达州市 2021年普通高中一年级秋季期末监测
数学参考答案
一、选择题:
1.D 2.A 3.B 4.C 5.A 6.C 7.B 8.B 9.D 10.D 11.B 12.C
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
e2 + 2e +1
13. 1 14. 15. 16. (- , ]
e2 1
6
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9 16
17.解:(1)原式 1 .
16 9
1 1
(2)原式 lg(8 5
3 lg103 3.
3 3
2
1 T = 4
18.解:(1)由函数 f (x) sin( x ) 知 f (x) 的最小正周期 1 .
2 4
2
1
令 x k , k Z 得 x 2k , k Z.
2 4 2 2
故 f (x) 的对称轴方程为 x 2k , k Z .
2
1
(2)令2k ≤ x ≤ 2k , k Z ,
2 2 4 2
得 4k ≤ x≤4k , k Z.
2 2
故 f (x) 的单调递增区间为[4k ,4k ], k Z .
2 2
19.解:(1)由函数 (f x) Asin( x )(A 0 , 0,0 )的最大值为 2 得
A 2.又由其图象经过点C(0,2),得 .
2
∵图象上相邻的最高点C 与最低点 B 的距离为 16 2 ,
T
∴ ,即T 2π,∴ 1,所以 f x 2sin(x ),即 f (x) 2cos x .
2 2
(2)由函数 g(x) sin2 x f (x)得 g(x) 1 cos2 x 2cos x,
π 3π 1
即 g(x) (cos x 1)2 2.由 ≤ x≤ ,得 1≤ cos x≤ ,
3 2 2
1 1
∴ ≤ g(x)≤2,故 g x 的值域为[ ,2].
4 4
ex a
20.解:(1)∵函数 f (x) 为定义在(- ,0)(0,+ )上的奇函数,
ex 1
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∴ f ( x) f (x)在(- ,0)(0,+ )上恒成立,
e x a ex a
∴ 在(- ,0)(0,+ )上恒成立,
e x 1 ex 1
∴ (1 a)e x 2a (a 1)ex 2恒成立,
则 (1 a)(e x ex ) 2(1 a)恒成立, 解得 a 1.
x
(2) 由(1)知 g(x) f (x)(e 1)
2 x e2x 1 x ,
则 g(x) e2x 1 x, x (0,+ )是增函数.
下面用单调性的定义证明这个结论.
设0 x1 x2 ,则 x1 x2 0,
2x 2x
e 1 e 2 0,
g(x 2x∴ 1
2x2 2x1 2x2
1) g(x2) (e 1 x1) (e 1 x2) (e e ) (x1 x2) 0
∴ g(x1) g(x2),
所以 g(x) e2x 1 x在区间(0,+ )上是增函数.
1 1
21.解:(1) ∵ sin cos 0 ,∴ sin cos ,
5 5
2 1
平方得 sin 2sin cos cos
2 ,
25
12
∵sin2 cos2 1,∴ sin cos .
25
1 2sin cos (sin cos )2 sin cos
(2)原式 ,
sin2 cos2 sin2 cos2 sin cos
12
∵ sin cos ,
25
49
∴ (sin cos )2 sin2 2sin cos cos2 1 2sin cos ,
25
12
由 sin cos 0, [0, ]知sin 0,cos 0,
25
7 1 2sin( )sin( )
∴ sin cos ,故 2 7 .
5 sin2 cos2
x 3a 0,
22.解:(1)由题意得 ∴ x 3a,且 x 2 a.
x a 2 0.
1
当3a≥2 a,即 a≥ 且a 1时, x 3a .
2
1
当3a 2 a,即0 a 时, x 2 a.
2
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1
所以,当 a≥ 且a 1时,函数 f (x)的定义域为 (3a, ) ;
2
1
当0 a 时,函数 f (x)的定义域为 (2 a, ).
2
(2)由 f (x) loga (x 3a) loga (x a 2) 得
f (x) log 2a[(x a 1) (2a 1)
2].
1 5 5
当0 a 时,由条件得 f (a 1 ) 2,且a 1 2 a,
2 4 4
5 1 5
∴ loga[ (2a 1)
2 ] 2,且 a .
16 2 8
5 11 1
∴ (2a 1)
2 a2. 解得 a (舍),或 a .
16 20 4
1 5 5
当 ≤a 1时,由条件得 f (a 1 ) 2,且a 1 3a,
2 4 4
5 2 1 5
∴ loga[ (2a 1) ] 2,且 a .
16 2 8
1 11
解得 a (舍),或 a .
4 20
5 1 5
当a 1时,由条件得 a 1 3a,即 a ,(舍).
4 2 8
1 11
综上所述, a 的值为 或 .
4 20
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数学试题
注意事项:
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答
题卡上,写在本试卷无效.
