专题2 球的内接外切问题（解析版）-2021年高考数学立体几何中必考知识专练（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 专题2 球的内接外切问题（解析版）-2021年高考数学立体几何中必考知识专练（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-16 18:03:31 | ||
图片预览
文档简介
专题2：球的内接外切问题（解析版）
几何体的外接球问题：题目中涉及几何体外接球体，或者球内接几何体，再或者说球面上有几个点围成几何体，这类题型称之为几何体的外接球问题。
几何体的外接球问题你通常会想到：
①画出球体、标明球心→②画出球的内接几何体→ ③寻找突破口建立方程。
这类题80%以上都不用画图，只需要2步搞定：
①识别模型→②代入公式，就可以轻松求出外接球半径R
常见几何体的外接球半径：
例1．已知正方体棱长为2，点是上底面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰为，则此时点构成的图形面积为________.
【答案】.
【分析】
设三棱锥的外接球为球，分别取、的中点、，先确定球心在线段和中点的连线上，先求出球的半径的值，然后利用勾股定理求出的值，于是得出，再利用勾股定理求出点在上底面轨迹圆的半径长，最后利用圆的面积公式可求出答案．
【详解】
如图所示，设三棱锥的外接球为球，
分别取、的中点、，则点在线段上，
由于正方体的棱长为2，
则的外接圆的半径为，
设球的半径为，则，解得.
所以，，
则
而点在上底面所形成的轨迹是以为圆心的圆，
由于，所以，
因此，点所构成的图形的面积为.
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球的相关问题，根据立体几何中的线段关系求动点的轨迹，属于中档题.
例2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
A．10 B．20 C．24 D．32
【答案】C
【分析】
各顶点都在一个球面上的正四棱柱，棱柱的体对角线即为球的直径，再由球表面积公式即可求解.
【详解】
因为正四棱柱高为4，体积为16，
所以正四棱柱的底面积为，正四棱柱的底面的边长为，
正四棱柱的底面的对角线为，
正四棱柱的对角线为，而球的直径等于正四棱柱的对角线，
即，,
故选：C
例3．在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球体积为______.
【答案】
【分析】
由直棱柱的特点可知，外接球球心位于上下底面外心连线的中点处，先通过解三角形得出底面的外接圆半径，然后求出外接球半径，得出外接球的体积.
【详解】
在中，由余弦定理得，得.
所以的外接圆半径.
所以该三棱柱的外接球半径.
所以外接球体积.
故答案为：.
【点睛】
本题考查直棱柱的外接球半径计算，考查球的体积计算公式，难度一般，找出球心，解出半径是关键.
模型一——圆柱外接球模型
一个底面半径为r，高为h的圆柱，求它的外接球半径.
变形一：
如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如右图所示：
我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型。
在这里棱柱的高就是公式中的h，
而棱柱底面外接圆的半径则是公式中的r
例4，一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为acm，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知得正方体的体对角线就是正方体的外接球的直径，求得外接球的半径，再由球的表面积公式可得选项.
【详解】
如图所示，正方体的体对角线就是正方体的外接球的直径，设正方体的外接球为R，则，解得，
所以外接球的表面积为，
故选：A.
【点睛】
本题考查正方体的外接球的表面积，关键在于求出球的半径，属于基础题.
例5．在直三棱柱中，，，，若该三棱柱的外接球表面积为，则三棱柱的高为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】
利用余弦定理求得，利用正弦定理求得三角形外接圆半径，由此求得外接球半径的表达式，利用外接球的表面积列方程，解方程求得三棱柱的高.
【详解】
在中，，得.
所以的外接圆半径.
设该三棱柱的高为，
则该三棱柱的外接球半径.
所以外接球表面积.解得
故选：C
【点睛】
本小题主要考查几何体外接球的有关计算，考查运算求解能力.
变形二：
如果把上面的那个三棱柱上面的B1,C1两点去掉我们将得到右图三棱锥：
例6．已知A B C D为同一球面上的四个点.在△ABC中，，；AD=6，⊥平面，则该球的体积为___________.
【答案】
【分析】
设的外接圆圆心为，球心为，根据线面垂直关系先求出，再求出由余弦定理求出，由为球的半径，所以为直角三角形，用勾股定理及可求出球的半径，再由球的体积公式即可求解.
【详解】
由题设的外接圆圆心为，球心为，所以平面，因为⊥平面，所以与平行，因为,，所以,
因为，，由余弦定理可得
，所以，
所以球的半径，
所以球的体积为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查球体积的求法，球的内接问题，考查学生空间想象能力和计算能力.
