(共20张PPT)
§1 生活中的变量关系
§2 对函数的进一步认识
2.1 函数概念
生活中的变量关系
1.依赖关系
在某变化过程中有两个变量,如果其中一个变量的值发生了变化,另一个变量的
值也会随之发生变化,那么就称这两个变量具有依赖关系.
2.函数关系
当变量x每取一个值,另一个变量y总有唯一确定的值与之对应时,变量x,y之间具
有函数关系,并且y是x的函数.要确定变量的函数关系,需先分清谁是自变量,谁是
因变量.
3.依赖关系与函数关系的关系
函数关系一定是依赖关系,而依赖关系不一定是函数关系.
函数的有关概念
1.函数的概念
函数的定义 给定两个① 非空数集 A和B,如果按照某个对应关系f,对于集合A中的② 任何 一个数x,在集合B中都存在③ 唯一确定 的数f(x)与之对应,那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数
函数的记法 f:A→B,或y=f(x),x∈A
定义域 x叫作自变量,集合A叫作函数的定义域
值域 函数值的集合④ {f(x)|x∈A} 叫作函数的值域
2.函数相等
如果两个函数的⑤ 定义域 相同,并且⑥ 对应关系 完全一致,我们就称这
两个函数相等.
区间的概念及表示
1.一般区间的表示
设a,b是两个实数,而且a
定义 名称 符号 几何表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 ⑦ [a,b]
{x|a≤x{x|a{x|a定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x符号 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a)
2.特殊区间的表示
抽象函数与复合函数
1.抽象函数的概念
把没有给出具体解析式的函数,称为抽象函数.
2.复合函数的概念
(1)如果函数y=f(t)的定义域为A,函数t=g(x)的定义域为D,值域为C,则当C A时,称
函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数,其中t叫作中间变量,t=g(x)叫作内层函
数,y=f(t)叫作外层函数.
(2)复合函数的定义域是由外层函数的定义域、内层函数的定义域和值域共同决
定的,如f(x)= ,g(x)= ,则f(g(x))的定义域为(0,+∞).
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.变量与变量间的依赖关系即函数关系. ( )
2.价格不变的情况下商品销售额与销售量是函数关系. ( √ )
3.集合A={x|x是2021年销售的汽车}可以作为某个函数的定义域. ( )
4.函数的定义域和值域一定是无限集合. ( )
函数的定义域和值域也可能是有限集合,如f(x)=1(x∈{1,2}).
5.根据函数的定义,定义域中的任何一个x可以对应值域中不同的y. ( )
根据函数的定义,对于定义域中的任何一个x,在值域中都有唯一确定的y与之对应.
6.在函数的定义中,集合B是函数的值域. ( )
在函数的定义中,函数的值域是{f(x)|x∈A},它是集合B的子集.
1.求函数定义域的常用依据:
(1)若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零;
(2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零;
(3)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域要使各个式子都有意义;
(4)若f(x)是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义.
函数定义域的求法
2.求抽象函数的定义域:
求抽象函数的定义域,要明确以下几点:
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围.
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围.
(3)f(t), f(φ(x)), f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的取值范围相同.
(4)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,实质是已知φ(x)的取值范围为A,求x的
取值范围.
(5)已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,实质是已知x的取值范围为B,求φ(x)的
取值范围,此范围就是f(x)的定义域.
(6)已知f(φ(x))的定义域为C,求f(g(x))的定义域,实质是已知φ(x)中的x的取值范围
为C,求出φ(x)的取值范围D,再令g(x)的取值范围为D,求出x的取值范围,此范围就
是f(g(x))的定义域.
求函数y=2 - 的定义域.
思路点拨
根据解析式的特点列不等式(组) 解不等式(组) 得出函数的定义域.
解析 要使函数有意义,需满足
解得0≤x≤ ,
所以函数y=2 - 的定义域为 .
(1)已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],求函数y=f(2x-3)的定义域;
(2)已知函数y=f(2x-3)的定义域是[-2,3],求函数y=f(x+2)的定义域.
思路点拨
(1)令2x-3=t,则-2≤t≤3 解不等式-2≤2x-3≤3,求出x的取值范围.
(2)由-2≤x≤3,得-7≤2x-3≤3 令x+2=t,则-7≤t≤3 解不等式-7≤x+2≤3,
求出x的取值范围.
