云南省昭通市永善、绥江县2021-2022学年高二12月月考数学试题（Word版含答案）

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永善、绥江县2021～2022秋季学期12月月考
高二年级数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在第1至第8题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，为单选题；第9至第12题每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
1．设集合，，则等于
A． B． C． D．
2．已知复数，则
A． B． C． D．
3．设m为实数，若直线与圆相交于M，N两点，且，则
A．3 B． C．3或 D．或1
4．以，，，为顶点的四边形的形状是
A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形
5．已知直线m，n和平面，满足，，，则
A． B．或 C． D．或
6．对a， ，记则函数的最大值为
A．0 B． C．1 D．3
7．已知，，且，若恒成立，则实数m的取值范围为
A． B． C． D．
8．设，是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点，是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为
A． B． C． D．
9．（多选题）已知双曲线C过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是
A．双曲线C的离心率为 B．左焦点到渐近线的距离为
C．双曲线的实轴长为1 D．过右焦点截双曲线C所得弦长为6的直线只有三条
10．（多选题）将函数的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，下面四个结论正确的是
A．函数在区间上为增函数
B．将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
C．点是函数的图象的一个对称中心
D．函数在上的最大值为
11．（多选题）正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是
A． B．平面ABCD
C．三棱锥A-BEF的体积为定值 D．△AEF的面积与△BEF的面积相等
12．（多选题）函数的定义城为D，集合，若存在非零实数1，使得任意，都有，且，则称为M上的t-增长函数，则下列说法中正确的是
A．函数，则是区间上的2-增长函数
B．函数，则是区间上的2-增长函数
C．函数，则是区间上的9-增长函数
D．函数是定义城为R的奇函数，当时，，则为R上的9-增长函数
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知数据，，，，，的标准差为5，则数据，，，，，的方差为 ．
14．已知抛物线的焦点为F，准线为1，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若，则 ．
15．如图1，游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处经测量，m，m，则等于 ．
16．如图2，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，， △ABC是边长为6的正三角形，二面角P-AC-B的大小为120°，则球O的体积为 ．
三、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骡）
17．（本小题满分10分）
近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“3+3模式初露端倪，其中，语、数、英三门为必考科目，剩下三门为选考科目（物理、化学、生物、政治、历史、地理）”．选考科目采用赋分，即原始分不直接使用，而是按照学生在本科目考试的排名来划分等级，并以此打分得到最后的得分，假定某省规定：选考科目按考生原始分数从高到低排列，按照占总体15%，35%，35%，13%和2%划定A，B，C，D，E五个等级，并分别赋分为90分、80分、70分、60分和50分，该省某高中高一（1）班（共40人）进行了一次模拟考试选考科目全考，单科全班排名，（已知这次模拟考试中历史成绩满分100分）的频率分布直方图和地理成绩的成绩单如图3所示，李雷同学这次考试中历史82分，地理70多分．
地理成绩
40 44 43
52 53 53
61 61 62 63 64 65
71 72 73 73 73 74 75 75 76 76 77 78
82 83 83 85 85 86 86 86 88 88
91 92 93 93 96
（Ⅰ）采用赋分制后，求李雷同学历史成绩的最终得分；
（Ⅱ）采用赋分制后，若李雷同学地理成绩的最终得分为80分，那么他地理成绩的原始分的所有可能值是多少？
（Ⅲ）若韩梅同学必选历史，从地理、政治、物理、化学、生物五科中等可能地任选两科，则她选考科目中包含地理的概率是多少？
18．（本小题满分12分）
设是等差数列的前n项和，， ．从①；②中任选一个，补充在问题中并作答：
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和的最值．
19．（本小题满分12分）
已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若，求△ABC的周长的最大值。
20．（本小题满分12分）
如图4，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，， ，点E为棱PC的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若F为棱PC上一点，满足，求平面FAB与平面PAB夹角的余弦值．
21．（本小题满分12分）
函数，是定义在上的奇函数，且．
（Ⅰ）确定函数的解析式；
（Ⅱ）判断在上的单调性并加以证明；
（M）解不等式．
22．（本小题满分12分）
如图5，已知椭圆C：，直线l：，直线1与椭圆C相交于M，N两点．
（Ⅰ）若MN的中点的横坐标为1，求k的值；
（Ⅱ）求△OMN（其中O为坐标原点）面积的最大值．
永善、绥江县2021～2022秋季学期12月月考
高二年级数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在第1至第8题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，为单选题；第9至第12题每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
【解析】
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C C D D C B C BD AD AD ACD
1．如图1，在数轴上表示出集合M，则，故选A．
2．因为，所以，所以，故选C．
3．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，由题意可得：，即，∴，，结合点到直线距离公式有：，解得或，故选C．