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 12小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项
中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A {2,3,4},B {x |1 x≤5},则 A B
A. (1,5] B.[2,4] C.{2,3} D.{2,3,4}
2.下列函数中,与函数 y |x|相等的是
2 x
2
A. y x B. y ( 3 x)3 C. y ( 4 x)4 D. y
x
3.已知角 的顶点与原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合, sin 0,tan 0,
则角 为
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
4.已知角 的顶点与原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,角 的终边上一点
坐标为 (3, 4),则角 的余弦值为
3 4 3 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
1
7 1
5.已知 a log ,b ( )33 , c log1 6,则 a ,b , c 的大小关系是
2 4
3
A.a b c B.b a c C.c b a D.c a b
6.已知 n2 是函数 f (x) x (8 n为常数)的零点,且 f (m) 56,则m 的值为
A. 3 B. 4 C. 4 D.3
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4ln |x|
7.函数 y 的图象大致为
2x 2 x
y y
O
- x -1 1 1 1 x
O
A. B.
y y
-1 O 1
O 1 x -1 x
C. D.
2 y
8.点M (x,y)在函数 y 2x 4的图象上,当 x [2,5]时, 的取值范围是
x 1
7 8 8 10 5 16 5 8
A.[ , ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ , ]
3 3 3 3 3 3 3 3
9.已知函数 f (x) sin(2x ), g(x) cos(2x ) ,下列说法正确的是
4 4
π
A.曲线 y f (x)向左平移 个单位长度得到曲线 y g(x)
4
π
B.曲线 y f (x)向右平移 个单位长度得到曲线 y g(x)
4
C.曲线 y f (x)与曲线 y g(x)关于 y 轴对称
D.曲线 y f (x)与曲线 y g(x)关于 x 轴对称
10.已知D ,E 分别是△ABC 的边BC和 AC 的中点,若 AD a,AC b ,则 BE
1 1 1 3 3
A. b a B. b a C.2b a D. b 2a
2 2 3 2 2
11.若定义在R 上的偶函数 f (x)在区间 (0, )上单调递减,且 f (4) 0,则满足
xf (x)≤0的 x 的取值范围为
A. [ 4,0) [4, ) B.[ 4,0] [4, )
C. ( , 4] (0,4] D.[ 4,4]
e|x|,x≤2,
12.已知函数 f (x) 若方程 f (x) a 0有四个不相等的实数根 x1,
f (4 x),x 2.
x2 , x3 , x4 ,且 x1 x2 x3 x4 ,则 x1 2x2 3x3 4x4 的取值范围为
A. (20,26) B. (24,28) C. (28,32) D. (30,36)
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二、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分.
13.已知向量a = (2, 2),b = (x,1), b = a ,则 x =___________.
14.已知在⊙O中,弧度数为 的圆心角所对的弦长为 2 2 ,则这个圆心角所对
2
弧的弧长是___________.
π
15.已知函数 f (x) 1 sin2 x sin x(0≤ x≤ ),当 x 时, f (x)取
2
得最大值.
e2x 1 ex 1
16.若对任意的 x (0,1],都有 m
e2x x
成立,则实数m 的取值范围是
1 e 1
___________.
三、解答题:共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10 分)
求下列各式的值:
2
1 0 2 4 2 10
(1) ( ) (3 ) ( ) ( 2 ) 3 ;
2 3 27
1
( ) log2 32 lg8 3lg5 ( ) ln 3 e .
2
18.(12 分)
1 π
已知函数 f (x) sin( x ) .
2 4
(1)求函数 f (x)的最小正周期及对称轴方程;
(2)求函数 f (x)的单调递增区间.
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19.(12 分)
已知函数 f (x) Asin( x ) (A 0, 0,0 π)的最大值为 2,函数 f (x)
的图象经过点C(0,2),点C 与它相邻的一个最低点 B 的 y
C
距离为 16 2 ,如图所示.
(1)求函数 f (x)的解析式;
π 3π O x
(2)若函数 g(x) sin2 x f (x),当 ≤ x≤ 时,
3 2
求函数 g(x)的值域. B
20.(12 分)
ex a
已知函数 f (x) 为定义在 ( ,0) (0, )上的奇函数.
ex 1
(1)求实数 a 的值;
( )g(x) f (x)(ex 1)22 x (x (0, )),判断 g(x) 的单调性,并用单调性定
义证明.
21.(12 分)
1
已知 sin cos 0 , [0,π].
5
(1)求sin cos 的值;
π
1 2sin(π )sin( )
(2)求 2 的值.
sin2 cos2
22.(12 分)
已知函数 f (x) loga (x 3a) loga (x a 2)(a 0,且 a 1).
(1)求函数 f (x)的定义域;
5
(2)当 a 1 ≤ x≤a 1 13时,函数 f (x)的最大值为 2 ,求实数 a 的
4
值. O
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