解析 (1)在函数y=f(2x-3)中,令t=2x-3,则y=f(t),由y=f(x)与y=f(t)是同一函数,且y=f(x)的定义域为[-2,3]得,y=f(t)的定义域为[-2,3],
即t∈[-2,3],所以-2≤2x-3≤3,解得 ≤x≤3,
所以函数y=f(2x-3)的定义域为 .
(2)由y=f(2x-3)的定义域是[-2,3]得,-2≤x≤3,从而-7≤2x-3≤3.
设t=x+2,则函数y=f(t)的定义域为[-7,3],
即-7≤t≤3,所以-7≤x+2≤3,解得-9≤x≤1,
所以函数y=f(x+2)的定义域为[-9,1].
解题模板
两类抽象函数的定义域的求法
(1)已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域:若f(x)的定义域为[a,b],则f(g(x))中a≤
g(x)≤b,从中解得x的取值集合即为f(g(x))的定义域.
(2)已知f(g(x))的定义域,求f(x)的定义域:若f(g(x))的定义域为[a,b],即a≤x≤b,求得
g(x)的取值范围,g(x)的值域即为f(x)的定义域.
函数值域的求法
求函数值域,应根据各个式子的不同结构特点,选择不同的方法.
(1)观察法:通过对解析式的简单变形和观察,利用熟知的基本函数的值域,求出函
数的值域.
(2)配方法:若函数是二次函数,即可化为y=ax2+bx+c(a≠0)型的函数,则可通过配方
并结合二次函数的性质求值域,但要注意给定区间的二次函数最大(小)值的求法.
(3)换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数化为几个简单的
函数,从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域.
(4)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函
数”的形式,便于求值域.
求下列函数的值域:
(1)y=x+1,x∈{1,2,3,4,5};
(2)y=x2-2x+3,x∈[0,3);
(3)y= ;
(4)y=2x- .
思路点拨
分析函数解析式的特点 选择适当的方法 求函数的值域.
解析 (1)(观察法)由x∈{1,2,3,4,5},y=x+1,可得函数的值域为{2,3,4,5,6}.
(2)(配方法)由y=x2-2x+3=(x-1)2+2,x∈[0,3),再结合函数的图像(如图),可得函数的
值域为[2,6).
(3)(分离常数法)y= = =2+ ,
显然 ≠0,所以y≠2,
故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
(4)(换元法)设t= ,则t≥0且x=t2+1,
所以y=2(t2+1)-t=2 + ,
由t≥0,再结合函数的图像(如图),可得函数的值域为 .
利用二次函数求值域时,要注意定义域的影响,当定义域不是R时,要画出图像,利
用定义域截取相应的部分,再根据图像得出值域.
如何判断两个函数是否相同
利用函数的定义,在两个函数中,只有当定义域、对应关系都相同时,两个函
数才相等.函数的值域可以利用定义域和对应关系求出.从确定函数的角度来说,
定义域和对应关系是确定函数的两个基本要素.
下列各组函数:
①f(x)= ,g(x)=x-1;
②f(x)= ,g(x)= ;
③f(x)= ,g(x)=x+3;
④f(x)=x+1,g(x)=x+x0;
⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x
(0≤x≤5).
其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号).
思路点拨
先求函数的定义域 定义域相同再化简解析式 最后判断函数是否相同.
解析 ①f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},g(x)的定义域为R, f(x)与g(x)的定义域不
同,不是相等函数;②f(x)与g(x)的定义域都是{x|x>0}, f(x)= 与g(x)= 的解析式
不同,不是相等函数;③f(x)与g(x)的定义域都是R, f(x)=|x+3|与g(x)=x+3的解析式不
同,不是相等函数;④f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0}, f(x)与g(x)
的定义域不同,不是相等函数;⑤f(t)与g(x)的定义域、对应关系皆相同,故是相等
函数.
答案 ⑤
特别提醒
判定两个函数为相等函数应注意三点:
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相等函数,即使定义域与
值域都相同,也不一定是相等函数.
(2)函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没
有限制的.
(3)当化简解析式时,必须先求定义域再化简,否则会导致定义域的变化.(共33张PPT)
§3 函数的单调性
第1课时 函数的单调性
增函数与减函数的定义
增函数 减函数
条件 在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于① 任意 两数x1,x2∈A,当x1② f(x1)结论 那么就称函数y=f(x)在区间A上是③ f(x1)>f(x2) 的 那么就称函数y=f(x)在区间A上是 ⑤ 减少 的
图示
函数的单调性与单调区间
1.单调区间
如果函数y=f(x)在区间A上是增加的或是减少的,那么称A为⑥ 单调区间 ,其中
增加的称为增区间,减少的称为⑦ 减区间 .
