23个基础的圆锥曲线专题（PDF含答案）

23 个基础的圆锥曲线专题 2.0--tobeenough
23 个基础的圆锥曲线专题（修正版）--tobeenough
2 2
x y 3
[例 1]设椭圆 E : 1 ，其焦点在 x 轴上，若其焦准距(焦点到准线的距离) p ，求
2 2
a 1 a 4
椭圆的方程.
[解析]
由椭圆的标准方程得： 2 2b 1 a 0 ，即： 2a 1
则： 2 2 2
1 1
c a b 2a 1 0 ，即： 2a ，故： 2a ( ,1) ①
2 2
由准线方程准焦距， a 方 b 方除以 c 知：
2 2 2 2b 1 a (1 a )
焦准距： p
c 2
2
2a 1 2a 1
3 (1 2 2 2a ) 3
由已知 p 得：
2 2
4 2a 1 4
即： 4 2 2 4 216(a 2a 1) 9(2a 1) ，即： 16a 50a 25 0 ，
2 2
则： 2
50 50 4 16 25 25 25 16 25 25 9 25
a
2 16 16 16
2 25 15 2 25 15 5 2 25 15 5即： a ，故： a 或 a
16 16 2 16 8
2 2
5 8x 8 y
结合①式得： 2a ，故椭圆方程为： 1
8 5 3
2 2
x y 3
[例 2]设椭圆 E : 1 ( a b 0 )的离心率 e ，其通径(过焦点且垂直于长轴的焦
2
a 1 2a 2
直径) d 1，F , F 为两焦点，P 是 E 上除长轴端点外的任一点， F PF 的角平分线 PM
1 2 1 2
交长轴于 M(m,0) ，求 m 的取值范围.
[解析]
A> 先求椭圆方程
d 1 3
由通径等于 2ep 知： d 2ep ，即焦准距 p .
2e 3 3
2
2
2
b 3 3
由准线方程准焦距， a 方 2b 方除以 c 知：焦准距 p ，即： b c ①
c 3 3
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c 3 2 3 4
已知离心率 e ，即： 2 2a c ，即： a c ②
a 2 3 3
对于椭圆，有： 2 2 2a b c ③
4 3
将①②代入③得： 2c c 2c （ c 0 ）
3 3
P
即： c 3 ④
c
于是： 2 2 M a 2 ， b a c 1 F1 F2
e
2
x
故椭圆方程为： 2y 1 ⑤
4
B> 再求角平分线方程
设 P 点坐标为 (x , y )，则 P 点的切线方程由等效代替得：
0 0
x x x
0 1 y y 1，即： y 0 x
0
4 4 y y
0 0
x
故切线斜率为： k 0 ⑥
0
4 y
0
由切线平分焦周角，称为弦切角定理知：过 P 点的切线的垂直线就是角平分线 PM
1
故 PM 的斜率为： k
m
k
0
1 4 y
将⑥式代入上式得： k 0
m
k x
0 0
4 y
于是 PM 的直线方程为： y y k (x x ) 0 (x x ) ⑦
0 m 0 0
x
0
当 y 0 时， x m ，就是 M 点的坐标
4 y 4 y
故由⑦式：0 y 0 (m x ) 0 m 4 y
0 0 0
x x
0 0
4 y 3
即： 0 m 3 y ，即： m x ⑧
0 0
x 4
0
3 3
由于 x ( a,a) ，即 x ( 2,2) ，故： m ( , )
0 0
2 2
3 3
所以， m 的取值范围是 ( , ) .
2 2
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2 2
x y 1
[例 3]设椭圆 E : 1 (a b 0 )的离心率 e ，F , F 为两焦点，椭圆 E 与 y 轴的交点
2 2 1 2
a b 2
为 A(0,3) ，求三角形的面积 S F1AF2
[解析]
A> 先求椭圆方程
由椭圆 E 与 y 轴的交点为 A(0,3) 得： b 3
2 2
c a b 1 2a 9 1
由离心率 e 得：
2
a a 2 a 4
A
9 3
即： ，即： 2a 12
2
a 4
2 2
x y
故椭圆方程为： 1 ①
12 9
F1 O F2
B> 求 S F1AF2
由①式可得： 2 2 2c a b 3 ，即： c 3
1 1
则 S F F AO 2c b bc 3 3 F1AF2 1 22 2
另外，由焦 三 角 形 计 面 积 ， 半 角 正 切 连 乘 b 得 ：
2

2
c
S b tan b bc 3 3 F1AF2 2 b
2 2
x y
[例 4]如图，设椭圆 E : 1 ( a b 0 )，M , N 为
2 2
a b
A
长轴顶点，过左焦点 F 、斜率为 k 3 的直线 l 交
S
椭圆 E 于 A, B 两点，若 FA 2 FB ，求 FAM N F
S FBM O M
[解析]本题直线 l 过椭圆 E 的左焦点，故采用以左焦点
B
为极点的极坐标可使问题简化.
A> 建立极坐标
ep
本极坐标的椭圆方程为： ①
1 ecos

直线 l 的斜率 k 3 ，故其倾角为： ②
3
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联立①②可得 A, B 两点的坐标.
B> 求 A, B 两点的坐标
ep 2ep
对于 A 点， ，代入①式得： FA ③
A A
3 2 e
1 ecos
3
ep 2ep
对于 B 点， ，代入①式得： FB ④
B B
3 2 e
1 ecos
3
C> 求 M , N 两点得坐标
ep ep
对于 M 点， 0 ，代入①式得： FM ⑤
M M
1 ecos0 1 e
ep ep
对于 N 点， ，代入①式得： FN ⑥
N N
1 ecos 1 e
D> 求参数
2ep 2ep
将③④代入 FA 2 FB 得： 2
2 e 2 e
2
即： 2(2 e) 2 e ，即： 2 3e ，故： e ⑦
3
E> 求面积比
1
FA FM sin
S FA FM FAM 2 ⑧
S 1 FB FNFBM FB FN sin
2
S 2 e 1 e (2 e)(1 e)
将③④⑤⑥代入⑧得： FAM ⑨
S 2 e 1 e (2 e)(1 e)FBM
2 2
(2 )(1 )
S 8 5
将⑦代入⑨式得： FAM 3 3 10
S 2 2 4 1FBM (2 )(1 )
3 3
S
故，本题答案为： FAM 10 .
S FBM
2 2
x y 3 4 3
[例 5]设椭圆 E : 1 (a b 0 )，其离心率 e ，其通径 d .
2 2
a b 3 3
① 求椭圆 E 的方程.
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1 1
② 若两条焦直径(过焦点的弦) AB 与CD 互相垂直.求
AB CD
[解析] ① 求椭圆 E 的方程.
4 3
由通 径 等 于 2 e p 得 ： d 2ep
3
2 3
则焦准距： p 2 ①
3e
2
b
由准 线 方 程 准 焦 距 ， a 方 、 b 方 除 以 c 得 ： 焦准距 p 2
c
即： 2b 2c ②
c 3
由离心率 e 得： a 3c ③
a 3
将②③代入 2 2 2 2 2a b c 得： 3c 2c c （ c 0 ）
即： c 1 ④
将④分别代入③②得： 2 ， 2a 3 b 2
2 2
x y
故椭圆 E 的方程为： 1 ⑤
3 2
1 1
② 若两条焦直径(过焦点的弦) AB 与CD 互相垂直.求
AB CD
（如图甲）由于 AB 和CD 都是焦弦，过焦点，所以采用极坐标.
准线方程准焦距， a 方 b 方除以 c 知：
2
b D A
焦准距： p 2
c
c 1 3
离心率： e
a 3 3 F1 F2
A> 则以 F 为极点的椭圆方程为：
1 B C
ep 2 图甲