变形三
规律总结：
①圆柱-------r,h自带
②直棱柱-------r:底面外接圆半径；h:直棱柱的高
③一根侧棱⊥底面的锥体-------r:底面外接圆半径；
h:垂直于底面的那条侧棱
④一个侧面⊥矩形底面的四棱锥-------r:垂直底面的侧面的外接圆半径；
h:垂直于那个侧面的底边长
小结：求r的几种方法：
①等边三角形：
②直角三角形：
③已知一组对边和对角的非特殊三角形：
例7．如图，在棱锥中，底面是正方形，，平面．在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）
A． B．
C．2 D．
【答案】D
【分析】
设球心为S，连接，、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，利用这五个棱锥的体积之和等于棱锥的体积，则球的最大半径可求.
【详解】
解：由平面，，又，，
所以平面，所以，，
设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连接，、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R．
四棱锥的体积，
四棱锥的表面积，
因为，所以．
故选：D.
【点睛】
考查利用等体积法求四棱锥内切球的半径，基础题.
模型二——补全立方体模型
类型一.正四面体：转化成正方体的外接球
方法：如图所示正四面体ABCD的外接球，
可转化为正方体的外接球.
例8．三棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上.若是等边三角形，平面平面，，则三棱锥体积的最大值为________.
【答案】3
【分析】
作图，设，则，，
，求出，根据图像得，底面三角形的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时，三棱锥的体积最大，进而求解可得答案
【详解】
根据可知，为三角形所在截面圆的直径，又平面平面，为等边三角形，所以在上，如图所示，设，则，，
，，
，，，
，当底面三角形的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时，三棱锥的体积最大，此时，
故答案为：3
【点睛】
关键点睛：解题关键是根据三角形的形状判断球心的位置，得出到平面的最大距离，难度属于中档题
类型二.有三个面是直角三角形的三棱锥：转化成正方体或长方体的外接球
例9：已知球的面上四点A、B、C、D，，，，则球的体积等于 .
解析：，则此长方体为正方体，所以长即为外接球的直径，利用直角三角形解出.故球的体积等于.（如图4）
类型三.有四个面是直角三角形的三棱锥：转化成正方体或长方体的外接球
例10.已知点A、B、C、D在同一个球面上，，，若，则球的体积是 .
解析：构造下面的长方体，于是为球的直径（如图5）
类型四.对棱相等的三棱锥：转化成长方体的外接球
例11．在三棱锥中，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，得球表面积．
【详解】
因为，所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，设长方体的长宽、高分别为a，b，c，则有整理得，则该棱锥外接球的半径，球．
故选：C．
【点睛】
本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是求出球的半径，方法是把球放在一个长方体中，三棱锥的各棱是长方体六个面上面对角线．
三 .确定球心位置法
例12．在四面体中，平面，，则该四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题目条件先确定出外接球的球心，得出外接球半径，然后计算表面积.
【详解】
因为平面，平面，所以，
又，，且平面，平面，
所以平面，所以.
因为，
所以，，，
根据该几何体的特点可知，该四面体的外接球球心位于的中点，
则外接球半径，
故该四面体的外接球的表面积为.
故选：C.
,
【点睛】
本题考查棱锥的外接球问题，难度一般，根据几何条件确定出球心是关键.
例13．张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家 文学家 数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，，若线段的最小值为，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（ ）
A．30 B． C． D．36
【答案】C
【分析】
设正方体的棱长为，正方体的内切球半径为，正方体的外接球半径，再已知条件和球的表面积公式可得选项.
【详解】
设正方体的棱长为，正方体的内切球半径为，
正方体的外接球半径满足：，则.
由题意知：，则，，
该正方体的外接球的表面积为，
又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即，所以，
所以外接球的表面积为.
故选：C.
【点睛】
本题考查正方体的外接球，内切球的相关计算，以及数学文化，属于中档题.