2.单调性
如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是⑧ 增加的或是减少的 ,那么就称函
数y=f(x)在这个子集上具有单调性.
3.单调函数
如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的或减少的,那么分别称这个函数为增函
数或减函数,统称为⑨ 单调函数 .
图像特征 函数f(x)在区间A上的图像是上升的 函数f(x)在区间A上的图像是下降的
(1)函数y=f(x)与函数y=f(x)+C(C为常数)的单调性相同.
(2)当C>0时,函数y=f(x)与函数y=Cf(x)的单调性相同;当C<0时,函数y=f(x)与函数y=
Cf(x)的单调性相反.
(3)在f(x),g(x)的公共单调区间上,有如下结论:
(4)当f(x)恒为正值或恒为负值时,函数y= 与函数y=f(x)的单调性相反.
单调函数的运算性质
f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x)
增函数 增函数 增函数 不能确定单调性
增函数 减函数 不能确定单调性 增函数
减函数 减函数 减函数 不能确定单调性
减函数 增函数 不能确定单调性 减函数
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.用定义证明函数单调性时,可设x1x2. ( √ )
2.证明函数单调性在该区间内取几个值验证一下即可. ( )
3.若函数f(x)在区间[1,4]上是减函数,则函数f(x)在区间[1,4]上的图像是下降的.
( √ )
4.若函数y=f(x)在区间[1,3]上是减函数,则函数y=f(x)的单调递减区间是[1,3].
( )
函数在某区间上单调与函数的单调区间不是同一个概念,函数在某区间上单调是
函数在这个区间上的单调性;而函数的单调区间是函数在定义域中的单调性.如
设函数f(x)=-x,则函数f(x)在区间[1,3]上是减函数,但函数f(x)的单调递减区间是R.
5.若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.
( )
题中函数f(x)在区间(1,3)上不一定是增函数.例如,函数f(x)= 在区间
(1,2]和(2,3)上均为增函数,但由图像知函数f(x)在区间(1,3)上不是增函数.
函数单调性的判定与证明方法
1.运用定义证明函数的单调性时,应在函数的定义域内给定的区间上,任取x1,x2,且在x1单调性的判定可用图像法等手段.
2.复合函数的单调性判定:
(1)若y=f(u),u=g(x)在公共区间上的单调性相同,则y=f(g(x))为增函数;y=f(u),u=g(x)
在公共区间上的单调性相反,则y=f(g(x))为减函数(如下表),
y=f(u) 增 增 减 减
u=g(x) 增 减 增 减
y=f(g(x)) 增 减 减 增
即内、外函数单调性相同时为增函数,相反时为减函数. 此规律可简单记为“同增异减”.
(2)求复合函数的单调区间,利用“同增异减”的判断法则时,要特别注意对函数定义域的确定,不要忽略了“函数的单调区间是函数定义域的子集”这一前提条件.
利用定义证明下列函数的单调性:
(1)f(x)=x3在R上是增函数;
(2)f(x)= 在[0,+∞)上是增函数.
思路点拨
取值 作差变形:因式分解、配方、有理化 判断符号 得出结论.
证明 (1)在R上任取两个实数x1,x2,且x1(x1-x2) x1+ x2 2+ .
∵x1又 ≥0, ≥0,当且仅当x1=x2=0时等号同时成立,
∴ + >0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)=x3在R上是增函数.
(2)在定义域[0,+∞)上任取两个实数x1,x2,且x1 = .
∵0≤x10,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)= 在[0,+∞)上是增函数.
解题模板
已知f(x)=x2-2x-3,讨论函数f(5-x2)的单调性.
思路点拨
将函数f(5-x2)看成由t=5-x2与f(t)=t2-2t-3复合而成的函数 分别研究外层、内层
函数的单调性 利用“同增异减”的判断法则解答.
x (-∞,-2] [-2,0] [0,2] [2,+∞)
t=5-x2 增 增 减 减
t (-∞,1] [1,5] [1,5] (-∞,1]
f(t) 减 增 增 减
f(5-x2) 减 增 减 增
解析 令t=5-x2,则f(t)=t2-2t-3.
由于f(t)=t2-2t-3在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增,即f(t)的单调区间以1为界来划分.