1 ecos 3 cos
2 2 4 3
故： AB
A B 2
3 cos 3 cos 3 cos
A A A
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21 3 cos
则： A ⑥
AB 4 3
B> 则以 F 为极点的椭圆方程为：
2
ep 2

1 ecos 3 cos
2 2 4 3
故： CD
C D 2
3 cos 3 cos 3 cos
C C C
1 3
2
cos
则： C ⑦
CD 4 3

C> 由于 AB 与CD 互相垂直，故：
C A
2
即： 2cos 2sin ⑧
C A
于是由⑥⑦⑧得：
2 2
1 1 3 cos 3 cos
A
5 5 3
C
AB CD 4 3 4 3 4 3 12
1 1 5 3
故：本题答案是
AB CD 12
注：CD 过 F 与CD 过 F 其长度相同.
1 2
2 2
x y
[例 6]设 椭 圆 E : 1 ， 左 焦 点 为 F ， 在 椭 圆 上 任 取 三 个 不 同 点 P , P , P ， 使 得
1 2 3
36 27
2 1 1 1
P FP P FP P FP ，求：
1 2 2 3 3 1
3 FP FP FP
1 2 3
[解析]由于左焦点为 F 是本题已知条件和求解的关键点，所以以 F 点为极点的极坐标是本题.
ep
A> 采用极坐标，则椭圆方程为： P1
1 ecos
1 1 ecos
则： ①
ep
F O
2
设 FP 的极角为 ，则 FP 的极角为 ， P2
1 1 2 2
3
4 P3
FP 的极角为 .
3 3
3
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2 4
B> 由于： cos cos cos cos cos( ) cos( )
1 2 3
3 3
2 4
cos( ) [cos( ) cos ]
3 3
2 2 2
cos( ) 2cos( )cos
3 3 3
2 2
cos( ) cos( ) 0
3 3
即： cos cos cos 0 ②
1 2 3
1 1 1 ecos
C> 于是由①得：
FP ep
1 1
2 4
1 ecos( ) 1 ecos( )
1 1 3 1 1 , 3
FP ep FP ep
2 2 3 3
上面三式相加得：
1 1 1 3 e(cos cos cos )
1 2 3
FP FP FP ep
1 2 3
1 1 1 3
将②代入上式得： ③
FP FP FP ep
1 2 3
D> 由椭圆标准方程得： 2 2a 36 ， b 27 ，即： a 6 ， b 3 3
2
b
由准 线 方 程 准 焦 距 ， a 方 、 b 方 除 以 c 得：焦准距 p
c
2 2
c c b b 27 9
离心率： e ,故： ep
a a c a 6 2
1 1 1 3 2
代入③式得： .
FP FP FP ep 3
1 2 3
2 2
(x 1) y
[例 7]如图所示，椭圆 E : 1，过原点的两条直线交圆于 A, B,C, D ，AD 与CB 的
16 9
延长线相交于 M ， AC 与 DB 的延长线相交于 N ，求 MN 所在的直线方程.
[解析]
因 为 AB 与 CD 相 交 于 原 点 ， 所 以 将 原 点 坐 标 O(0,0) 代 入 椭 圆 E 的 方 程 得 ：
2 2(0 1) 0 1
1
16 9 16
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上式中：“<”表示在椭圆内；
“=”表示在椭圆上； C
B
“>”表示在椭圆外.
M
于是，原点O(0,0) 在椭圆内. D
根据椭圆的极限定理，直线 MN 就是原点O 关于椭圆 E 的 A
极线.
(x 1)(x 1) y y
于是，极线 MN 的方程为： 0 0 1
16 9
(x 1)
将 x 0 ， y 0 代入上式得： 1
0 0
16
N
即： x 15 . 这就是 MN 的直线方程.
2 2
x y
[例 8]设椭圆 E : 1 (a b 0 )，过右焦点的直线 l : x y 3 0 交 E 于 A, B 两点，P
2 2
a b
为 AB 中点.
1
⑴若OP 的斜率 k ，求椭圆 E 的方程；
2
⑵若直线 m : x y 3 0 交 E 于C , D 两点， AD 与 BC 相交于Q ，求Q 点的坐标.
1
[解析] ⑴若OP 的斜率 k ，求椭圆 E 的方程.
2
由 AB 得直线方程 x y 3 0 得其斜率： k 1 ①
AB
由准 线 方 程 准 焦 距 ， a 方 、 b方 除 以 c 得 ：
l
2 A
a
准 线 方 程 x ②
c
c M
2
b
焦 准 距 p ③ O B
c
E
由弦 与 中 线 斜 率 积 ， 准 线 去 除 准 焦 距 得 ：
p
k k ④
AB
x
c
2 2 2
1 1 b a b
将①② ③ 及 k 代入④式得： ( ) ( ) ，即： 2 2a 2b ⑤
2
2 2 c c a
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由 AB 直线方程 l : x y 3 0 过右焦点得： (c,0)点在直线上.
即： c 0 3 0 ，即： c 3 ，于是： 2 2 2 2a b c b 3 ⑥
由⑤⑥得： 2 2 2a 2b b 3 ，即： 2b 3 ，代入⑤得： 2a 22b 6
2 2
x y
故椭圆 E 的方程为： 1 .
6 3
⑵若直线 m : x y 3 0 交 E 于C , D 两点， AD 与 BC 相交于Q ，求Q 点的坐标.
由于 l 与 m 相交于T ，所以当Q 作为椭圆的极点时，
A
那么其极 l 线必然都经过T 点.
D
对于 m : x y 3 0 ，当 y 0 ， x 3
T
Q
故T 点的坐标为 ( 3 ,0) . B
E
那么，直线 x 3 就是Q 点的极线. C
设 Q 点的坐标为 (x , y )，其中 y 0
0 0 0
x x y y x x 2a
则其极线方程为： 0 0 1，即： 0 1 ，即： x 3
2 2 2
a b a x
0
2
a 6
则： x 2 3 ，故Q 点的坐标为 (2 3 ,0) .
0
3 3
2 2
x y
[例 9]设椭圆 E : 1 的长轴端点为 A, B ，与 y 轴平行的直线交椭圆 E 于 P,Q 两点，
16 8
PA、QB 的延长线相交于 S 点，求 S 点的轨迹.
[解析]由椭圆 E 的方程得： A( 4,0) ， B(4,0) P
设 S(x , y ) ， P(m,n) ，则Q(m, n) A B
0 0
O
2 2
m n
则： 1 ①
16 8 S Q E
于是，直线 PA的方程为：
y y n
y y P A (x x ) ，即： y (x 4) ②
A A
x x m 4
P A
y y n
直线 BQ 的方程为：
Q B
y y (x x ) ，即： y (x 4) ③
B B
x x m 4
Q B
联立②③解得 S 点的坐标.
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n n
故： y (x 4) (x 4)
0 0 0
m 4 m 4
16
即： (m 4)(x 4) (m 4)(x 4) ，即： x
0 0 0
m
n n 16 4n
代入②得： y (x 4) ( 4)
0 0
m 4 m 4 m m
16 y y 16 4 y
故： m ， n 0 m 0 0
x 4 4 x x
0 0 0
将上式代入①得：
P
2 2 2
1 16 1 4 y
0 1
2 2
16 x 8 x A B
0 0
O
2
16 2 y
即： 0 1，即： 2 216 2 y x
2 2 0 0
x x S Q
0 0 E
2 2
x y
即： 0 0 1
16 8
这就是 S 点的轨迹，它是一个双曲线.
[例 10]已知抛物线 2P : y 2 px ( p 0 )， F 为 P 的焦点， M 为 P 上任一点， l 为过 M 点的切
线，求证： FM 与 l 的夹角等于 l 与 x 轴的夹角.
[解析]设抛物线 P 上的点 M ，其坐标为 (x , y ) .
0 0
y
则在 M 点的切线方程用等效代替得：
px px M
y y p(x x ) ，即： y 0
0 0
y y
0 0
O F x
p
