5.6函数y=Asin(ωx+φ)课件（共23页ppt）

(共23张PPT)
5.6函数y=Asin(ωx+φ)
人教A(2019)版
必修一
新知导入
复习巩固
1、正、余弦函数图像
正弦曲线
x
o
1
-1
-2
-

2
3
4
余弦曲线
2、五点做图法：
正弦五点：
余弦五点：
周期性
奇偶性
对称性
3、三角函数的性质
单调性
筒车是我国古代发明一个水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产得到使用，明朝科学家徐光启在《农政全书》用图画描绘了筒车的工作原理。
新知导入
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个水筒都做匀速圆周运动，你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？
如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经
过tｓ后，盛水筒M 从点P0运动到点P．由筒车
的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度
H，由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水
面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度
ω，盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间t．
新知导入
以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立直角坐标系．设t=0时，盛水筒M 位于点P0，以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，经过tｓ后运动到点P(x,y)． 于是，以Ox为始边，OP为终边的角为ωx＋φ，并且有
y＝rsin(ωx＋φ)
所以，盛水筒M 距离水面的高度H与时间t的关系是
H＝rsin(ωx＋φ）＋h
新知导入
由于h是常量，所我们只需要研究 的性质
如果动点M以Q0为起点(此时φ=0)，经过xｓ后运动到点P，那么点P的纵坐标
y就等于sinx．以 (x，y)为坐标描点，可得正弦函数y＝sinx的图象
P
-
-
-1
1
-
如下图，取A=1，ω=1，动点M 在单位圆O1上以单位角速度按逆时针方向运动
新知讲解
一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为φ时，对应的函数是y＝sin(x＋φ） （φ≠０），把正弦曲线上的所有点向左 （当φ＞０时）或向右 （当φ＜０时）平移｜φ｜个单位长度，就得到函数y＝sin(x＋φ）的图象
通过数学实验来探索．如图，取圆的半径r＝１．为了研究方便，不
妨令φ＝ ．当ω＝１时得到y=sin(x＋ )的图象．
P
新知讲解
新知讲解
不妨令ω＝２，φ＝
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)（A＞０，ω＞０）的图象，可以用下面的方法得到：先画出函数y＝sinx的图象；再把正弦曲线向左 （或右）平移｜φ｜个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的ω１倍（纵坐标不变），得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
新知讲解
新知讲解
合作探究
例1、 画出函数y＝2sin(３x－ )的简图．
解：先画出函数y＝sinx的图象；再把正弦曲线向右平移 个单位长度，得到函数y＝sin(x－ )的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 倍，得到函数y＝sin(3x－ ）的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的２倍，这时的曲线就是函数y＝2sin(3x－ )的图象，如图所示．
例2、 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120ｍ，转盘直径为110ｍ，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hｍ，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
(2)求游客甲在开始转动５min后距离地面的高度；
(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：ｍ）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值 （精确到0.1）
合作探究
合作探究
解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点犘， 以轴心犗为原点，与地面平行的直线为狓轴建立直角坐标系．
(1)设t＝0min时，游客甲位于点P(0，-55)，以OP为终边的角为 ；根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约为 rad／min，由题意可得
H＝55sin( t )＋65，０≤t≤30．
合作探究
(2)当t＝５时，
H＝55sin( ×5 )＋65=37.5
所以，游客甲在开始转动５min后距离地面的高度约为37.5ｍ．
(3)如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，则∠AOB＝ ＝ ．经过tmin后甲距离地面的高度为H1＝55sin( t－ )＋65，点B相对于点A始终落后 rad，此时乙距离地面的高度为H2＝55sin( t－ )＋65．则甲、乙距离地面的高度差
利用sinθ＋sinφ＝2sin cos ，可得
h＝110|sin sin( t－ )|，0≤t≤30．
当 t－ ＝ （或 ），即t≈7.8（或22.8）时，h的最大值为110sin ≈7.2． 所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2ｍ．
合作探究
课堂练习
1、如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点B开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系式y＝Asin（ωx＋φ）＋2，则有（ 　　）
解：由1 min旋转4圈，则转1圈的时间为 ，则
又由图可知，A＝3．故选A．
A
2、函数f （x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，
）的一段图象过点（0，1），如图所示
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，得函数y＝g（x）的图象，
求y＝g（x）的最大值，并求出此时自变量x的集合．
解：（1）由图知，T＝π，于是
将y＝Asin2x的图象向左平移 ，得
∴
将（0，1）代入 ，得A＝2，
故
课堂练习
（2）依题意，
当 ，即 ，
此时x的值集合为
课堂总结
1、函数y＝Asin（ωx＋φ）表达式中参数A、ω、φ的实际意义；
2、参数A、ω、φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响；
3、在图象中与参数A、ω、φ有关的因素及其值的确定；
4、确定函数y＝Asin（ωx＋φ）表达式的策略与步骤；
板书设计
确定函数y＝Asin（ωx＋φ）表达式的策略与步骤；
若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)一般可由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.　
(2)因为T＝ ，所以往往通过求周期T来确定ω，可以通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为 ；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)从寻找“五点法”中的第一个“零点” 作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”的位置来确定φ.　
作业布置
1、已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<
的部分图象如图所示，求f(x)解析式。
2、函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）(ω＞0，　 )
的部分图象如图所示，求ω、φ的值.
3、课本P2405、7
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