北京市房山区2021-2022学年高二上学期期末学业水平调研数学试题（Word版含答案）

房山区2021-2022学年度第一学期期末学业水平调研
高二数学
本调研卷共4页，共150分。时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在调研卷上作答无效。调研结束后，将答题卡交回，调研卷自行保存。
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设A，，则AB的中点的坐标为
　（A）　　（B） （C） （D）
（2）直线的倾斜角为
（A） （B） （C） （D）
（3）如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角大小等于
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）若平面，平面的法向量为，则平面的一个法向量可以是
（A） （B） （C） （D）
（5）“”是“方程表示椭圆”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（6）圆心为且与轴相切的圆的方程为
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知A为抛物线C：上一点，点A到抛物线C的焦点的距离为8，到轴的距离为6，则p的值为
（A）1 （B）2 （C） 3 （D）4
（8）已知半径为1的动圆经过坐标原点，则圆心到直线的距离的最大值为
（A） （B） （C） （D）
（9）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为
（A） （B） （C） （D）
（10）如图，正方体中，是的中点，则
（A）直线与直线相交，直线平面
（B）直线与直线平行，直线平面
（C）直线与直线异面，直线平面
（D）直线与直线垂直，直线//平面
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（11）如图长方体，若，则的坐标为 .
（12）已知二次函数的图象是一条抛物线，则其准线方程为 .
（13）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 .
（14）《九章算术》是我国古代数学名著，其中提到的“阳马”是指底面为矩形，有一侧棱垂直于底面的四棱锥．在阳马的表面三角形中，直角三角形的个数为 .
（15）如图，正方体的棱长为，，分别是棱，上的点，如果⊥平面，则与长度之和为 .
（16）心脏线，也称心形线，是一个圆上的固定一点在该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名．心脏线的平面直角坐标方程可以表示为，则关于这条曲线的下列说法：
①曲线关于轴对称；
②当时，曲线上有个整点（横纵坐标均为整数的点）；
③越大，曲线围成的封闭图形的面积越大；
④与圆始终有两个交点.
其中，所有正确结论的序号是 .
三、解答题共5小题，共70分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（17）（本小题14分）
在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，.
（I）设线段的中点为，求中线所在直线的方程；
（Ⅱ）求边上的高所在直线的方程.
（18）（本小题14分）
已知圆：与圆：外切.
（I）求实数的值；
（Ⅱ）若直线与圆交于，两点，求弦的长.
（19）（本小题14分）
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，
，，为的中点.
（I）求证：；
（Ⅱ）求平面与平面所成的角的余弦值．
（20）（本小题14分）
如图，正方体的棱长为，点为的中点．
（I）求证：平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离；
（III）判断的中点是否在平面上？说明理由.
（21）（本小题14分）
已知椭圆上任意一点到两个焦点，的距离的和为4. 经过点且不经过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点，直线与直线交于点.
（I）求椭圆的标准方程，并写出左、右顶点的坐标；
（Ⅱ）求证：的面积为定值.
房山区2021-2022学年度第一学期（中学）期末考试参考答案
高二数学
第一部分选择题（每小题5分，共50分）
一、在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C A B D D C A D
第二部分 非选择题（共 50 分）
二、填空题（每小题5分，共30分）
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）②，③，④ (含①得0分，部分得3分，全对得5分)
三、解答题（共5小题，共70分）
（本小题14分）7+7
解：（I）解：由题意，三个顶点坐标分别为，，，
设中点坐标为，由中点公式可得，，------3分
即中点的坐标为，又由斜率公式，可得，------3分
所以中线所在直线的方程为，即.------1分
（Ⅱ）解：由，，可得，------3分
所以上的高所在直线的斜率为，------3分
则上的高所在直线的方程为，即.------1分
（18）（本小题14分）8+6
解：（Ⅰ）圆：，圆心，半径，------2分
圆：，圆心，半径；------2分
因为圆与圆相外切，所以，即，------2分
解得.------2分
（Ⅱ）由（1）可知，圆：，圆心，半径，.
所以圆心到直线的距离，------3分
即，故弦的长为.------3分
（19）（本小题14分）4+10
解：
（Ⅰ）证明：∵底面，∴，------1分 或向量坐标
∵是矩形，∴，------1分 或向量坐标
∵，
∴ 平面， ------1分 或点积0
∵平面，
∴． ------1分
（Ⅱ）解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， ------1分
∵，，为的中点.
∴，，，，
∴，， ------2分
设平面的法向量为，
∴即 ------1分
令，则
∴ ------1分
∵平面的法向量为， ------2分
，------2分
∴平面与平面所成的角的余弦值． ------1分
（20）（本小题14分）4+6+4
解：
（Ⅰ）正方体中，且，
所以，四边形为平行四边形，， ------2分 或向量，点积为零
平面，平面， ------1分
平面； ------1分
（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别
为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
------1分
则、、、，，，
设平面的法向量为，由，得，------1分
令，则，，则. ------1分
， ------1分
. ------2分
因此，点到平面的距离为.
（Ⅲ）方法一：
如图，连结.
分别是的中点，
. ------1分
由（Ⅰ）可知，，------1分
. ------1分
共面. 即点在平面上. ------1分
方法二：
，所以. ------1分
又因为平面的法向量为，------1分
所以点到平面的距离：
------1分
点在平面上. ------1分
方法三：
，------1分
平面的法向量为------1分
.
. ------1分
又平面，点在平面上. ------1分
（21）（本小题14分）
解：（Ⅰ）依题意得， ，----------------1分
，， ----------------1分
椭圆的方程为 ----------------1分
左、右顶点的坐标分别为， -----------------1分
（Ⅱ）①当两点的坐标分别为，时，
直线的方程为，点，
直线的方程为，
直线与直线交于点. --------------1分
△的面积为.-----------------1分
②依题意可设的方程为，
代入得 -----------------1分
设，
则，. -----------------2分
直线的方程为，
令得点， -----------------1分
下面证明，，三点在一条直线上
，，
-----------------2分
△的面积为是定值. -----------------2分
高二数学 期中检测试卷 4 / 5