故切线的斜率为： k tan ①
l
y
0 l
P
y y
FM 的斜率为： k tan M F
MF
x x
M F
p
2
y 2 py 2 py y
即： tan 0 0 0 0
2 tan
tan(2 )
p 22 px p 2 2 2y p p 1 2tan
x 2 0
0 1
2 y 2
0
故： 2 ，即： FM 与 l 的夹角等于 l 与 x 轴的夹角. 证毕.
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3 2
[例 11]已知抛物线 P 的顶点为原点，其焦点 F(0,c) 到直线 l : x y 2 0 的距离为 d ，
2
M 在 l 上，过 M 作抛物线 P 的两条切线 MA 、 MB ，其中 A 、 B 为切点.
⑴当 M 的坐标为 (4,2) 时，求 AB 的直线方程；
⑵当 M 在 l 上移动时，求 AF BF 的最小值.
[解析]
0 c 2 c 2
由点 F(0,c)到直线 l : x y 2 0 的距离公式得： d
2 2
1 ( 1) 2
3 2 c 2 3 2 3
将 d 代入上式得：d ，即：c 1
2 2 2 2
由于抛物线 P 的顶点为原点，故其焦点为 F(0,c) 得抛物 B
线方程为： 2x 4cy 4 y ①
⑴当 M 的坐标为 (4,2) 时，求 AB 的直线方程
M
由于 MA 、 MB 是抛物线 P 的两条切线，所以点 M 与直 A
线 AB 是关于抛物线 P 的一对极点与极线，即直线 AB 的 l
方程就是 M 关于抛物线 P 的极线方程.
设 M 点的坐标为 (x , y )，
0 0
则直线 AB 的方程： x x 2( y y )
0 0
即： 4x 2( y 2) ，即： 2x y 2 ，即： 2x y 2 0 .
⑵当 M 在 l 上移动时，求 AF BF 的最小值
A> 由于 MA 、 MB 是抛物线 P 的两条切线，所以点 M 与直线 AB 是关于抛物线 P 的一对极
点与极线. 故直线 AB 的方程： x x 2( y y ) ②
0 0
抛物线①式： 2x 4 y ， p 2
其焦点坐标为 F(0,1) B
F
其准线方程为： y 1 ③ A
B> 由抛物线，有定义，定点定线等距离 知： A’ B’
M
l
AF AA' ， BF BB '
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p p
而 AA' = y 1 y ， BB ' y 1 y
A A B B
2 2
故： AF BF (1 y )(1 y ) 1 ( y y ) y y ④
A B A B A B
C> 由于 A, B 在直线 AB 上，满足直线 AB 的方程②得： x x 2( y y )
0 0
即： 2 2x x 4( y 2 2 2y ) ，即： 4x y 4( y y )
0 0 0 0
则： 2 2 2 2x y ( y y ) y 2 y y y
0 0 0 0
即： 2 2y (x 22 y )y y 0 ⑤
0 0 0
由韦达定理得： 2y y x 2 y , 2y y y ⑥
A B 0 0 A B 0
D> 由于 M 点在直线 l : x y 2 0 上，故： x y 2 0
0 0
即： x y 2 ⑦
0 0
将⑥代入④得： 2 2AF BF 1 x 2 y y ⑧
0 0 0
将⑦代入⑧得：
2 2
AF BF 1 ( y 2) 2 y y
0 0 0
21 y 4 y 4 22 y y 22 y 2 y 5
0 0 0 0 0 0
1
2
9 9
2( y )
0
2 2 2
9
故： AF BF 的最小值是 .
2
[例 12]过抛物线 2P : x 2 py ( p 0 )的焦点 F 作斜率分别为 k ,k 两条不同弦 AB 和 CD ，
1 2
k k 2 ，以 AB 、CD 为直径的圆 M 圆 N ( M 、N 为圆心)的公共弦所在的直线记为 l ，
1 2
7 5
若圆心 M 到 l 距离的最小值为 ，求抛物线 P 的方程.
5
[解析]
A> 抛物线 2x 2 py ① S
A
p M
其焦点 F (0, ) D N
2
F C
p B
则 AB 的直线方程为： y k x ②
1
2 T O
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p
CD 的直线方程为： y k x ③
2
2
B> 由①②联立可得 A, B 坐标，进而得到圆 M 的方程.
2 p将③代入①得： x 2 p(k x ) 22 pk x p ，即： 2 2x 2 pk x p 0
1 1 1
2
由韦达定理得： x x 2 pk ， 2x x p
A B 1 A B
代入②得： y 2y k (x x ) p 2 pk p ，
A B 1 A B 1
x x y y p
故： x A B 2pk ， y A B pk ③
M 1 M 1
2 2 2
圆 M 的半径为：
AB 1 1
R 2(x x ) 2k (x 2x ) 2 21 k (x x ) 4x x
M A B 1 A B 1 A B A B
2 2 2
1
2 2 2 2
2 2 2
1 k 4 p k 4 p p 1 k k 1 p(1 k ) ④
1 1 1 1 1
2
于是圆 M 的方程为： 2 2 2(x x ) ( y y ) R ⑤
M M M
C> 同理得到C , D 的坐标和圆 N 的方程
x x y y
C D ， C D 2
p
x pk y pk ⑥
N 2 N 2
2 2 2
圆 N 的半径为： 2R p(1 k ) ⑦
N 2
于是圆 N 的方程为： 2 2 2(x x ) ( y y ) R ⑧
N N N
D> 联立⑤⑥可得到 S,T 的坐标，进而得到公共弦 ST 的方程
由⑤-⑧得：
2 2 2 2 2 2
[(x x ) (x x ) ] [( y y ) ( y y ) ] R R
M N M N M N
即：[(x x )(2x x x )] [( y y )(2y y y )] (R R )(R R ) ⑨
N M M N N M M N M N M N
分别解析⑨式，得到公共弦 ST 的方程
由⑥-③得： 2 2x x p(k k ) ， y y p(k k )
N M 2 1 N M 2 1
由⑥+③得： x x p(k k )， y 2 2y p(k k 1)
N M 2 1 N M 2 1
由④-⑦得： 2 2R R p(k k )
M N 1 2
由④+⑦得： 2 2R R p(k k 2)
M N 1 2
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23 个基础的圆锥曲线专题 2.0--tobeenough
将上式代入⑨式得：
+ 2 2 2 2p(k k )[(2x p(k k )] p(k k )[2 y p(k k 1)]
2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 2 2 2p (k k )(k k 2)
1 2 1 2
将 k k 2 代入上式得：
1 2
2 2 2 2 2
p(k k )(2x 2 p) 2 p(k k )[2 y p(k k 1)] 2 p (k k )(k k 2)
2 1 2 1 2 1 1 2 1 2
即： 2 2 2 2(x p) [2 y p(k k 1)] p(k k 2)
2 1 1 2
即： x 2 2p 2 y pk pk p 2 2pk pk 2 p
2 1 1 2
即： x 2 y 0 ⑩
这就是公共弦 ST 的方程.
7 5
E> 由圆心 M 到 l 距离的最小值为 得到 p 就得到了抛物线 P 的方程
5
x 2 y x 2 y
由点到直线的距离公式得： M M M Md
2 2
1 ( 2) 5
p
将③式 x pk ， 2y pk 代入上式得：
M 1 M 1
2
pk 22 pk p
1 1 p
d 22k k 1
1 1
5 5
2 p 2 1 1 2 p 1 2 7 2 p 7 7 5 p k k [(k ) ]
1 1 1
5 2 2 5 4 16 5 16 5 8
7 5
由于 d 最小值为 ，所以 p 8 .
5
M
故抛物线 P 的方程为： 2x 16 y .
[例 13]已知动圆 C 过定点 A(4,0) ，且在 y 轴上截得的弦