四．寻求轴截面圆半径法
例14．如图所示的三棱柱，其中，若，当四棱锥体积最大时，三棱柱外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
四棱锥体积是三棱柱体积的，因此要三棱柱体积，而棱柱的高最大值为，因此只要最大即可，此时三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，是斜边，因此其外接球球心是和的交点．由此可得外接球半径．
【详解】
∵，∴，∴只要三棱柱体积取最大值，则四棱锥体积最大，三棱柱的高最大值为，
∴此时，，当且仅当时等号成立，∴的最大值为2（此时），∴．连接交于点，设分别是的中点，则，且，从而平面，由知是的外心，∴是三棱柱外接球的球心，在正方形中，，∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查球的体积，考查三棱柱与其外接球，考查棱柱与棱锥的体积．本题难点有两个，一个是三棱柱体积最大时三棱柱中的线面位置关系，一个是外接球的球心位置．多面体的外接球球心一定在过各面外心的该面的垂线上．
例15．如图所示，在三棱锥中，面面，，，，则三棱锥的外接球的体积为______.
【答案】
【分析】
先确定底面等腰直角三角形的外接圆圆心是中点，则球心一定在面的垂线上，再利用是的外心列关系计算半径，即求得体积.
【详解】
如图，取中点，连接，
，，，且为的外心.
，是中点，，又面面，交线是，故面，则三棱锥的外接球的球心在上，
设为点，则点是的外心，即为球半径R. 中，，，故，
在中，，解得，
故球的体积为.
故答案为：.
【点睛】
求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据其到其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.本题就是采用这个方法.
走进高考
1．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国2卷）体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的表面积为，故选A.
【考点】 正方体的性质，球的表面积
【名师点睛】与棱长为的正方体相关的球有三个： 外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为、和.
2．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，
，则该球体积V的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径为，故选B.
考点：球及其性质.
3．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．
考点：外接球表面积和椎体的体积．
4．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.
【详解】
设圆半径为，球的半径为，依题意，
得，为等边三角形，
由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面，
，
球的表面积.
故选：A
【点睛】
本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
5．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．
详解：如图所示，
点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，
当平面时，三棱锥体积最大
此时，
,
点M为三角形ABC的中心
中，有
故选B.
点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．
6．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，
，则该球体积V的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径为，故选B.
考点：球及其性质.
7．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【解析】
【详解】
【分析】
由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，
截圆柱的平面过圆柱的轴线，
该几何体是一个半球拼接半个圆柱，
∴其表面积为： ，
又∵该几何体的表面积为16+20π，
∴ ，解得r=2，
本题选择B选项.
点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
8．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为______．
【答案】36π
【解析】
三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，
若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S ABC的体积为9，
可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，
可得 ，解得r=3.
球O的表面积为： .
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
长方体
正四面体
正方体
利用正弦定理！！！
图4
图5
几何体的外接球问题：题目中涉及几何体外接球体，或者球内接几何体，再或者说球面上有几个点围成几何体，这类题型称之为几何体的外接球问题。
几何体的外接球问题你通常会想到：
①画出球体、标明球心→②画出球的内接几何体→ ③寻找突破口建立方程。
这类题80%以上都不用画图，只需要2步搞定：
①识别模型→②代入公式，就可以轻松求出外接球半径R
常见几何体的外接球半径：
例1．已知正方体棱长为2，点是上底面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰为，则此时点构成的图形面积为________.
【答案】.
【分析】
设三棱锥的外接球为球，分别取、的中点、，先确定球心在线段和中点的连线上，先求出球的半径的值，然后利用勾股定理求出的值，于是得出，再利用勾股定理求出点在上底面轨迹圆的半径长，最后利用圆的面积公式可求出答案．
【详解】
如图所示，设三棱锥的外接球为球，
分别取、的中点、，则点在线段上，
由于正方体的棱长为2，
则的外接圆的半径为，
设球的半径为，则，解得.
所以，，
则
而点在上底面所形成的轨迹是以为圆心的圆，
由于，所以，
因此，点所构成的图形的面积为.
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球的相关问题，根据立体几何中的线段关系求动点的轨迹，属于中档题.
例2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
A．10 B．20 C．24 D．32
【答案】C
【分析】
各顶点都在一个球面上的正四棱柱，棱柱的体对角线即为球的直径，再由球表面积公式即可求解.
【详解】
因为正四棱柱高为4，体积为16，
所以正四棱柱的底面积为，正四棱柱的底面的边长为，
正四棱柱的底面的对角线为，
正四棱柱的对角线为，而球的直径等于正四棱柱的对角线，
即，,
故选：C
例3．在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球体积为______.
【答案】
【分析】
由直棱柱的特点可知，外接球球心位于上下底面外心连线的中点处，先通过解三角形得出底面的外接圆半径，然后求出外接球半径，得出外接球的体积.
【详解】
在中，由余弦定理得，得.
所以的外接圆半径.
所以该三棱柱的外接球半径.