令t=5-x2≥1,得-2≤x≤2,而t=5-x2的单调性是以0为界划分的,由此可确定f(5-x2)的
单调性,如下表所示:
故f(5-x2)在[-2,0]和[2,+∞)上递增,在(-∞,-2]和[0,2]上递减.
正确确定复合函数的外层函数和内层函数是解决复合函数单调性的关键,此外本
题还需特别注意的是单调区间不能用并集符号连接.
含参数的函数单调性问题的解法
含参数的函数单调性问题常见的解法:
(1)常见函数的单调性:一次函数的单调性取决于一次项系数,二次函数的单调性
取决于二次项系数与其图像的对称轴,反比例函数的单调性取决于定义域与分
子.解题时可结合图像解决问题.
(2)分段函数在定义域上单调,除了要保证各段上单调外,还要考虑分段点处的单
调问题.另外,函数在单调区间上的图像不一定是连续不断的.
(2019河北张家口高一上第一次段考)已知函数f(x)= 是R上的增
函数,则a的取值范围是 ( C )
A.-3≤a<0 B.a≤-2
C.-3≤a≤-2 D.a<0
思路点拨
先保证每段函数单调递增,再用单调性确定分段点处函数值的关系,最后求交集,
确定参数的范围.
ax-5在(-∞,1]上单调递增,可知直线x=- 在直线x=1的右侧或与直线x=1重合,于是
有- ≥1,即a≤-2;
当x>1时,f(x)= ,
依题意f(x)= 在(1,+∞)上是增函数,由反比例函数的单调性知a<0;
当x=1时,由函数单调递增可知,-12-a-5≤a,解得a≥-3.
综上所述,a的取值范围是-3≤a≤-2.故选C.
答案 C
解析 当x≤1时, f(x)=-x2-ax-5,
依题意f(x)=-x2-ax-5在(-∞,1]上是增函数,f(x)图像的对称轴为直线x=- ,由f(x)=-x2-
已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上单调,求实数a的取值范围.
思路点拨
确定二次函数图像的对称轴 由图像的对称轴与单调区间得出参数范围.
解析 根据题意,知函数f(x)图像的对称轴为直线x=a,由于二次函数图像开口向
上,故其增区间为[a,+∞),减区间为(-∞,a],
而f(x)在区间[1,2]上单调,
所以[1,2] [a,+∞)或[1,2] (-∞,a],
即a≤1或a≥2.
解题模板
已知函数的单调性求参数的关注点
1.视参数为已知数,依据简单函数的单调性、函数的图像或函数的单调性的定义,
确定函数的单调区间,与已知的单调区间进行比较,求得参数的范围;
2.分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意分段点处函数值的大小关
系.
抽象函数的单调性问题
1.没有给出具体解析式的函数,称为抽象函数.解决此类问题通常有两种方
法:一种是“凑”,凑定义或凑已知,从而使用定义或已知条件得出结论;另一种是
赋值法,给变量赋值时要根据条件得出结论.
2.研究抽象函数的单调性是一类重要的题型,证明抽象函数的单调性常采用定义
法;还有一种类型的题目是利用抽象函数的单调性求参数范围.
定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b).
(1)求证:f(0)=1;
(2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(3)求证:f(x)是R上的增函数;
(4)解不等式:f(x)·f(2x-x2)>1.
思路点拨
(1)令a=b=0 得f(0);(2)令a=x,b=-x 逐步转化即可获证;(3)利用单调性的定
义证明;(4)转化为函数f(x)的两个函数值大小关系 利用单调性脱去“f”.
解析 (1)证明:令a=b=0,则f(0+0)=[f(0)]2,又∵f(0)≠0,∴f(0)=1.
(2)证明:令a=x,b=-x,则f(x)·f(-x)=f(x-x)=f(0)=1,
∴f(-x)= ,当x>0时, f(x)>1,当x<0时,-x>0, f(-x)>1,∴f(x)= >0,
∴当x≠0时, f(x)>0,
又f(0)=1>0,∴对任意的x∈R,恒有f(x)>0.
(3)证明:任取x1,x2∈R,且x2>x1,则x2-x1>0,
∴ =f(x2)·f(-x1)=f(x2-x1)>1,
∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在R上是增函数.
(4)f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(3x-x2).