A

MN 的长为 8 ，求动圆圆心 C 的轨迹方程. O
[解析]弦 MN 的垂直平分线 l 与弦 MA 的垂直平分线 l 相
1 2 N

交于圆心.
A> 设 M(0, y ) ，则 M(0, y 8) ，而 A(4,0)
0 0
故：直线段 MN 的垂直平分线过 (0, y 4) 点，
0
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直线段 MN 的垂直平分线方程为： y y 4 ①
0
B> 直线 MA 的斜率为：
y y 0 y y
k A M 0 0 ②
MA
x x 4 0 4
A M
y
故：直线段 MA 的中点为 (2, 0 ) ，
2
1 4
直线段 MA 的垂直平分线斜率为： k
k y
MA 0
直线段 MA 的垂直平分线方程为：
y y y
y k(x 2) 0
4
(x 2) 0
4 8
x 0 ③
2 y 2 y y 2
0 0 0
C> 联立①③可解得圆心坐标 (x , y )
C C
4 8 y 4 8 y y 8
将①代入③得： y 4 x 0 ，即： x y 4 0 0 4
0 C C 0
y y 2 y y 2 2 y
0 0 0 0 0
即： 8x 2y 16 8 y ④
C 0 0
由①式 y y 4 得： y y 4
C 0 0 C
代入④得： 28x ( y 4) 16 8( y 4)
C C C
即： 8x 2( y 28 y 16) 16 (8 y 32) y
C C C C C
故动圆圆心 C 的轨迹方程为： 2y 8x .
这是一条抛物线.
[例 14]如图已知，在抛物线 2P : y 4x 的焦点为 F ，其准线
与 x 轴的交点为 A . 过原点的圆 C 其圆心在抛物线 P
M
上 ， 与 抛 物 线 的 准 线 l 交 于 不 同 的 两 点 M , N ， 若

C
2
AF AM AN ，求圆C 的半径. N

F

A O
p
[解析]抛物线的准线方程： x 1
2
抛物线的焦准距： AF p 2 ①
A> 设圆心 C 的坐标为 (x , y )
0 0
因为圆心在抛物线 P 上，故： 2y 4x ②
0 0
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设圆的方程为： 2 2(x x ) ( y y ) 2R ③
0 0
由圆过原点得： 2 2 2x y R ④
0 0
B> 由圆与抛物线的准线 l 交于不同的两点 M , N 得： M , N 满足③式.
由于 x x 1 ，故：
M N
2
(1 x ) 2 2 2 2( y y ) R x y
0 0 0 0
即： 2y 2 y y 1 2x 0 ⑤
0 0
由韦达定理得： y y 2 y ， y y 1 2x
M N 0 M N 0
因为： AM y ， AN y ，故： AM AN 1 2x ⑥
M N 0
2
C> 将①⑥式代入 AF AM AN 得： 1 2x 4
0
3
即： x ⑦
0
2
将⑦代入②式得： 2y 4x 6 ，即： y 6 ⑧
0 0 0
将⑦⑧代入④得： 2 2 2
9 33
R x y 6 ⑨
0 0
4 4
33
故：圆C 的半径为 R .
2
[例 15]如图，抛物线 2P : x 4 y ，抛物线 2P : x 2 py ( p 0 )，点 M(x , y )在抛物线 P 上，
1 2 0 0 2
过 M 作 P 的两条切线 MA 和 MB ，当 x 1 2 时，
1 0
A
1 P1
切线 MA 的斜率为 k .
2
⑴求： AB 所在的直线方程； B

