专题1 三视图方法总结及例题（解析版）-2021年高考数学立体几何中必考知识专练（Word含答案解析）

专题1：三视图方法总结及例题（解析版）
一.空间几何体的三视图
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和长度
侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和宽度
俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。反映了物体的长度和宽度
三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”
二.空间几何体的直观图
斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系（尽可能使更多的点在坐标轴上）
②建立斜坐标系，使=450（或1350）
③画对应图形
在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；
在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；
直观图与原图形的面积关系：
切割法
例1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．20 B．24 C．18 D．16
【答案】A
【分析】
由三视图还原出该几何体的直观图，如图所示，该几何体是一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的，然后计算体积即可
【详解】
解：由几何体的三视图还原出该几何体的直观图，如图所示．该几何体是一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的．
由题中数据可得三棱柱的体积为，截去的三棱锥的体积为4，
故该几何体的体积是20．
故选：A
【点睛】
此题考查由三视图求几何体的体积，需熟记锥体的体积公式，属于基础题.
切割法规律总结：
1、还原到常见几何体中
2、实线当面切，虚线背后切
3、切完后对照三视图进行检验
二，三点交汇法
例2某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为( )
A．4 B．8 C．12 D．24
【答案】A
【分析】
由三视图还原几体何体，可知该几何体是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得（如图），直接由三棱锥的体积公式可得答案.
【详解】
由三视图还原几体何体如图，三棱锥是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得，
所以
故选：A
【点睛】
此题考查由三视图求多面体的体积，关键是由三视图还原几何体，属于中档题.
三点交汇法规律：
三线交汇得顶点，各顶必在其中选
多顶可能用不完，个中取舍是关键
:三、拔高法
例3：3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．12
【答案】B
【分析】
由三视图可得此几何体为如图所示的四棱锥，然后求出各个面的面积即可
【详解】
解：由三视图可得此几何体为如图所示的四棱锥，
由题可得，,，
所以该几何体的表面积为
，
故选：B
拔高法规律总结：
1.标出俯视图所有结点，画出俯视图对应的直观图
2.由主、侧视图的左中右找出被拔高的点.
四、去点法
例4：某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．36
【答案】B
【分析】
由三视图可得原图，结合原图，利用四棱锥的体积公式即可得解.
【详解】
原图如图所示，
可得，
故选：B.
【点睛】
本题考查了三视图，考查了利用三视图画直观图，同时考查了锥体的体积公式，属于基础题.
去点法规律：
画立方 体 删多余点 连剩余点
六字真言：先去除、再确定
针对练习
1．一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为的正方形，则该几何体的表面积为( )
A．4 B．2 C．2＋2 D．6
【答案】C
【分析】
首先把几何体进行转换，进一步求出几何体的高，最后求出侧视图的面积．
【详解】
根据几何体的三视图，转换为几何体为：
由于正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为的正方形，
故底面的对角线长为2.
所以四棱锥的高为×2＝1，
故四棱锥的侧面高为h＝＝，
则四棱锥的表面积为.
故选C.
【点睛】
本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
2．某几何体的三视图如下图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由三视图可知，几何体是一个三棱柱，几何体的底面是边长为 的等边三角形，侧棱长为 ，三棱柱的两个底面中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是半径， ，球的表面积为 ，故选B.
点睛：三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
3．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
依据多面体的三视图，画出它的直观图并放入棱长为的正方体中，求出最长的棱长为可得答案．
【详解】
依据多面体的三视图，画出它的直观图，如图所示；
在棱长为的正方体中，四面体就是满足图中三视图的多面体，
其中、点为所在棱的中点，
所以，四面体最长的棱长为，
故选：C．
【点睛】
方法点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查学生空间想象能力，由三视图画出直观图的步骤和思考方法：
1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；
2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；
3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．
4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】
画出直观图，然后计算出最长的棱长.
【详解】
画出三视图对应的几何体的直观图如下图所示四棱锥.
，
，，
，.
所以最长的棱长为.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查三视图，属于基础题.
5．某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为( )
A．4 B．8 C．12 D．24
【答案】A
【分析】
由三视图还原几体何体，可知该几何体是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得（如图），直接由三棱锥的体积公式可得答案.
【详解】
由三视图还原几体何体如图，三棱锥是从长为4，宽为4，高为3的长方体中截得，
所以
故选：A
【点睛】
此题考查由三视图求多面体的体积，关键是由三视图还原几何体，属于中档题.
6．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【分析】
由三视图还原棱锥的直观图，即可求棱锥的表面积.
【详解】
由已知三视图，可得：此棱锥的直观图如下图所示：
和都是直角边为2和的直角三角形，
和均是腰长为2的等腰直角三角形，
所以其表面积为.
故选：A.
【点睛】
本题考查了根据三视图求几何体的表面积，空间想象能力，属于基础题.
7．一个几何体的三视图如图示，则这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
试题分析：由三视图可知该几何体为正方体去掉一角，其直观图如图缩小，正方体的体积，去掉的三棱锥的体积，因此组合体的体积，故答案为D．
考点：由三视图求几何体的体积．
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各个面中，面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据三视图，画出原图，根据原图，判断各个面的面积大小，即可得解.
【详解】
如图：
棱锥即为所求图形，
，，
所以△面积为，
而△，△，△的面积分别为，
故△的面积最大，
故选：B.
【点睛】
本题考查了立体几何的三视图，本题所用方法是利用长方体的割补进行还原原图，是解三视图的一个重要方法，考查了空间想象能力和空间感，计算量不大，属于中档题.
9．一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由三视图可知，该正三棱柱的底面是边长为2cm的正三角形，高为2cm，根据面积公式计算可得结果.
【详解】
正三棱柱如图，
有，，
三棱柱的表面积为.