所以外接球体积.
故答案为：.
【点睛】
本题考查直棱柱的外接球半径计算，考查球的体积计算公式，难度一般，找出球心，解出半径是关键.
模型一——圆柱外接球模型
一个底面半径为r，高为h的圆柱，求它的外接球半径.
变形一：
如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如右图所示：
我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型。
在这里棱柱的高就是公式中的h，
而棱柱底面外接圆的半径则是公式中的r
例4，一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为acm，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知得正方体的体对角线就是正方体的外接球的直径，求得外接球的半径，再由球的表面积公式可得选项.
【详解】
如图所示，正方体的体对角线就是正方体的外接球的直径，设正方体的外接球为R，则，解得，
所以外接球的表面积为，
故选：A.
【点睛】
本题考查正方体的外接球的表面积，关键在于求出球的半径，属于基础题.
例5．在直三棱柱中，，，，若该三棱柱的外接球表面积为，则三棱柱的高为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】
利用余弦定理求得，利用正弦定理求得三角形外接圆半径，由此求得外接球半径的表达式，利用外接球的表面积列方程，解方程求得三棱柱的高.
【详解】
在中，，得.
所以的外接圆半径.
设该三棱柱的高为，
则该三棱柱的外接球半径.
所以外接球表面积.解得
故选：C
【点睛】
本小题主要考查几何体外接球的有关计算，考查运算求解能力.
变形二：
如果把上面的那个三棱柱上面的B1,C1两点去掉我们将得到右图三棱锥：
例6．已知A B C D为同一球面上的四个点.在△ABC中，，；AD=6，⊥平面，则该球的体积为___________.
【答案】
【分析】
设的外接圆圆心为，球心为，根据线面垂直关系先求出，再求出由余弦定理求出，由为球的半径，所以为直角三角形，用勾股定理及可求出球的半径，再由球的体积公式即可求解.
【详解】
由题设的外接圆圆心为，球心为，所以平面，因为⊥平面，所以与平行，因为,，所以,
因为，，由余弦定理可得
，所以，
所以球的半径，
所以球的体积为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查球体积的求法，球的内接问题，考查学生空间想象能力和计算能力.
变形三
规律总结：
①圆柱-------r,h自带
②直棱柱-------r:底面外接圆半径；h:直棱柱的高
③一根侧棱⊥底面的锥体-------r:底面外接圆半径；
h:垂直于底面的那条侧棱
④一个侧面⊥矩形底面的四棱锥-------r:垂直底面的侧面的外接圆半径；
h:垂直于那个侧面的底边长
小结：求r的几种方法：
①等边三角形：
②直角三角形：
③已知一组对边和对角的非特殊三角形：
例7．如图，在棱锥中，底面是正方形，，平面．在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）
A． B．
C．2 D．
【答案】D
【分析】
设球心为S，连接，、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，利用这五个棱锥的体积之和等于棱锥的体积，则球的最大半径可求.
【详解】
解：由平面，，又，，
所以平面，所以，，
设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连接，、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R．
四棱锥的体积，
四棱锥的表面积，
因为，所以．
故选：D.
【点睛】
考查利用等体积法求四棱锥内切球的半径，基础题.
模型二——补全立方体模型
类型一.正四面体：转化成正方体的外接球
方法：如图所示正四面体ABCD的外接球，
可转化为正方体的外接球.
例8．三棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上.若是等边三角形，平面平面，，则三棱锥体积的最大值为________.
【答案】3
【分析】
作图，设，则，，
，求出，根据图像得，底面三角形的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时，三棱锥的体积最大，进而求解可得答案
【详解】
根据可知，为三角形所在截面圆的直径，又平面平面，为等边三角形，所以在上，如图所示，设，则，，
，，
，，，
，当底面三角形的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时，三棱锥的体积最大，此时，
故答案为：3
【点睛】
关键点睛：解题关键是根据三角形的形状判断球心的位置，得出到平面的最大距离，难度属于中档题
类型二.有三个面是直角三角形的三棱锥：转化成正方体或长方体的外接球
例9：已知球的面上四点A、B、C、D，，，，则球的体积等于 .
解析：，则此长方体为正方体，所以长即为外接球的直径，利用直角三角形解出.故球的体积等于.（如图4）
类型三.有四个面是直角三角形的三棱锥：转化成正方体或长方体的外接球
例10.已知点A、B、C、D在同一个球面上，，，若，则球的体积是 .