⑵当点 M 在抛物线 P 上运动时，求 AB 中点的轨迹
2
M
方程.
[解析] ⑴求 AB 所在的直线方程 P2
A> 因为点 M(x , y )在抛物线 P 上，满足抛物线 P ：
0 0 2 2
2
x 2 py ①
0 0
由于 MA 和 MB 是 P 两条切线，所以 M 和 AB 就是关于 P 的一对极点和极线.
1 1
故极线方程对 2P : x 4 y 等效代替为： x x 2( y y ) ②
1 0 0
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将①代入②得： px x 2 py 2 py 22 py x
0 0 0
即： px x 22 py x 0 ③
0 0
x
B> MA 的切线由等效代替得： x x 2( y y )，即： y A x y
A A A
2
x
其斜率为： k A ④
MA
2
1
当 x 1 2 时，切线 MA 的斜率为 k .
0
2
1 x 1
将 k 代入④得： k A ，即： x 1
MA A
2 2 2
2
于是由 2
x 1 1
x 4 y 得： y A ，故 A 点坐标为 A( 1, ) ，此时， x 1 2 .
A A A 0
4 4 4
1 1
C> 将 点坐标为 代入③式得： 2A A( 1, ) px 2 p x 0
0 0
4 4
2
即： 2
2x
2 px p 2x 0 ，即： p 0
0 0
2x 1
0
2 2
2(1 2 ) 2(1 2 )
将 x 1 2 代入上式得： p 2
0
22(1 2 ) 1 (1 2 )
故 2P : x 2 py 4 y ⑤
2
D> 求 AB 所在的直线方程
将 x 1 2 和 p 2 代入③式得： 2px x 2 py x 0
0 0 0
即： 22(1 2)x 4 y (1 2 ) 0 ，即： 2(1 2)x 4 y 3 2 2 0
1 2 3 2 2
即： y x ⑥
2 4
这就是所求的 AB 所在的直线方程.
⑵当点 M 在抛物线 P 上运动时，求 AB 中点的轨迹方程.
2
A> 将 AB 所在的直线方程③式与 2P : x 4 y 式联立即可.
1
1 1
由③得： 22 y x x x 2x x x ⑦
0 0 0 0
p 2
代入 2x 得： 2 2 2 24 y x 2x x x ，即： x 2x x x 0 ⑧
0 0 0 0
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x x
B> 由韦达定理得： x x 2x ，即 A B x ⑨
A B 0 0
2
x x
即 AB 中点坐标： x A B x
D 0
2
2
x 2 2x 3x
代入⑦式得： 2 y x x 0 2x D
4
D ，即： 2x y
D 0 D D D D
2 2 2 3
这就是 AB 中点的轨迹方程.
1 1
[例 16]已知抛物线 2P : y 8x ，焦弦 AB 被 F 分为 FA 、 FB 两段，求：
FA FB
[解析]由于所求的是与 FA 、 FB 相关，所以采用极坐标.
对于抛物线 2P : y 8x ，其焦准距 p 4 ，离心率 e 1
ep
极坐标方程为： A
1 ecos
4
将 p 4 、 e 1代入上式得： ①
1 cos
设 A 点的极角为 ，则 B 点的极角为 O F
4
故： FA ②
A
1 cos B
4 4
FB ③
B
1 cos( ) 1 cos
1 1 1 cos
则由②得： ④
FA 4
A
1 1 1 cos
由③得： ⑤
FB 4
B
1 1 1 cos 1 cos 1
由④+⑤得： .
FA FB 4 4 2
[例 17]如图，在正方形 中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为 (10,0) ，点C 的坐标为 (0,10) ，分
OABC
别将线段 A 和 AB 等分成十等分，分点分别记为 A , A , ..., A 和 B , B , ..., B ，连接OB ，
AB
OA 1 2 9 1 2 9 i
过 A 作轴的垂线与 OB 交于点 P ( *i N , 1 i 9 ). ⑴
i i i
⑴求：点 P 的轨迹方程；
i
⑵求：过点 P 的切线方程.
i
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[解析] ⑴求：点 P 的轨迹方程
i
首先看 P 点的坐标 (x , y ) y
i i i
C B
2
i i
则： x i ， y x B9
i i
10 10
2
x
故 P 点的轨迹方程为： y Bi
i
10
⑵求：过点 P 的切线方程.
i Pi
由切线方程用代替得切线方程： B2
B1
y y x x
i i ， A
2 10 O A1 A2 Ai A9 x
x x 2
i ix i i即： y y (2x i) .
i
5 5 10 10
这就是过点 P 的切线方程.
i
2 2
x y
[例 18]已知，双曲线 H : 1 ，过右焦点 F 的直线交 H 于 A 、 B 两点，以 AB 为直径
4 5
的圆 C 与 H 的准线还有另外两个交点 M 、N ，与原点O 构成的三角形，求：S 的最MON
小值.
[解析]
A

A> 双曲线右焦点 F 的坐标 M
由 2 2 2 2 2a 4 ， b 5 得： c a b 9

O F
故： c 3 ，即： F(3,0) N
B
B> 双曲线的准线方程
H
由准 线 方 程 准 焦 距 ， a 方 、 b方 除 以 c 得 ：
2
a 4
准线方程为： x ①
c 3
C> AB 的值
设过右焦点 F 的直线方程为： y k(x 3) ②
代入 H 的方程假的 A, B 点的坐标.
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2 2 2
x k (x 3)
故： 1，即： 25x 2 24k (x 3) 20
4 5
即： 2 2 2 2 25x 4k x 24k x 36k 20 0
即： 2 2 2 2(5 4k )x 24k x (36k 20) 0 ③
2 2
24k 36k 20
由韦达定理得： x x ， x x
A B A B
5 2 24k 5 4k
2 4 2
则： 2 2
24 k 4(36k 20)
(x x ) (x x ) 4x x
A B A B A B 2 2 2
(5 4k ) 5 4k
2 4 2 2
24 k 4(36k 20)(5 4k )

