北京市大兴区2021-2022学年高二上学期期末检测数学试题（Word版含答案）

大兴区2021~2022学年度第一学期期末检测试题
高二数学
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）椭圆的焦距为
（A） （B）
（C） （D）
（2）双曲线的离心率等于
（A） （B）
（C） （D）4
（3）与直线关于轴对称的直线方程为
（A） （B）
（C） （D）
（4）直线与直线间的距离等于
（A） （B）
（C） （D）
（5）如图，在平行六面体中，等于
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）已知数列满足，，则等于
（A）1 （B）2
（C）4 （D）－4
（7）已知向量，，，若共面，则等于
（A） （B）
（C） （D）
（8）已知等比数列的公比为，则“是递增数列”的一个充分条件是
（A） （B）
（C） （D）
（9）已知数列的前n项和，若数列中第项最大，则等于
（A）6 （B）7
（C）6或7 （D）8
（10）如图，公园里的一条顶点为的抛物线形小路依次穿过两个边长分别为 的正方形草坪，直线AE为抛物线的对称轴，为的中点，则等于
（A）
（B）
（C）
（D）
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
（11）等比数列中，若，则 ．
（12）双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ．
（13）圆上的点到原点距离的最小值等于 ．
（14）若当且仅当时，等差数列的前项和取得最大值，则数列的通项公式可以是 ．（写出满足题意的一个通项公式即可）
（15）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵（qiàn dǔ）．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑（biē nào）．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”文中所述可用下图表示：
则几何体“鳖臑”的四个面中，直角三角形的个数为 ；若上图中的“立方”是棱长为1的正方体，则的中点到直线的距离等于 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题共14分）
已知等差数列中，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求的值.
（17）（本小题共14分）
已知等比数列的前n项和为，，.
（Ⅰ）求数列的通项公式.
（Ⅱ）求数列的前项和.
（18）（本小题共14分）
如图，在多面体中，为正方形，平面，， .
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小.
（19）（本小题共14分）
已知椭圆E:（）离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆E在x轴上方的交点为M，O为坐标原点，若平行于OM的直线l与椭圆恰有一个公共点，求此公共点的坐标．
（20）（本小题共14分）
已知抛物线C经过点，且其对称轴为x轴.
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）已知直线与抛物线C交于两点，判断以为直径的圆与抛物线的准线l的位置关系，并加以证明．
（21）（本小题共15分）
治理垃圾是地改善环境的重要举措．去年地产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的.
（Ⅰ）写出地的年垃圾排放量与治理年数的表达式；
（Ⅱ）设为从今年开始年内的年平均垃圾排放量，证明数列为递减数列；
（Ⅲ）通过至少几年的治理，地的年平均垃圾排放量能够低于100万吨？
2021~2022学年第一学期期末检测试题参考答案与评分标准
高二数学
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C C B C A D D B D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11）
（12）
（13）
（14）答案不唯一，只需满足，例如等
（15）4（3分），（2分）
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共14分）
解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d，…………1分
　　　　由题意得
…………5分
解得，， …………7分
所以． …………9分
（Ⅱ）因为构成首项为,公差为的等差数列，
是其第10项，所以 …………3分
…………5分
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，…………1分
由题意得
…………5分
解得，， …………7分
所以． …………9分
（Ⅱ）由于，
所以是首项为，公比为的等比数列，…………2分
． …………5分
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）方法1：设G为DE的中点，连接FG，AG，
由已知，且，
所以四边形CFGD是平行四边形，…………1分
又ABCD为正方形，
所以ABFG为平行四边形， …………2分
所以， …………3分
又平面，平面，…………4分
所以. …………5分
方法2：因为，所以平面，
又，所以平面，
，
所以平面平面，
所以.
（Ⅱ）因为为正方形，平面，
以D为坐标原点建立空间直角坐标系（如图） …………1分
所以 ，，…………2分
，，，…………3分
设平面的一个法向量为，
则 …………4分
即
令，得.
于是. …………5分
设直线与平面所成角为，则
， …………7分
即， …………8分
所以直线与平面所成的角为. …………9分
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）由已知， …………1分
又，…………2分
解得， …………3分
所以椭圆E的方程为.…………4分
（Ⅱ）将代入椭圆方程，
解得或，
所以，直线OM的斜率为.…………2分
设与直线OM平行的直线， …………3分
由题意得.…………5分
因为l与椭圆E恰有一个公共点，
所以关于的方程有两个相等的实数根，
所以， …………6分
解得，或， …………8分
当时，，l与椭圆公共点的坐标为，
当时，，l与椭圆公共点的坐标为.……10分
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）因为抛物线顶点在原点，对称轴为x轴，且经过第四象限，
设抛物线C的方程为，…………2分
又抛物线经过点，
所以，解得， …………3分
于是抛物线C的方程为． …………4分
（Ⅱ）以AB为直径的圆与抛物线C的准线l相切．证明如下：
证法1：由得．…………2分
由于，设，
则，． …………4分
由于，
，
所以，…………5分
即． …………6分
设以AB为直径的圆的圆心为，
则，即，…………7分
于是． …………8分
由于抛物线C的准线l的方程为，
所以圆心M到准线l的距离等于，…………9分
又以AB为直径的圆的半径为， …………10分
所以，以AB为直径的圆与抛物线C的准线l相切．
证法2：由于直线恒过抛物线的焦点，
过点A，B分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为D，E．
由抛物线的定义，得，．
所以．
设AB中点为M，过点M作抛物线准线的垂线，垂足为N，
显然轴，所以MN是直角梯形ADEB的中位线，
于是，
因此，点N在以AB为直径的圆上，
又，
所以以AB为直径的圆与抛物线C的准线l相切．
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）设治理年后，地的年垃圾排放量构成数列.
当时，是首项为，公差为的等差数列，
所以；…………1分
当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以， …………3分
所以，治理年后，地的年垃圾排放量的表达式为
…………4分
（Ⅱ）设为数列的前项和，
则． …………1分
由于 …………2分
…………3分
由（Ⅰ）知，
时，，所以为递减数列， …………4分
时，，所以为递减数列， …………5分
且， …………6分
所以为递减数列，
于是，
因此， …………7分
所以数列为递减数列．
（Ⅲ）由于是递减数列，且，
所以，5年内年平均垃圾排放量不可能低于100万吨．
时，由于，
所以
…………2分
．
因为， …………3分
， …………4分
综上所述，至少经过10年治理A地年平均垃圾排放量才能低于100万吨．