2.2 对数函数(Word含答案解析)

2.2 对数函数
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 函数 （，且 ）的图象过定点
A. B. C. D.
2. 设 ，， 均为不等于 的正实数，则下列等式中恒成立的是
A. B.
C. D.
3. 若对数函数的图象过点 ，则此对数函数的解析式为
A. B. C. D.
4. 已知 ，，，则 ，， 的大小关系为
A. B. C. D.
5. 已知函数 ，，则函数 的值域为
A. B. C. D.
6. 若 且 ，则实数 ， 满足的关系式为
A. B. C. D.
7. 设 ，则 ， 的大小关系一定是
A. B.
C. D. 以上答案都不对
8. 等于
A. B. C. D. 以上都不对
9. 如果 ，那么
A. B. C. D.
10. 已知 ，，，则 ， 的大小关系是
A. B.
C. D. 与 ， 取值有关
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 函数 的单调减区间为 ．
12. 函数 的定义域为 ．
13. ，则 的值为 ．
14. 比较大小：
15. 已知 ，，则关于 的不等式 的解集为 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
17. 设 ，函数 有最小值，求不等式 的解集．
18. 已知函数 ．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数 的奇偶性；
（3）求证：．
答案
第一部分
1. D 【解析】令 ，得 ，此时 ．
2. B 【解析】，，，考查对数 个公式：
，．
对选项A：，显然与第二个公式不符，所以为假．
对选项B：，显然与第二个公式一致，所以为真．
对选项C：，显然与第一个公式不符，所以为假．
对选项D：，同样与第一个公式不符，所以为假．
3. D 【解析】设对数函数的解析式为 （，且 ）．
因为对数函数的图象过点 ，
所以 ，解得 ，
所以对数函数的解析式为 ．
4. D
5. C
【解析】因为 的定义域为 ，
所以要使 有意义，则
所以 ，即 的定义域为 ，
又 ，，，
所以 ，，
所以函数 的值域为 ．
6. C
7. D 【解析】方法一：
① 时，，
② ， 时，令 ，则 ，
所以 ，，
所以 ，，
因为 在 单调递增，
所以 ，
即 ，
所以 ．
③ ， 时，令 ，
则 ，
所以 ，，
所以 ，，
因为 在 单调递减，
所以
所以 ，即 ．
故选D．
方法二：
和 在 单调递增且 时，，
因为 时，，
所以 和 图象如下
故 和 分别为函数 和 与 的交点的横坐标，故由图知 或 或 ．
故选D．
8. B 【解析】
9. C
10. B
【解析】．
第二部分
11.
12.
【解析】由对数和分式有意义的条件，知 ．
13.
【解析】由题意，自变量为 ，
故内层函数 ，
故有 ，
即 ．
14.
【解析】因为
所以
15.
【解析】原式转化为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
第三部分
16. （1）
（2）
（3）
17. 设 ，则 在定义域内有最小值．
由于 在定义域内有最小值，所以 ．
所以 ，
所以不等式 的解集为 ．
18. （1） ，
（2） 设任意 ，
因为
所以 为偶函数，
（3） 因为 为偶函数，，
所以只需证明当 时， 即可，
因为 时，，
所以 ，
所以 ，即 ，
综上可知，对 且 ， 成立．
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