2 2 2 2(5 4k ) (5 4k )
2
4
4 2 2 36k (9k 5)(5 4k ) 2 2(5 4k )
2 2 2
4 2 20 (k 1) 25k 25 ④ (5 2 2 2 24k ) (5 4k )
而： 2 2 2( y y ) k (x x )
A B A B
2 2
2 2 2 20 (k
2 2
1) 20(k 1)
于是： AB (1 k )(x x ) ，则： AB ⑤
A B 2 2
(5 4k ) 5 24k
D> 圆C 的方程
x x y y
设圆心坐标C(x , y )，则： x A B ， y A B
C C C C
2 2
x x 2 212k 12k
故： x A B 0
C
2 5 2 24k 4k 5
y y x x 3 3
A B A B 12k 12k 15 15y k 3k
C 2 2 2
2 2 4k 5 4k 5 4k 5
AB 2 2 2 210(k 1) 10 (k 1)
圆的半径： R ，则： 2R
2 2 2 25 4k (4k 5)
故圆 C 的方程为： (x 2x ) ( y 2 2y ) R
C C
2 2 2 2
12k 2 15 10 (k 1)即： 2(x ) ( y ) ⑥
2 2 2 24k 5 4k 5 (4k 5)
E> 求 MN 点的坐标
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2 2 2 2
4 12k 15 10 (k 1)
将①带入⑥式得： 2( ) 2( y )
2 2 2 2
3 4k 5 4k 5 (4k 5)
2 2 2 2 2 2
15 2 30 (k 1) [4(4k 5) 36k ]即： ( y )
2 2 2 2 2 2 2
4k 5 3 (4k 5) 3 (4k 5)
2 4 2 2 2 2 2
30 (k 2k 1) 4 [4k 5 9k ]

2 2 2 2 2 23 (4k 5) 3 (4k 5)
2 2 2 2 2 2 2 2
30 (k 1) 20 (k 1) 500(k 1)

2 2 2 2 2 2 2 2 23 (4k 5) 3 (4k 5) 3 (4k 5)
2 2
15 500 (k 1) 20 5 (k 1)
故： y ，即： MN ⑦
M ,N 2 2 24k 5 3(4k 5) 3(4k 5)
F> S 的最小值 MON
2
a 4
由于①式 x ，即O 到直线 MN 的距离，
c 3
2
1 4 2 20 5 (k 21) 40 5 (k 1)
故： S MN MON 2 2
2 3 3 3(4k 5) 9(4k 5)
2
10 5 (4k 5 9) 10 5 10 5 10 5

2
9(4k 25) 9 (4k 5) 9
10 5
即：当 k 时， S 为最小值。 MON
9
ep
[例 19]如图椭圆： = ，
1 ecos
焦弦 AB 交椭圆 A, B . M D
F 为左焦点， A
P,Q 为椭圆顶点，
B' Q
连结QA 的直线交准线与 ， Z P M
F A' O
连结QB 的直线交准线与 N ，
MN 是准线： cos p . B
N
2
a
或 x ，长轴于准线交点为
M ,N
c
Z . 求证： MF NF
[证明]
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A> 由椭圆的极坐标方程求出 AA' 和 BB '
过 A 作 AA' PQ 交 PQ 于 A'，过 B 作 BB' PQ 交 PQ 于 B '
ep
设直线 AB 的倾角为 ，则由椭圆的极坐标方程可得： AF
1 ecos
epsin
于是： AA' AF sin ①
1 ecos
ep epsin
同理： BF ， BB ' BF sin ②
1 ecos 1 ecos
B> 求准线上的截距 ZM 和 ZN
ZM ZQ ZO OQ
由 QZM∽ QAA'得： ③
AA' A'Q FQ FA'
2
a
将 ZO p ，OQ a ， FQ a c ， FA' FAcos
c
2 2
b a 2 2 2c a a a a c
由 p c 得： p c a a (a c)
c c c c c e
即： e( p c a) a c
代入③式得：
a a
(a c) (a c)
c c epsin ZM AA'
(a c) AF cos epcos 1 ecos
(a c)
1 ecos
a c
(a c) psin
c a (a c) psin
(a c)(1 ecos ) epcos (a c) e(a c p)cos
(a c) psin psin
④
(a c) (a c)cos 1 cos
psin
对于 ZN ，将 代替 代入④即可，即： ZN ⑥
1 cos
D> 向量法证 MF NF
2 2psin psin p sin
由⑤⑥式得： 2ZM ZN p
21 cos 1 cos 1 cos
2
因为 p 是焦准距，故： ZF p ， 2ZF p
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因为向量： FZ ZM ， FZ ZN

2
故： FM FN (FZ ZM) (FZ ZN ) ZF ZM ZN 0

所以： FM FN ，即： MF NF . 证毕.
2 2
x y
[例 20]如图，F 为双曲线C : 1（ a 0,b 0 ）的右焦点，P 为双曲线右支上的一点，
2 2
a b
且位于 x 轴 上 方 . M 为左准线上一点， O 为坐标原点 .已知四边形为平行四边形，
PF OF .
⑴ 写出双曲线的离心率 e 和 的关系式；
⑵ 当 1时，经过焦点 F 且平行于OP 的直线交双曲线于 A, B 点. 若 AB 12 ，求此时
的双曲线方程.
[解析] ⑴ 写出双曲线的离心率 e 和 的关系式
c
A> 双曲线 C 的离心率： e P
a M N
由准线方程准焦距， a 方 b 方除以 c 得：
2
a
双曲线C 的左准线： x
c O F
A
2
a
双曲线C 的右准线： x
c
2
2a
则： MN ， OF c B
c
MN 22a 2
故： ①
2 2
OF c e
C> 根据双曲线的第二定义：
2
a
P 点到焦点 F 的距离 PF ，与到准线 x 的距离 PN 之比为定值 e .
c
PF OF
故： e ②
PN PM MN PM MN

