达州市 2021年普通高中一年级秋季期末监测
数学参考答案
一、选择题：
1.D 2.A 3.B 4.C 5.A 6.C 7.B 8.B 9.D 10.D 11.B 12.C
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
e2 + 2e +1
13. 1 14. 15. 16. (- ， ]
e2 1
6
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9 16
17.解：(1)原式 1 .
16 9
1 1
(2)原式 lg(8 5
3 lg103 3.
3 3
2
1 T = 4
18.解：(1)由函数 f (x) sin( x ) 知 f (x) 的最小正周期 1 ．
2 4
2
1
令 x k ， k Z 得 x 2k ， k Z．
2 4 2 2
故 f (x) 的对称轴方程为 x 2k ， k Z .
2
1
(2)令2k ≤ x ≤ 2k ， k Z ，
2 2 4 2
得 4k ≤ x≤4k ， k Z．
2 2
故 f (x) 的单调递增区间为[4k ,4k ]， k Z .
2 2
19.解：(1)由函数 （f x） Asin( x )(A 0 ， 0，0 )的最大值为 2 得
A 2．又由其图象经过点C(0，2)，得 ．
2
∵图象上相邻的最高点C 与最低点 B 的距离为 16 2 ，
T
∴ ，即T 2π，∴ 1，所以 f x 2sin(x )，即 f (x) 2cos x .
2 2
(2)由函数 g(x) sin2 x f (x)得 g(x) 1 cos2 x 2cos x，
π 3π 1
即 g(x) (cos x 1)2 2．由 ≤ x≤ ，得 1≤ cos x≤ ，
3 2 2
1 1
∴ ≤ g(x)≤2，故 g x 的值域为[ ，2].
4 4
ex a
20.解：(1)∵函数 f (x) 为定义在（- ，0）（0，+ ）上的奇函数，
ex 1
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∴ f ( x) f (x)在（- ，0）（0，+ ）上恒成立，
e x a ex a
∴ 在（- ，0）（0，+ ）上恒成立，
e x 1 ex 1
∴ (1 a)e x 2a (a 1)ex 2恒成立，
则 (1 a)(e x ex ) 2(1 a)恒成立， 解得 a 1.
x
(2) 由(1)知 g(x) f (x)(e 1)
2 x e2x 1 x ，
则 g(x) e2x 1 x， x （0，+ ）是增函数．
下面用单调性的定义证明这个结论．
设0 x1 x2 ，则 x1 x2 0，
2x 2x
e 1 e 2 0，
g(x 2x∴ 1
2x2 2x1 2x2
1) g(x2) (e 1 x1) (e 1 x2) (e e ) (x1 x2) 0
∴ g(x1) g(x2)，
所以 g(x) e2x 1 x在区间（0，+ ）上是增函数．
1 1
21.解：(1) ∵ sin cos 0 ，∴ sin cos ，
5 5
2 1
平方得 sin 2sin cos cos
2 ，
25
12
∵sin2 cos2 1，∴ sin cos .
25
1 2sin cos (sin cos )2 sin cos
(2)原式 ，
sin2 cos2 sin2 cos2 sin cos
12
∵ sin cos ，
25
49
∴ (sin cos )2 sin2 2sin cos cos2 1 2sin cos ，
25
12
由 sin cos 0， [0， ]知sin 0，cos 0，
25
7 1 2sin( )sin( )
∴ sin cos ，故 2 7 .
5 sin2 cos2
x 3a 0,
22.解：(1)由题意得 ∴ x 3a，且 x 2 a．
x a 2 0.