4．∵，，，，∴，，∴，即四边形ABCD为平行四边形．又，∴，即，则四边形ABCD为矩形，又，则四边形ABCD为正方形，故选D．
5．如图2所示，在正方体中，记平面ABCD为，平面为，所在直线为m，若n为，满足，显然，，所以A，C错误；若n为，满足，显然，所以B错误；对D，若或，显然满足题意，若n与交于点P，点Q为直线n上不同于点P的另外一点，连接PB，因为，，所以，又，而n与PB交于点P，所以平面PBQ．又因为，于是过点B存在两个不同的平面与m垂直，矛盾，所以D正确，故选D．
6．根据题意，若，若，
则，作出函数的图象，
如图3：由图可知时函数有最大值1，故选C．
7．由题设，，当且仅当时等号成立，∴要使恒成立，只需，故，∴，故选B．
8．由题意可得，，如图4，，则，，，所以，∴，∴，故选C．
9．由已知设双曲线方程为，因此双曲线过点，所以，，双曲线的方程为，，，所以，离心率为，A错；左焦点为，一条渐近线方程是，左焦点到渐近线距离为，B正确；双曲线实轴长是2，C错；双曲线两顶点间距离为，又，即通径长为6，因此过焦点的直线截双曲线得弦长为6的直线有3条，两个交点在同一支上的只有一条，即双曲线的通径所在直线，另两条与双曲线的两支各有一个交点，D正确，故选BD．
10．将函数的图象先向左平移个单位长度，可得的图象，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得的图象．
对于A选项，当时，，此时是单调递增的，故A正确；
对于B选项，将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，不满足关于原点对称，故B错误；
对于C选项，将代入函数的表达式中，得到，故点，不是函数图象的一个对称中心，故C错误；
对于D选项，当时，，最大值为，故D正确，故选AD．
11．A．由题意及图形知，当点F与点重合时，，故选项A错误；B．平面ABCD，由正方体的两个底面平行，平面，故有平面ABCD，此命题正确，不是正确选项；C．三棱锥ABEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到平面距离是定值，故可得三棱锥ABEF的体积为定值，此命题正确，不是正确选项；D．由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，故D是错误的，故选AD．
12．A．函数，定义域为R，且在R上单调递增，而，若，则，所以，则是区间上的2增长函数，故A正确；
B．函数定义域为R，且在，上单调递减，在上单调递增，而，若，则，但当时，，此时，因此不符合题意，则不是区间，上的2增长函数，故B错误；
C．函数定义域为R，且在上单调递减，在上单调递增，而，若，则，所以，则是区间上的9增长函数，故C正确；
D．函数是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，如图5，作出函数图象：数形结合可知，则为R上的9增长函数，故D正确，故选ACD．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 225
【解析】
13．由题意知，数据，，，，，的方差为25，根据方差的性质可得，数据，，，，，的方差为．
14．如图6，过N作准线的垂线NH，垂足为H．根据抛物线的定义可知，在Rt△NHM中，，则．在△MFK中，，所以．而．所以．
15．依题意，设乙的速度为x m/s，则甲的速度为m/s，
因为m，m，所以，解得m．
在△ABC中，
由余弦定理得，，
所以．
16．如图7，取AC的中点D，连接BD，
设E为△ABC的外心，则点E在BD上且，
因为，则D为Rt△APC的外心，根据球的几何性质，
则平面ABC，平面PAC，
因为二面角P-A-CB的大小为120，
平面平面PAC，则二面角O-AC-B的大小为30，
所以．因为△ABC是边长为6的正三角形，
则，
所以，
在Rt△OED中，，
在Rt△ADO中，因为，则，
所以球O的半径，表面积为．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：
（Ⅰ）80分以上的占 ，属于A级，赋分制得分为90分．
（Ⅱ）40名学生中，地理赋分为90的有人，
这六人的原始成绩分别为96，93，93，92，91，89；
赋分为80分有人，其中包含原始成绩为80多分的共10人，70多分的有4人，分别为76，76，77，78；
因为李雷的地理成绩最后得分为80分，且他的原始成绩为70多分，所以他的原始成绩可能值为76，77，78．
（Ⅲ）记地理、政治、物理、化学、生物分别为A，a，b，c，d，
共有，，，，，，，，，，10种情况，
满足条件的有4种，故．
18．（本小题满分12分）
若选①：
解：
（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
由题意可得，
因为，解得，
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，令，
解得，又，所以．
当时，，当时，．
故的最大值为，无最小值．
若选②：
解：
（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
由题意可得，
解得，
所以，故，
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，令，解得，
当，；
当，．
故的最大值为，无最小值．
19．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）∵，
由正弦定理得：，
则．
即，
∴．
又，∴．
∵，∴．
（Ⅱ）由余弦定理得：，即，
，
，
当且仅当取等号．
故△ABC的周长的最大值为12．
20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：∵底面ABCD，，
以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，如图8，建立空间直角坐标系，
∵，，点E为棱PC的中点．
∴，，，，，
∵，，
∴，
∴．
（Ⅱ）解：∵，，，
由F点在棱PC上，设，
故．
由，得，
解得，即．
设平面FBA的法向量为，
由，得，
令，则，
取平面ABP的法向量，
，
故平面FAB与平面PAB夹角的余弦值为．
21．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，所以．
由，可得，所以．
经检验是奇函数，
所以．
（Ⅱ）在上单调递增．
证明如下：
任取，
则，
因为，所以，，
所以，即，所以在上单调递增．
（Ⅲ）因为是定义在上的奇函数，且在上单调递增，
由，可得，
所以，
解得：．
所以不等式的解集为．
22．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由，整理可得，
直线l与椭圆C相交于M，N两点，
则，
解得或．
设，，
则．
因为MN的中点的横坐标为1，
则，
解得．
又因为或，
则．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，且，，，
∴
，
又原点到直线l：的距离，
∴△OMN面积．
令，
∴
．
当且仅当，即时取等号，即时．
所以，
所以△OMN面积的最大值为．