OF OF
因为已知四边形OFPM 为平行四边形，所以 PM OF ③
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2e
将①③代入②式得： e ，即： 2e 2 e
2 2e 2
1
2
e
2
e 2 2
故： e ④
e e
⑵ 当 1时，经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交双曲线于 A, B 点. 若 AB 12 ，求此时的
双曲线方程
A> 求得参数关系
当 1时，即： PF OF OF c ⑤
2
e 2 2
由④得： e 1
e e
即： 2e e 2 0 ，即： (e 2)(e 1) 0 ，故： e 2
c
则由 e 得： c ea 2a
a
代入 2c 2 2 2 2a b 得： b 3a ，故： b 3a ⑥
B> 双曲线方程
2 2 2 2
x y x y
设 P(x , y )，则 P P 1，即： P P 1 ⑦
P P 2 2 2 2
a b a 3a
2
此时， 2 2 2 2PF (x c) y (x 2a) y
P P P P
代入⑤式得： 2 2 2 2(x 2a) y c 4a
P P
2 2(x 2a) y
即： P P 1 ⑧
2 2
4a 4a
C> 采用参数法求得 P 点坐标
令： x 2a 2acos ， y 2a sin
P P
代入⑧式则为恒等式： 2 2cos sin 1
2
4a (1 cos 2 2 2) 4a sin
代入⑦式得： 1
2 2
a 3a
2 4即： 24(1 cos ) sin 1，即： 2 212(1 cos ) 4sin 3
3
即： 2 212 24cos 12cos 4 4cos 3 0
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即： 216cos 24cos 5 0 ，即： (4cos 1)(4cos 5) 0
1
因为： cos 1，所以： cos
4
3a 15
于是： x 2a 2acos ， y 2a sin a
P P
2 2
D> 求 A, B 点的坐标及 AB
y
P 15因为直线 AB / /OP ，所以斜率 k k
AB OP
x 3
P
15
故直线 AB 的方程为： y k (x x ) (x 2a) ⑨
AB F
3
将⑨与双曲线方程联立可得 A, B 点的坐标.
2
x 1 5
将⑨代入双曲线方程得： 2[ (x 2a)] 1
2 2
a 3a 3
即： 2 2 2 2 29x 5(x 2a) 9a ，即： 4x 20ax 29a 0 ⑩
E> 求双曲线方程
2
20a 29a
⑩式由韦达定理得： x x 5a ， x x
A B A B
4 4
于是： 2 2(x x ) (x x ) 4x x 2 2 225a 29a 54a
A B A B A B
2 2 2 5则： 2 2( y y ) k (x x ) 54a 90a
A B AB A B
3
故： 2 2 2 2AB (x x ) ( y y ) 54a 90a 12a
A B A B
代入已知 2AB 12 得： a 1， a 1
将 a 1代入⑥式得： b 3 ， 2b 3
2
y
则双曲线方程为： 2x 1 .
3
[例 21]如图已知椭圆的中心是原点 O ，它的短轴长为 2 2 ，相应于焦点 F(c,0) 的准线 L 与 x 轴
相交于 A ， OF 2 FA ，过点 A 的直线交椭圆于 P,Q 两点.
⑴ 求椭圆方程及其离心率；

⑵ 若OP OQ 0 ，求直线 PQ 的方程；
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⑶ 设 AP AQ ( 1 )，过点 P 且平行于准线 L 的直线交椭圆的另一点为 M ，证明：

FM FQ .
[解析] ⑴ 求椭圆方程及其离心率
M

因为焦点 F(c,0) 在 x 轴上，所以短轴是 y 轴.

故短轴： 2b 2 2 ，即： b 2 ① O F Q A

由准线方程准焦距， a 方 b 方除以 c 得： P
L
2 2
a a
准线方程： x ，则： x
A
c c
2
a
由 OF 2 FA 得： x 2(x x ) ，即： 3x 2x ，即： 3c 2
F A F F A
c
2
c 2 c 6
即： ，则： e ②
2
a 3 a 3
2
b 2
由 2 2 2 2 2 2 2a b c b e a 得： a 6 ③
21 e 2
1
3
2 2
x y 6
故：椭圆方程为： 1；离心率： e .
6 2 3

⑵ 若OP OQ 0 ，求直线 PQ 的方程
A> 求 P(x , y ) ，Q(x , y ) 的关系
1 1 2 2
M
由OP OQ 0 得： (x , y ) (x , y ) 0
1 1 2 2
即： x x y y 0 ④ 1 2 1 2 O F
Q A
2
a a 6
B> 因为： x 3
A P
c e 6 L
3
所以设过点 A 的直线方程为：
y k(x x ) k(x 3) ⑤
A
2 2 2 2 2
x y x k (x 3)
代入椭圆方程 1得到 P,Q 点满足的方程： 1
6 2 6 2
即： 2 2 2 2 2 2 2x 3k (x 3) 6 0 ，即： (1 3k )x 18k x 27k 6 0
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2 2
18k 27k 6
由韦达定理得： x x ， x x ⑥
1 2 2 1 2
1 3k 1 23k
C> 由⑤得： 2y y k (x 3)(x 3)
1 2 1 2
即： 2y y k [x x 3(x x ) 9]
1 2 1 2 1 2
将⑥式代入上式得：
2 2 2 2 2 22 27k 6 18k 2 27k 6 54k 9 27k 3k
y y k [ 3 9] k ( )
1 2
1 2 23k 1 3k 1 23k 1 23k
2
3k
即： y y ⑦
1 2 2
1 3k
2
27k 2 26 3k 30k 6
D> 将⑥⑦代入④式得： x x y y 0
1 2 1 2
2 2 21 3k 1 3k 1 3k
即： 2
1 5
k ，即： k
5 5
5
故直线 PQ 的方程为： y (x 3) ⑧
5

⑶ 设 AP AQ ( 1 )，过点 P 且平行于准线 L 的直线交椭圆的另一点为 M ，证明：

FM FQ .
M
A> 已知： a 6 ， b 2 ，则： c 2 ， x 3
A
我们采用参数法来证明本题.
O F
Q A
设： x x 6 cos
M P
P
y y 2 sin L
M P
x 6 cos
Q
y 2 sin
Q
将上述各式代入椭圆方程均得到恒等式.