解析：构造下面的长方体，于是为球的直径（如图5）
类型四.对棱相等的三棱锥：转化成长方体的外接球
例11．在三棱锥中，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，得球表面积．
【详解】
因为，所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，设长方体的长宽、高分别为a，b，c，则有整理得，则该棱锥外接球的半径，球．
故选：C．
【点睛】
本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是求出球的半径，方法是把球放在一个长方体中，三棱锥的各棱是长方体六个面上面对角线．
三 .确定球心位置法
例12．在四面体中，平面，，则该四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题目条件先确定出外接球的球心，得出外接球半径，然后计算表面积.
【详解】
因为平面，平面，所以，
又，，且平面，平面，
所以平面，所以.
因为，
所以，，，
根据该几何体的特点可知，该四面体的外接球球心位于的中点，
则外接球半径，
故该四面体的外接球的表面积为.
故选：C.
,
【点睛】
本题考查棱锥的外接球问题，难度一般，根据几何条件确定出球心是关键.
例13．张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家 文学家 数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，，若线段的最小值为，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（ ）
A．30 B． C． D．36
【答案】C
【分析】
设正方体的棱长为，正方体的内切球半径为，正方体的外接球半径，再已知条件和球的表面积公式可得选项.
【详解】
设正方体的棱长为，正方体的内切球半径为，
正方体的外接球半径满足：，则.
由题意知：，则，，
该正方体的外接球的表面积为，
又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即，所以，
所以外接球的表面积为.
故选：C.
【点睛】
本题考查正方体的外接球，内切球的相关计算，以及数学文化，属于中档题.
四．寻求轴截面圆半径法
例14．如图所示的三棱柱，其中，若，当四棱锥体积最大时，三棱柱外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
四棱锥体积是三棱柱体积的，因此要三棱柱体积，而棱柱的高最大值为，因此只要最大即可，此时三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，是斜边，因此其外接球球心是和的交点．由此可得外接球半径．
【详解】
∵，∴，∴只要三棱柱体积取最大值，则四棱锥体积最大，三棱柱的高最大值为，
∴此时，，当且仅当时等号成立，∴的最大值为2（此时），∴．连接交于点，设分别是的中点，则，且，从而平面，由知是的外心，∴是三棱柱外接球的球心，在正方形中，，∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查球的体积，考查三棱柱与其外接球，考查棱柱与棱锥的体积．本题难点有两个，一个是三棱柱体积最大时三棱柱中的线面位置关系，一个是外接球的球心位置．多面体的外接球球心一定在过各面外心的该面的垂线上．
例15．如图所示，在三棱锥中，面面，，，，则三棱锥的外接球的体积为______.
【答案】
【分析】
先确定底面等腰直角三角形的外接圆圆心是中点，则球心一定在面的垂线上，再利用是的外心列关系计算半径，即求得体积.
【详解】
如图，取中点，连接，
，，，且为的外心.
，是中点，，又面面，交线是，故面，则三棱锥的外接球的球心在上，
设为点，则点是的外心，即为球半径R. 中，，，故，
在中，，解得，
故球的体积为.
故答案为：.
【点睛】
求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据其到其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.本题就是采用这个方法.
走进高考
1．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国2卷）体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以该球的表面积为，故选A.
【考点】 正方体的性质，球的表面积
【名师点睛】与棱长为的正方体相关的球有三个： 外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为、和.
2．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，
，则该球体积V的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径为，故选B.
考点：球及其性质.
3．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．
考点：外接球表面积和椎体的体积．
4．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.
【详解】
设圆半径为，球的半径为，依题意，
得，为等边三角形，
由正弦定理可得，
，根据球的截面性质平面，
，
球的表面积.
故选：A
【点睛】
本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
5．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．
详解：如图所示，
点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，
当平面时，三棱锥体积最大
此时，
,
点M为三角形ABC的中心
中，有
故选B.
点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．
6．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，
，则该球体积V的最大值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径为，故选B.
考点：球及其性质.
7．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【解析】
【详解】
【分析】
由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，
截圆柱的平面过圆柱的轴线，
该几何体是一个半球拼接半个圆柱，
∴其表面积为： ，
又∵该几何体的表面积为16+20π，
∴ ，解得r=2，
本题选择B选项.
点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
8．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为______．
【答案】36π
【解析】
三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，
若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S ABC的体积为9，
可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，
可得 ，解得r=3.
球O的表面积为： .
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
长方体
正四面体
正方体
利用正弦定理！！！
图4
图5
同课章节目录