2021年秋期高中二年级期终质量评估
数学试题(文)
注意事项
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考生做题时将答案答在答题
卡的指定位置上,在本试卷上答题无效
答題前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上
选择題答案使用2B铅笔填涂,非选择题答案使用0.5毫来的黑色中性(签字)笔或碳
素笔书写,宇体工整,笔迹清楚
4.请按照题号在各题的答题区戌(黑色线枢)内作答,超出答题区域书写的答案无效
5.保持卷面清洁,不折叠、不破损
第Ⅰ卷选择题(共60分)
选择题(本大题共12小题每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的)
1.已知x,y∈R,命题“若x2+y2=0,则x,y全为0”的否命题是
A.若x2+y2≠0,则x,y全不为
B.若x,y不全为0,则x2+
C.若x2+y2≠0,则x,y不全为
D若x2+y2=0,则x,y全不为0
2.已知数列{an}是公差为-2的等差数列,a3=5,则a1
D.9
春秋时期孔子及其弟子所著的《论语·颜渊》中有句话:“非礼勿视,非礼勿听,非礼勿
言,非礼勿动。”意思是:不符合礼的不看,不符合礼的不听,不符合礼的不说,不符合礼的不
做。“非礼勿听”可以理解为:如果不合礼,那么就不听。从数学角度来说,“合礼”是“听”的
A.充分条件
B.必要条件
C∴充要条件D.既不充分也不必要条件
x+y≤3
4设变量x,y满足约束条件{x-y≥-1,则目标函数z=4x-2y的最大值为
C
D.8
高二数学(文)第1页(共4页)
已知椭圆的长轴长为10,短轴长为8则椭圆上任意一点P到椭圆中心O的距离的取
值范围是
B.[6,8]
C.[6,10]
D.[8,10]
6已知函数f(x)=asi,f(2)为()的导数,则(2)=
B.2
C.1
不等式2x2-5x-3<0的一个必要不充分条件是
B.-1下列说法正确的个数有
①在△ABC中,若sinA>sinB,则cosA②b2=ac是a,b,c成等比数列的充要条件
直线y=35x是双曲线一=1的一条渐近线
④函数y=f(x)的导函数是f(x),若f(x)=0,则x0是函数y=f(x)的极值点
A.0
C.2
D.3
9.已知动圆P过定点A(-3,0),并且与定圆B:(x-3)2+y2=4外切,则动圆的圆心P
的轨迹是
A.抛物线
B.椭圆
D.双曲线的一支
10.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,十∞)单调递增,则k的取值范围是
C.[2,+∞)
11若数列{an}的前n项和Sn=t"-1(t∈R),则此数列是
等差数列
B等比数列C等差数列或等比数列D.以上说法均不对
12已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(2)=0,当x>0时,有xf(x)-f(x)>0
成立,则不等式x2f(x)>0的解集是
A.(-2,0)U(2,+∞)
2,0)∪(0,
D
2)∪(2,+∞
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数学试题(文)参考答案
一、选择 1-5 CDBCA 6-10 CBBDA 11-12 DA
二、填空题
13. x R, x2 2x 3 0 3 314.x 1 15. 16.（ ， ）
64 2 8
三、解答题
17.解：(1)由 c＝ 3asin C－ccos A及正弦定理得
3sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0． ..................2分
由于 sin C≠0 1，所以 sin A ＝ ．
6 2
又 0＜A＜π，故 A π＝ ． ........................5分
3
(2)△ABC S 1的面积 ＝ bcsin A＝ 3，故 bc＝4．①...........................7分
2
而 a2＝b2＋c2－2bccos A，故 b2＋c2＝8．② ....................................9分
由①②解得 b＝c＝2（负值舍去）． .................................10分
18.解：∵ f x x3 ax2 x a，
∴f ′(x)＝3x2 2ax 1. ..................2分
(1)由题意得 f ′(3)＝27－6a－1＝－10，解得 a＝6.
