测
高三数学试卷答案 2022.1
一、选择题：（本题满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D B C B C D A A
二、填空题：（本题满分25分）
题号 11 12 13 14 15
答案 （结果不唯一） 垂直 ①②④
三、解答题：（本题满分85分）
16.(本小题满分13分)
解：（Ⅰ） 时，此时为直角三角形，
所以. ............6分
（Ⅱ）由题意可得，
即 所以.则
此时三边为
所以所以
所以 ............13分
17.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意知，样本中仅参加学业辅导的学生有人，仅参加体育锻炼的学生有人，仅参加实践能力创新培养的学生有人，未参加任何课后服务的学生有14人.
故样本中至少参加了两类课后服务的学生有人.
所以从全校学生中随机抽取1人，
该学生上个月至少参加了两类课后服务的概率估计值为. ............4分
（Ⅱ）的所有可能值为.
从样本中随机抽取1人，该学生上个月仅参加学业辅导的概率为，
由此估计从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月仅参加学业辅导的概率为.
，
，
，
.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故X的数学期望为. ............10分
（Ⅲ）. ............13分
18. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）证明：正方形中，，平面，平面，
所以平面． ............5分
（Ⅱ）条件②符合题意．
过点作于点，过点作且交于点，连接．
因为平面平面，且平面平面，，
所以平面．所以．
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系．
因为平面,平面，平面平面，
所以．
在四边形中，，，，所以，.
在正方形中，，所以．
因为，且，所以．
所以，，,,．
所以， ，，
．
设平面的一个法向量为．
由得
令，所以．
设平面的一个法向量为．
由得令，所以．
设平面与平面夹角为，则.
所以平面和平面夹角的余弦值为． ............14分
19. （本小题满分15分）
解：（Ⅰ）由题意可知解得，
所以的取值范围为. ............4分
（Ⅱ）当时，曲线为椭圆
由题意，设直线的方程为 .
整理得
设直线交椭圆于点，则
，.
由直线的方程，令解得，
所以，.
所以直线的方程为，.
令解得，
所以.
直线的方程为，.
令解得，
所以.
.
由于，.
则
=
=2.
所以线段的中点的坐标为. ............15分
20. （本小题满分15分）
解：（Ⅰ）定义域为
，
，
所以曲线在处切线的斜率为1. ............4分
（Ⅱ），则.
令得.当时，，单调递增；当时，，
单调递减.所以函数的极大值为. ............10分
（Ⅲ），当时，，所以函数在时单调递增.而，.
所以方程在时有且只有一个根，即方程在时有且只有一个根.
当时，讨论函数的零点个数即讨论方程根的个数，即研究
方程 的根的个数，即研究函数的零点个数.
当时，，，则函数在上无零点.
综上,当时，函数有且仅有一个零点. ............15分
21.（本小题满分15分）
解：（Ⅰ），． .....4分
（Ⅱ）对任意，设，
则均为非负整数，且．
令，则
所以，且． ............9分
（Ⅲ）对任意，，
记，
则均为非负整数，且
所以，且．
设集合中的元素个数为，设．
设集合．
对任意（），都有，
且．
所以．
若，其中，，
设（），因为，所以，
记，则
所以，并且有，所以，所以．
所以．
因为集合中的元素个数为，
所以中的元素个数为，是完全平方数． ............15分
5