1
当3a≥2 a，即 a≥ 且a 1时， x 3a ．
2
1
当3a 2 a，即0 a 时， x 2 a．
2
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1
所以，当 a≥ 且a 1时，函数 f (x)的定义域为 (3a， ) ；
2
1
当0 a 时，函数 f (x)的定义域为 (2 a， )．
2
(2)由 f (x) loga (x 3a) loga (x a 2) 得
f (x) log 2a[(x a 1) (2a 1)
2]．
1 5 5
当0 a 时，由条件得 f (a 1 ) 2，且a 1 2 a，
2 4 4
5 1 5
∴ loga[ (2a 1)
2 ] 2，且 a ．
16 2 8
5 11 1
∴ (2a 1)
2 a2． 解得 a （舍），或 a ．
16 20 4
1 5 5
当 ≤a 1时，由条件得 f (a 1 ) 2，且a 1 3a，
2 4 4
5 2 1 5
∴ loga[ (2a 1) ] 2，且 a ．
16 2 8
1 11
解得 a （舍），或 a ．
4 20
5 1 5
当a 1时，由条件得 a 1 3a，即 a ，（舍）．
4 2 8
1 11
综上所述， a 的值为 或 ．
4 20
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数学试题
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答
题卡上，写在本试卷无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A {2，3，4}，B {x |1 x≤5}，则 A B
A． (1,5] B．[2,4] C．{2,3} D．{2,3,4}
2．下列函数中，与函数 y |x|相等的是
2 x
2
A． y x B． y ( 3 x)3 C． y ( 4 x)4 D． y
x
3．已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合， sin 0，tan 0，
则角 为
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
4．已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，角 的终边上一点
坐标为 (3, 4)，则角 的余弦值为
3 4 3 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
1
7 1
5．已知 a log ，b （ ）33 ， c log1 6，则 a ，b ， c 的大小关系是
2 4
3
A．a b c B．b a c C．c b a D．c a b
6．已知 n2 是函数 f (x) x （8 n为常数）的零点，且 f (m) 56，则m 的值为
A． 3 B． 4 C． 4 D．3
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4ln |x|
7．函数 y 的图象大致为
2x 2 x
y y
O
- x -1 1 1 1 x
O
A． B．
y y
-1 O 1
O 1 x -1 x
C． D．
2 y
8．点M (x，y)在函数 y 2x 4的图象上，当 x [2，5]时， 的取值范围是
x 1
7 8 8 10 5 16 5 8
A．[ , ] B．[ , ] C．[ , ] D．[ , ]
3 3 3 3 3 3 3 3
9．已知函数 f (x) sin(2x )， g(x) cos(2x ) ，下列说法正确的是
4 4
π
A．曲线 y f (x)向左平移 个单位长度得到曲线 y g(x)
4
π
B．曲线 y f (x)向右平移 个单位长度得到曲线 y g(x)
4
C．曲线 y f (x)与曲线 y g(x)关于 y 轴对称
D．曲线 y f (x)与曲线 y g(x)关于 x 轴对称
10．已知D ，E 分别是△ABC 的边BC和 AC 的中点，若 AD a，AC b ，则 BE
1 1 1 3 3
A． b a B． b a C．2b a D． b 2a
2 2 3 2 2
11．若定义在R 上的偶函数 f (x)在区间 (0, )上单调递减，且 f (4) 0，则满足
xf (x)≤0的 x 的取值范围为
A． [ 4,0) [4, ) B．[ 4,0] [4, )
C． ( , 4] (0,4] D．[ 4,4]
e|x|,x≤2,
12．已知函数 f (x) 若方程 f (x) a 0有四个不相等的实数根 x1，
f (4 x),x 2.
x2 ， x3 ， x4 ，且 x1 x2 x3 x4 ，则 x1 2x2 3x3 4x4 的取值范围为
A． (20,26) B． (24,28) C． (28,32) D． (30,36)
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二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13．已知向量a = (2, 2)，b = (x,1)， b = a ，则 x =___________.
14．已知在⊙O中，弧度数为 的圆心角所对的弦长为 2 2 ，则这个圆心角所对
2
弧的弧长是___________.
π
15．已知函数 f (x) 1 sin2 x sin x(0≤ x≤ )，当 x 时， f (x)取
2
得最大值.
e2x 1 ex 1
16．若对任意的 x (0，1]，都有 m
e2x x
成立，则实数m 的取值范围是
1 e 1
___________.
三、解答题：共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10 分)
求下列各式的值：
2
1 0 2 4 2 10
（1） ( ) (3 ) ( ) ( 2 ) 3 ；
2 3 27
1
（ ） log2 32 lg8 3lg5 ( ) ln 3 e .
2
18．(12 分)
1 π
已知函数 f (x) sin( x ) .
2 4
（1）求函数 f (x)的最小正周期及对称轴方程；
（2）求函数 f (x)的单调递增区间.
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19．(12 分)
已知函数 f (x) Asin( x ) (A 0, 0,0 π)的最大值为 2，函数 f (x)
的图象经过点C(0，2)，点C 与它相邻的一个最低点 B 的 y
C
距离为 16 2 ，如图所示.
（1）求函数 f (x)的解析式；
π 3π O x
（2）若函数 g(x) sin2 x f (x)，当 ≤ x≤ 时，
3 2
求函数 g(x)的值域. B
20．(12 分)
ex a
已知函数 f (x) 为定义在 ( ,0) (0, )上的奇函数.
ex 1
（1）求实数 a 的值；
（ ）g(x) f (x)(ex 1)22 x (x (0, ))，判断 g(x) 的单调性，并用单调性定
义证明.
21．(12 分)
1
已知 sin cos 0 ， [0,π]．
5
（1）求sin cos 的值；
π
1 2sin(π )sin( )
（2）求 2 的值.
sin2 cos2
22．(12 分)
已知函数 f (x) loga (x 3a) loga (x a 2)(a 0，且 a 1)．
（1）求函数 f (x)的定义域；
5
（2）当 a 1 ≤ x≤a 1 13时，函数 f (x)的最大值为 2 ，求实数 a 的
4
值. O
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