故选：D
【点睛】
本题考查了根据三视图求表面积，考查了正三棱柱的结构特征，属于基础题.
10．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为（ ）
A．3 B．5 C．4 D．6
【答案】D
【分析】
根据三视图可知几何体为圆柱体，由已知条件得底面直径和高都为2，即可求圆柱体表面积.
【详解】
由题意知：几何体为底面直径和高都为2的圆柱体，
∴表面积，
故选：D
【点睛】
本题考查了由几何体三视图求表面积，应用了圆柱体表面积的求法，属于简单题.
11．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
分析：通过三视图可知，该多面体为棱长为2的正方体切割而成的四棱锥，为棱的中点，再计算该四棱锥各面面积之和即可．
详解：根据三视图可知，该几何体为四棱锥，由棱长为2的正方体切割而成．
底面为矩形，
易得
由余弦定理，得
四棱锥的表面积
故选A．
点睛：（1）当已知三视图去还原成几何体时，首先根据三视图中关键点和视图形状确定几何体的形状，再根据投影关系和虚线明确内部结构，最后通过三视图验证几何体的正确性．
（2）表面积计算中，三角形的面积要注意正弦定理和余弦定理的运用．
12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
将三视图还原直观图，即可找到最长的棱，计算其长度即可.
【详解】
由题意得：该几何体的直观图是一个四棱锥如图所示.
其中为最长棱.由勾股定理得.
故选：
【点睛】
本题主要考查三视图，将三视图还原直观图是解决本题的关键，属于简单题.
13．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
观察三视图并将其“翻译”成直观图，要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
【详解】
如图所示，三棱锥即为所求，正方体的棱长都是2，
B点到底面的距离是2，所以
.
故选：C.
【点睛】
本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力.
14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由三视图可知该几何体为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，由圆柱体积减去两个半球体积可得．
【详解】
由三视图可知该几何体为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，
所以该几何体的体积柱－半球
故选：A．
【点睛】
本题考查三视图，考查几何体的体积，解题关键是由三视图得出几何体的结构．
15．某几何体的三视图如图，则几何体的体积为
A．8π﹣16 B．8π+16 C．16π﹣8 D．8π+8
【答案】A
【解析】
根据三视图恢复原几何体为两个底面为弓形的柱体，底面积为一个半圆割去一个等腰直角三角形，其面积为，高为4，所以柱体体积为
.选A
【点睛】由于正视图和侧视图均为矩形，所以原几何体为柱体，底面为两个弓形，所以原几何体是由圆柱截得的，三视图问题是近些年高考必考题，根据三视图恢复原几何体，数据要根据“长对正、高平齐，宽相等”的原则，标清几何体中线段的长度，利用面积或体积公式计算.
16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．8 B． C． D．16
【答案】B
【分析】
由三视图画出其直观图，再根据锥体的体积公式计算可得；
【详解】
解：由三视图可知，该几何体是一个竖放的四棱锥（有一条侧棱垂直于底面），其直观图如图所示：四棱锥的底面是直角梯形（上底为，下底为，高为），四棱锥的高是，所以直角梯形的面积为，所以该四棱锥的体积为．
故选:B．
【点睛】
本题考查由三视图求直观图的体积，属于基础题.
17．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】B
【详解】
试题分析：如图，阴影平行四边形表示截面，
可见这个截面将正方体分为完全相同的两个几何体，则所求几何体的体积即是原正方体的体积的一半，.
考点：1.三视图；2.正方体的体积
18．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
依题意，由三视图得到直观图，再求出四棱锥的表面积即可；
【详解】
解：由三视图可得如下直观图
则面，为矩形，且，，，所以，，，，
所以表面积为
故选：D
【点睛】
本题考查由三视图求几何体的表面积，属于基础题.
走进高考
1，2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷）
如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为加工前的零件半径为3，高为6，所以体积，又因为加工后的零件，左半部为小圆柱，半径为2，高4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2，所以体积，所以削掉部分的体积与原体积之比为，故选A.
考点：本小题主要考查立体几何中的三视图，考查同学们的空间想象能力.
2，2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）
如图,已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)
A．36π B．64π C．144π D．256π
【答案】C
【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．
考点：外接球表面积和椎体的体积．
3，2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由正视图、侧视图、俯视图形状，可判断该几何体为四面体，且四面体的长、宽、高均为4个单位，
故可考虑置于棱长为4个单位的正方体中研究，
如图所示，该四面体为，且,
,,，故最长的棱长为6，选B．
4，2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）
一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，
∴正方体切掉部分的体积为∴剩余部分体积为，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．
故选D．
考点：由三视图求体积
5，2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）
圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【解析】
【详解】
【分析】
由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，
截圆柱的平面过圆柱的轴线，
该几何体是一个半球拼接半个圆柱，
∴其表面积为： ，
又∵该几何体的表面积为16+20π，
∴ ，解得r=2，
本题选择B选项.
点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
6，2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷）
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
A． B． C．90 D．81
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：
解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱，
其底面面积为：3×6=18，
前后侧面的面积为：3×6×2=36，
左右侧面的面积为： ，
故棱柱的表面积为： ．
故选：B．
点睛：本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键，由三视图判断空间几何体（包括多面体、旋转体和组合体）的结构特征是高考中的热点问题.
7，2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2）
如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和。，，所以几何体的表面积为。
考点：三视图与表面积。
8．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）
如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是
A．17π B．18π C．20π D．28π
【答案】A
【解析】
试题分析：由三视图知，该几何体的直观图如图所示：
是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即，故选A．
【考点】三视图及球的表面积与体积
【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何
题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.
9．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）
某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
A．10 B．12
C．14 D．16
【答案】B
【解析】
由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为，故选B.
点睛:三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.