北京市丰台区2021-2022学年高三上学期期末考试
数学 2022.01
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．若集合，或，则
（A） （B） （C） （D）
2．在复平面内，复数对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
3．已知等差数列的前项和为．若，则
（A） （B） （C） （D）
4．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是
（A） （B） （C） （D）
5．已知是两个不同的平面，直线，那么“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
6．已知抛物线的焦点为，点在上. 若是坐标原点，，则
（A） （B） （C） （D）
7．为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛. 根据参赛学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图. 若要对40%成绩较高的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可能为
（A）（B）（C）（D）95
8. 已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
9. 声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）. 人在正常说话时，声强级大约在40~60 dB之间，声强级超过60 dB的声音会对人的神经系统造成不同程度的伤害．给出下列四个声强，其声强级在40~60 dB之间的是
（A） （B） （C） （D）
10. 已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：
①在区间上有且仅有3个不同的零点；
②的最小正周期可能是；
③的取值范围是；
④在区间上单调递增.
其中所有正确结论的序号是
（A）①④ （B）②③ （C）②④ （D） ②③④
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）
12. 在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，则 ．
13. 已知双曲线的离心率为，的焦点到其渐近线的距离为5，则 ．
14. 设是等比数列，能够说明“若，则”是假命题的一组和公比的值依次为 ．
15．已知点和圆上两个不同的点，，满足，是弦的中点，
给出下列四个结论：
①的最小值是4；
②点的轨迹是一个圆；
③若点，点，则存在点，使得；
④△面积的最大值是.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（本小题共13分）
在△中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求△的面积.
条件①：；条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
17.（本小题共15分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，为棱的中点，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值；
（Ⅲ）求直线到平面的距离.
18.（本小题共14分）
为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验. 为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表：
传统艺术活动 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
书画 古琴 汉服 戏曲 面塑
高一体验人数 80 45 55 20 45
高二体验人数 40 60 60 80 40
高三体验人数 15 50 40 75 30
（Ⅰ）从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；
（Ⅱ）通过样本估计该校全体学生选择传统艺术活动的情况, 现随机选择3项传统艺术活动，设选择
的3项活动中体验人数超过该校学生人数50%的有项，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行访谈. 设这3名学生均选择了第天传统艺术活动的概率为，写出 的大小关系.
19.（本小题共14分）
已知函数且.
(Ⅰ) 当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围.
20.（本小题共15分）
已知椭圆过点，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），直线，分别与直线交于点，. 求证：为定值.
21.（本小题共14分）
若有穷数列且满足，则称为M数列.
（Ⅰ）判断下列数列是否为M数列，并说明理由；
① 1，2，4，3.
② 4，2，8，1.
（Ⅱ）已知M数列中各项互不相同. 令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列;
（Ⅲ）已知M数列是且个连续正整数的一个排列.若，求的所有取值.北京市丰台区2021-2022学年高三上学期期末考试
数学参考答案
2022．01
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A B A A C D C B
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．80 12． 13．
14．，(答案不唯一) 15．①②④
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（本小题共13分）
解： 选条件①：.
（Ⅰ）在△中，因为，，，
由余弦定理，得.
因为,
所以. ……………….7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得.
所以△的面积. ……………….13分
选条件②：.
（Ⅰ）在△中，因为,
所以.
由正弦定理，得.
由题可知,所以.
所以. ……………….7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得.
因为
，
所以△的面积. ……………….13分
17.（本小题共15分）
证明：（Ⅰ）因为平面平面，
平面平面，
，
平面，
所以平面. ……………….4分
（Ⅱ）因为底面为正方形，平面，
所以，，两两互相垂直．
如图，建立空间直角坐标系．
因为，
所以，，，，
，.
因为平面，
所以为平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为，
则 即
令，则.
于是.
设平面与平面的夹角为，
所以．
即平面与平面夹角的余弦值为． ……………….11分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面的法向量为，.
因为，且平面，
所以平面.
所以点到平面的距离即为直线到平面的距离.
因为，
所以点到平面的距离为，
即直线到平面的距离为. ……………….15分
18．（本小题共14分）
解：（Ⅰ） 由题意知，样本中学生共有100+100+100=300人，
其中体验戏曲活动的学生共20+80+75=175人，
设事件A为“从样本学生中随机选取1名学生，这名学生体验戏曲活动”，
故所求概率为. ………………4分
（Ⅱ）由题意知，体验人数超过该校学生人数50%的传统艺术活动有3项，
的所有可能值为1，2，3.
，
，
.
所以的分布列为
1 2 3
故的数学期望. ……………….11分
（Ⅲ）. ……………….14分
19.（本小题共14分）
解：（Ⅰ）当时，因为，
所以，.
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为.
即. ……………….4分
（Ⅱ）因为且，
所以
当时，，所以在上单调递增.
取，则，不符合题意.
当时，令，解得或（舍）.
当时，，所以在区间上单调递减.
当时，，所以在区间上单调递增.
所以在上的最小值为.
若恒成立，只需，解得.
综上可知，的取值范围是. ……………….14分
20．（本小题共15分）
解：（Ⅰ）由题意得
解得，.
所以椭圆的方程是. ……………….5分
（Ⅱ）由题意知，直线的斜率存在.
设直线的方程为（），，，
由得.
则，.
依题意，解得.
因为点的坐标为，所以直线的方程为.
令，得点的纵坐标为，
所以.
同理，可得.
于是
.
所以为定值6. ……………….15分
21．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）①因为，所以该数列不是M数列；
②因为，所以该数列是M数列. ……………….4分
（Ⅱ）必要性：
若数列是等差数列，设公差为，
则.
所以数列是常数列.
充分性：
若数列是常数列，
则，即.
所以或.
因为数列的各项互不相同，
所以.
所以数列是等差数列. ……………….8分
（Ⅲ）当时，因为，所以，不符合题意；
当时，数列为.此时，符合题意；
当时，数列为.此时，符合题意；
下证当时，不存在满足题意.
令，
则，且，
所以有以下三种可能：
①； ②；③.
当时，因为，
由（Ⅱ）知：是公差为1（或 1）的等差数列.
当公差为1时，由得或，
所以或，与已知矛盾.
当公差为 1时，同理得出与已知矛盾.
所以当时，不存在满足题意.
其它情况同理.
综上可知，的所有取值为4或5. ……………….14分