∴ f x x3 6x2 x 6 .....................................................4分
(2) f ( 1) 0 ,则 3 2a 1 0 ,解得 a 1 ,
∴ f x x3 x2 x 1， ...................................6分
f (x) 3x2 2x 1 (3x 1)(x 1), x [ 2,3] ,
1
当 f (x) 0 ,解得 1 x
1
,即函数 f x 在 1, 单调递减，3 3
当 f (x) 0 , 1解得 x 3或 2 x 1 ,
3
1
即函数 f x 分别在 ( 2, 1), ,3 递增...................................10分
3
又 f ( 1) 0, f
1 32
, f ( 2) 3, f (3) 32
3 27
f (x)max f (3) 32, f (x)min f ( 2) 3 ..........................................12分
3a
19.(1)证明：由 an＋1＝ n ，以及 a1＝3，显然an 0，an 3
1 a
所以 n
3 1 1 1
，即 ，
an 1 3an an 1 an 3
1
1 1 1
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，.............4分
an 3 3
1 1 1 n 3
所以 n 1 ，所以 a （n∈N*）；.................6分
an 3 3 3
n n
3n
(2)由(1)可得， n 3n 1，
an
3n
n T 2 n 1所以数列 的前 项和 n 1 1 2 3 3 3 ... n 3 ①
an
所以 3Tn 1 3 2 32 3 33 ... n 3n ②................................................8分
则由②-①可得：2Tn 1 3 32 ... 3n 1 n 3n
1 3 32 ... 3n 1 n 3n
1 1 3n n
n 3n 2n 1 3 1 ，
1 3 2
3n 2n 1 3n 1
所以数列 的前 n项和 Tn ................................................12分
an 4
20.解：(1)∵抛物线焦点在 x轴上，且过点 M(4，m)，
∴设抛物线方程为 y2＝2px(p>0)， ..........................2分
由抛物线定义知，点 M到焦点的距离等于 5，
即点 M到准线的距离等于 5，
则 4 p＋ ＝5，∴p＝2，∴抛物线方程为 y2＝4x ...........................4分
2
又点 M(4，m)在抛物线上，
∴m2＝16，∴m＝±4，
∴所求抛物线方程为 y2＝4x，m＝±4 ...........................5分
(2)方法一：由于直线过点（2，0），可设直线方程为： x ty 2
y2 4x 2
由{ 得 y 4ty 8 0 ,设 A(x1, y1),B(x2 , y2 ) ,则 y1 y2 4t, y1y2 8 ,x ty 2
.............................8分
所以OA OB x1x2 y1y2 ty1 2 ty2 2 y1y2
t 2 1 y1y2 2t y1 y2 4
t 2 1 8 2t 4t 4 4 ，即OA OB为定值；.........12分
2
方法二：由于直线过点（2，0），
y2 4x
①当直线的斜率不存在时，易得直线的方程为 x 2，则由{
x 2
可得， A 2, 2 2 ,B 2,2 2 ,所以OA OB 2 2 2 2 2 2 4 ；............6分
②当直线的斜率存在时可设直线方程为： y k x 2 ，
y2 4x
{ k 2x2由 得 4k 2 4 x 4k 2 0 ,
y k x 2
2
设 A(x1, y1),B(x2 , y
4k 4
2 ) ,则 x1 x2 k 2
, x1x2 4 ,.............................8分
所以OA OB x1x2 y1y2 x1x2 k
2 x1 2 x2 2
1 k 2 x1x2 2k 2 x1 x2 4k 2
2
1 k 2 4 2k 2 4k 4 2 4k 2 4 ，即OA OB为定值.k
综上，OA OB为定值 4 ...................................................12分
21.解：(1)因为 f x ax x ln x , '所以 f x a ln x 1 ，
因为函数 f x ax x ln x 的图像在点 x e 处取得极值,
f '所以 e a 2 0, a 2 ，
经检验，符合题意，所以 a 2 ；.............. 4分
(2)由(1)知, f x 2x x ln x ,
f x
所以 k 在 e, 恒成立,即 k 2x x ln x 对任意 x e恒成立. ..........6分
x 1 x 1
2x x ln x '
令 g x ,则 g x ln x x 1 2 ........................8分x 1 x 1
设 h x ln x x 1(x e)，易得 h x 是增函数，所以 h x h e e 0，min
所以 g ' x ln x x 1 0 ,
x 1 2
所以函数 g x 在 e, 上为增函数, ..................10分
3
则 g(x)min g(e)
e
所以 k e . ..............12分e 1， e 1
22.解：(1)由题意的： 2c 2 6 ， 4a 8 2 ， c 6 ， a 2 2 ，
b a2 c2 2，
x2 y2
椭圆 C的方程为 1
8 2 .............................................4分
(2) 1 1直线 l的斜率为 ， 可设直线 l的方程为 y x m
2 2
与椭圆 C的方程联立消去 y可得： x2 2mx 2m2 4 0，
则 4m2 4 2m2 4 16 4m2 0， 0 m2 4，...................6分
设 A,B两点的坐标为 x1, y1 ， x2 , y2 ，由韦达定理得：
x1 x
2
2 2m， x1x2 2m 4
| AB | 1 k 2 x
2
1 x2 4x1x2 5 4 m
2 ...........................8分
|1 1 m | | 2m |
点 P到直线 l的距离 d ，
1 5
1
4
1 1 2 |m |
S PAB | AB | d 5 4 m22 2 m
2 4 m2
5 ，..........................10分
方法一：令 t m2 ，则 0 t 4， 4m2 m4 4t t 2
令 f (t) 4t t2 ，则 f (t)在 (0,4)上的最大值为 f (2) 4，
s PAB的最大值为 2，即 PAB面积的最大值 2..................................12分
2
m2 4 m2
方法二：因为 S m2 PAB 4 m2 2，
2
m2 4 m2 m2当且仅当 ，即 2时，取“=”，
所以 PAB面积的最大值 2..........................................................................................12分
4
