北京市延庆区2021-2022学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版含答案）

延庆区2021-2022学年第一学期期末试卷
高二数学 2022.01
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）方程的曲线经过的一点是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）抛物线的焦点坐标为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（3）函数在区间上的平均变化率等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（4），则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（5）双曲线的渐近线方程为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（6）下列椭圆中，焦点坐标是的是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
（7）函数的图像如右图所示，则下列大小关系正确的是 （ ）
(
（7题图）
)（A）
（B）
（C）
（D）
（8），则曲线在点处的切线方程为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（9） 椭圆的左右焦点分别为，是上一点，
轴，，则椭圆的离心率等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（10）若双曲线的两个焦点为，点是上的一点，且，则双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题共5个小题，每小题5分，共25分。
（11）抛物线的焦点到准线的距离为 .
（12）椭圆上一点到两个焦点的距离之和等于，则的标准
方程为 .
（13）已知函数，则的导函数 .
（14）方程的曲线的一条对称轴是 ，的取值范围是 .
（15） 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于
两点（点在轴上方）， .
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
圆锥曲线的方程是.
（Ⅰ）若表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；
（Ⅱ）若表示焦点在轴上且焦距为的双曲线，求的值.
（17）（本小题14分）
已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求在区间上的最值.
（18）（本小题14分）
已知直线，抛物线.
（Ⅰ）与有公共点，求的取值范围；
（Ⅱ）是坐标原点，过的焦点且与交于两点，求的面积.
(
（19题图）
)（19）（本小题14分）
在四棱锥中，平面，
，，，
，分别是的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.
（20）（本小题14分）
(
（20题图）
)已知椭圆的一个焦点是，且离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线交于两点，线段
的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.
（21）（本小题15分）
已知定点，动点与连线的斜率之积.
（Ⅰ）设动点的轨迹为，求的方程；
（Ⅱ）若是上关于轴对称的两个不同点，直线与轴分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.
延庆区2021-2022学年度高二数学试卷评分参考
一、选择题: （每小题4分，共10小题，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. C 2．A． 3．C 4．B 5. D
6． B 7．C 8. D 9. A 10. B
二、填空题: （每小题5分，共5个小题，共25分）
11．. 12. . 13．.
14．（或）， . 15．.
说明：两个空的题目，前3后2
三、解答题：（共6小题，共85分. 解答应写出文字说明、演算步骤.）
16. （本小题满分14分）
计算题，结果正确，有大致步骤，给满分；结果正确，无步骤，只给结果分；结果不正确，有步骤，按步骤给分。
圆锥曲线的方程是.
（Ⅰ）若表示焦点在轴上椭圆，求的取值范围；
（Ⅱ）若表示焦点在轴上且焦距为的双曲线，求的值.
解：（Ⅰ）表示椭圆
……………3分
……………6分
.的取值范围是. ……………7分
（Ⅱ）的焦点在轴上
，
，
……………9分
的焦距为， ……………10分
，
， ……………13分
. ……………14分
（17）（本小题14分）
已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求在区间上的最值.
解：（Ⅰ）， ……………2分
令，即，解得：，
令，即，解得：或， ……………4分
令，即，解得：， ……………6分
，的单调增区间为，和. ……………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
的极大值为 ……………9分
的极小值为， ……………11分
又， ……………12分
， ……………13分
……………14分
18．（本小题满分14分）
已知直线，抛物线.
（Ⅰ）与有公共点，求的取值范围；
（Ⅱ）是坐标原点，过的焦点且与交于两点，求的面积.
解：（Ⅰ） ，
代入整理得：， ……………3分
与有公共点，， ……………5分
， ……………6分
的取值范围是. ……………7分
（Ⅱ），，
的焦点为 ……………8分
经过点，
的方程为， ……………9分
，
代入整理得：， ……………10分
解得：， ……………11分
设两点的坐标分别为，
则， ……………13分
……………14分
(
（19题图）
)19.（本小题14分）
在四棱锥中，平面，
，，，
，分别是的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.
（Ⅰ）证明：
分别是的中点， ……………2分
平面， 平面. ……………4分
（Ⅱ）证明：
平面，
又，两两垂直，
建立空间直角坐标系如图， ……………5分
,
, ……………7分
又平面， ……………8分
平面. ……………9分
（Ⅲ） ，，是平面的法向量，……10分
……………12分
， ……………13分
设与平面所成角为，
则. ……………14分
20. （本小题满分14分）
(
（20题图）
)已知椭圆的一个焦点是，且离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线交于两点，线段
的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.
解：（Ⅰ） ， ……………2分
的方程是. ……………4分
（Ⅱ） 设的斜率为，且，则的方程为，
代入整理得：，……………5分
设的坐标分别为，的中点为
则 ……………7分
设线段的垂直平分线为，
则的方程为：
令，得：， ……………8分
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
，当且仅当时等号成立， ……………10分
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
，当且仅当时等号成立， …………12分
特别地，当不存在时，即与轴垂直时，， ……………13分
综上可得：的取值范围是. ……………14分
21. （本小题满分15分）
(
（21题图）
) 已知定点，动点与连线的斜率之积.
（Ⅰ）设动点的轨迹为，求的方程；
（Ⅱ）若是上关于轴对称的两个不同点，
直线与轴分别交于点.试判断以
为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.
解：（Ⅰ）设的坐标为，
， ……………2分
由已知得：， ……………3分
整理得：，即. ……………5分
（Ⅱ）设，则，
,
……………7分
令，则 ……………8分
设的中点为,则的坐标为，
即： ……………9分
，，
半径为：， ……………10分
∴ 圆的方程为：， ……………11分
令，则，代入得：， …① …………12分
令，则，代入得：，…②……13分
由①②得：，代入得：
，
， ……………14分
上式恒成立
∴ 圆恒过定点 . ………………15分
高二年级（数学） 第1页（共4页）