2.2 基本不等式 教学设计（表格式）

基础教育精品课
教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 高一 学期 秋季
课题 基本不等式
教科书 书 名：普通高中教科书 数学必修第一册 （A版） 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月
教学目标
1. 了解基本不等式的证明过程. 2. 能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 3. 会用基本不等式解决（生活中的）简单的最大(小)值问题.
教学内容
教学重点： 1. 基本不等式公式的证明以及应用.
2. 会用基本不等式解决（生活中的）简单的最大(小)值问题.
教学难点： 1. 基本不等式的各种变形。
2. 怎样解决（生活中的）简单的最大(小)值问题。
教学过程
引入：由课本中国古代数学家赵爽设计的弦图（或完全平方公式），我们得到了一类重要不等式： 当且仅当时，等号成立. 推出公式：特别的，如果，我们用分别代替上式中的，可得： 当且仅当时，等号成立. 通常称（，当且仅当时，等号成立）为基本不等式. 其中叫做正数的算数平均数，叫做正数的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数. 基本不等式利用不等式的性质证明：下面用本章第一节不等式的性质证明基本不等式： 要证： 即证： 即证： 即证： 即证： 即证： 显然上式成立，当且仅当时，等号成立. 探究基本不等式的几何意义：如图，是圆的直径，点是上一点，，过点作垂直于的弦，连接，你能否利用这个图形，得到基本不等式的几何解释？ 如图，可证，因而，由于小于或等于圆的半径，用不等式表示为： 显然，当且仅当点与圆心重合，即当时，上述不等式的等号成立. 分析法的一个应用 若，证明： 基本不等式的应用： 例1 已知，求的最小值. 基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具 例2 （1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ （2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 得出（证明）一般结论 已知都是正数，求证： 如果积等于定值，那么当时，和有最小值； 如果和等于定值，那么当时，积有最大值. 等周问题的拓展 等周的多边形中，正多边形面积大；等周的正多边形中，边越多面积越大，通俗地说，面积要大，边数就要多，就变成了“正无穷边形”，那么它是什么？它正是一个圆。 苏步青教授认为：等周问题时人类理性文明中，既精要又美妙的一个古典几何问题，是数学教授理想的进修课题。等周定理能启迪我们不断提出问题，波利亚说，等周的根深扎于我们的经验直觉之中，它是灵感的不竭源泉。 基本不等式综合应用 例4 某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其容积为，深为，如果池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 归纳总结 基本不等式的概念以及积定和有最小值，和定积有最大值
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。