AP
B> 由 AP AQ 得：
AQ

AP x x 3 6 cos
则： x P A
AQ x x 3 6 cos Q A
x
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AP
y y yP A 2 sin 及：
AQ y y 2 sin Q A
y
3 6 cos sin
于是： ⑨
3 6 cos sin
C> 直线 PQ 与 x 轴的交点 A
y y y y
Q P Q
由两点式得直线方程：
x x x x
Q P Q
0 y y y
Q P Q
当 y 0 时， x x ；即：
A
x x x x
A Q P Q
x x
P Q
即： x x y
A Q Q
y y
P Q
6 cos 6 cos
故： x 6 cos 2 sin
A
2 sin 2 sin
cos cos cos (sin sin ) sin (cos cos )
6 cos 6 sin 6
sin sin sin sin sin sin
sin cos sin cos cos sin sin cos
6
sin sin
sin cos cos sin sin( )
6 6
sin sin sin sin

sin cos cos
6 2 2 6 2

cos sin cos
2 2 2

cos
将 x 3 代入上式得： 6 2 3
A
cos
2

cos
6
即： 2 ⑩
2
cos
2
y y y y
Q M Q
D>直线 MQ 的方程为：
x x x x
Q M Q
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当 y 0 时，直线 MQ 与 x 轴的交点 E(x ,0)
E
x x
M Q
则： x x y
E Q Q
y y
M Q

cos
同理得： x 6 2
E
cos
2

cos
将⑩式代入上式得： x 6 2
2
6 2 c
E
cos 6
2
可见 E 点与椭圆焦点 F 重合，即： M ,F ,Q 三点共线. 证毕.
2 2
x y
[例 22] 已知 P 是椭圆 1，( a 0,b 0 )上的任意一点，P 与两焦点的两线互相垂直，
2 2
a b
且 P 到两准线的距离分别为6 和 12 ，求椭圆方程.
[解析] 记： PF m ， PF n
1 2
根据：“椭圆三定义，简称和比积.”
⑴ 和 ： 到 两 定 点 的 距 离 之 和 为 定 值 的 点 的 轨 迹 叫 做 椭 圆 . 定 点 为 焦 点 ， 定 值
为 长 轴 .（ 定 值 = 2a ）
得 ： m n 2a ①
⑵比 ： 到 定 点 和 到 定 直 线 的 距 离 之 比 为 定 值 的 点 的 轨 迹 叫 做 椭 圆 .定 点 为 焦
点 ， 定 直 线 为 准 线 ， 定 值 为 离 心 率 .（ 定 值 = e ）
c m n
得： e ②
a 12 6
4a 2a
即： m 2n . 代入① 式 得 ： m ， n
3 3
⑶面积：根据“焦三角形计面积，半角正切连乘 b .”

得： 2S b tan ③
F1PF2 2
由于已知 PF PF ，三角形 PF F 是直角三角形，即： o90
1 2 1 2
1
所以： S mn ④
F1PF2 2
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2
2 1 1 4a 2a 4a 2a故由③④式得： b mn ，即： b
2 2 3 3 9 3
2 2
x y
⑷椭圆方程： 1
2 2
a b
2 2
由 2 2 2 2
4a 5a 5a
c a b a 得： c ⑤
9 9 3
4a c m a
由②式及 m 得 ： ，即： 2a 9c ⑥
3 a 12 9
[例 23] 已知抛物线 2C : x 2 py （ y 0 ）上一个纵坐标为 2 的点到焦点的距离为 3 .
⑴求抛物线C 的方程；
⑵设点 P(0, 2) ，过 P 作直线 l1 , l2 分别交抛物线于 A, B 和 M , N ，直线 l1 , l2 的斜率分别为
3
k1 和 k2 ，且 k1k2 ，求四边形 AMBN 面积 S 的最小值.
4
[解析] ⑴求抛物线C 的方程
y
p p
焦点坐标为 F (0, ) ，则： 2 3 ，故： p 10
2 2 M A
于是，抛物线 2C 的方程： x 2 py 20 y
B N
⑵求四边形 AMBN 面积 S 的最小值 x
A> 设直线 l1 , l2 的方程分别为： y k1x 2 和 y k2x 2
1 1
则四边形 AMBN 面积 S ： S MN PA MN PB
2 2
1 1
即： S MN AB sin l1, l2 MN AB sin ①
2 2
1 1
而由： 2sin 2cos 1得： 1
2 2
tan sin
2
tan tan
即： 2sin ，即： sin ②
2
1 tan 1 2tan
B> 下面计算 tan
设： k tan ， k tan
1 1 2 2
tan 1 tan 2 tan tan tan ( ) 1
tan 2
1 2
1 tan 1 tan 2 1 k1k2
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3
将 k1k2 代入上式得： tan 4 tan 1 tan 2 ③
4
C> 下面求出 AB 和 MN
将直线 y k1x 2 代入抛物线C 的方程：
2
x 20 y
得： 2 2x 20(k1x 2)，即： x 20k1x 40 0
由韦达定理得： xA xB 20k1， xAxB 40
故： 2 2 2(xA xB) (xA xB) 4xAxB 400k1 160
2 2 2
( yA yB) k1 (xA xB)
则： AB 1 2 2 2 2k1 (xA xB) 1 k1 400k1 160
2 2
2
20 1 k1 k1
5
2
即： 2 2AB 20 1 tan 1 tan 1 ④
5
2
同理： 2 2MN 20 1 tan 2 tan 2 ⑤
5
3 3
D> 由 k1k2 得： tan tan 1 2
4 4
即： 4sin sin 3cos cos
1 2 1 2
故： cos cos 4sin sin 4cos cos 4cos( ) ⑥
1 2 1 2 1 2 2 1
E> 将③④⑤结果代入①式得：
1
S MN AB sin
2
1
2 2 2
2 2 2 2
20 1 tan 1 tan 1 1 tan 2 tan 2 sin( 2 1)
2 5 5
sin( 2 1) 2 2 2 2 200 tan 1 tan 2
cos 1 cos 2 5 5
将⑥代入上式得：
sin( 2 1)
2
2 2
S 50 tan 1
2
tan 2
cos( 2 5 51)
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2
2 2 2
50 tan( 2 1) tan 1 tan 2
5 5
tan
2
tan 1 2 2 2 250 tan 1 tan 2
1 tan 2 tan 1 5 5
2
2 2
2
200 tan 2 tan 1 tan 1 tan 2
5 5
2 2 2 2 2 200 (k2 k1) (k1 )(k2 ) ⑦
5 5
2 2
F> 现在求 2 2 2(k2 k1) (k1 )(k2 ) 的极值
5 5
3
实际上因为 k1k2 ， k 与 k 异号. 1 2
4
假设 k 0 ，则 k 0
2 1
3
设 k k 0 ， k3k2 ，则⑦式变为： 3 1
4
2 2
S 2 2 2200 (k2 k3 ) (k3 )(k2 ) ⑧
5 5
这是两个对称正变量的求极值问题.
因为地位等价，所以当 k k 时， S 达到极小值.
2 3
2 2 2 2
S 200 (k2 k3 ) (k3
2
)(k2 )
5 5
2 2 2 200 (2 k2k3 ) (k2k3 )(k2k3 )
5 5
2 2
200 (4k2k3 )(k2k3 )(k2k3 )
5 5
3 2 3 2
200 3 ( )( )
4 5 4 5
3 2 23
200 ( ) 3 200 3 230 3
4 5 20
故四边形 AMBN 面积 S 的最小值是 230 3 .
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