∵f(0)=1, f(x)在R上是增函数,
∴要解f(x)·f(2x-x2)>1,
只需解f(3x-x2)>f(0),
∴3x-x2>0,解得0故不等式f(x)·f(2x-x2)>1的解集为{x|0方法总结
抽象函数的单调性问题一般用单调性的定义来处理,但要注意运用好所给的条
件,判断出函数之间的关系,常见思路是先要在所证区间内设任意两个数x1,x2(x12),然后利用题设条件向已知区间上转化,最后运用函数单调性的定义解决问题.
函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 一般地,对于函数y=f(x),其定义域为D,如果存在x0∈D, f(x0)=M,使得对于任意的x∈D,都有
① f(x)≤M ② f(x)≥M
结论 称M是函数y=f(x)的最大值 称M是函数y=f(x)的最小值
几何意义 f(x)图像上最高点的③ 纵坐标 f(x)图像上最低点的④ 纵坐标
第2课时 函数的最大(小)值
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.f(x)= (x>0)的最小值为0. ( )
2.函数f(x)取最大值时,对应的x可能有无限多个. ( √ )
例如:f(x)= f(x)的最大值为1, f(x)取最大值时,x的值为(0,+∞),有无数个值.
3.如果f(x)的最大值、最小值分别为M、m,则f(x)的值域为[m,M]. ( )
例如:f(x)=x(x∈{1,2,3,4,5}), f(x)的最大值为5,最小值为1,但值域不是[1,5].
4.任何函数f(x)都有最大值和最小值. ( )
例如:f(x)=x既无最大值,也无最小值.
5.若存在实数m,使f(x)≥m,则m是函数f(x)的最小值. ( )
若使m是f(x)的最小值,还需在f(x)的定义域内存在x0,使f(x0)=m.
求函数最大(小)值的常见方法
函数最大(小)值的求法,要根据函数的不同特点选择不同的方法进行求解,常
见的解法:
(1)图像法:由学过的函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)构成的函数,可
借助函数的图像求其最大(小)值.
(2)利用单调性:对于一些没学过的函数,可先说明函数的单调性,再由单调性求出
函数的最大(小)值.
(3)换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数化为几个简单的
函数,从而利用基本函数自变量的取值范围求函数的值域.
若x∈R, f(x)是y=2-x2,y=x这两个函数中的较小者,则f(x)的最大值为 ( B )
A.2 B.1
C.-1 D.无最大值
思路点拨
由已知条件画出函数图像 根据图像确定函数的最大(小)值.
解析 由2-x2=x,得x2+x-2=0,
解得x=1或x=-2,
因此f(x)=
在同一平面直角坐标系中画出函数y=2-x2,y=x的图像,可得出函数f(x)的图像如图
中实线部分所示.
所以当x=1时, f(x)max=1,故选B.
答案 B
图像法求最大(小)值时要注意以下两点:(1)防止作图不准导致解题错误;(2)防止
对最大(小)值的几何意义理解不准导致解题错误.
求函数y=2x+ 的最小值.
思路点拨
令t= (t≥0)得y=2t2+t+2 确定y=2t2+t+2在定义域内的单调性 求出函数
的最小值.
解析 令t= ,则t≥0,x=t2+1,
∴y=2t2+t+2=2 + ,
当t≥0时是增函数,
∴当t=0,即x=1时,ymin=2,
故函数的最小值为2.
跟踪训练( )一艘轮船由甲地逆水匀速行驶至乙地,甲、乙两地相距s km,水
流速度为p km/h,轮船在静水中的最大速度为q km/h(p,q为常数,且q>p),已知轮船
每小时的燃料费用与轮船在静水中的速度v km/h成正比,比例系数为常数k.
(1)将全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v的函数;
(2)若s=100,p=10,q=110,k=2,为了使全程的燃料费用最少,轮船的实际行驶速度应
为多少
信息提取 ①轮船由甲地逆水匀速行驶至乙地;②甲、乙两地相距s km,水流速
度为p km/h,轮船在静水中的最大速度为q km/h;③轮船每小时的燃料费用与轮船
在静水中的速度v km/h成正比.
数学建模 本题以轮船航行问题为背景,建立函数模型,将实际问题转化为函数
问题,并借助函数的单调性求最值.(1)根据路程,速度和时间的关系列出函数解析
式;(2)根据函数的单调性求其最值.
解析 (1)设轮船全程行驶的时间为t h,则t= ,
(实际船速=船在静水中的速度-水流速度=v-p,时间=路程÷速度)
所以y= (p解题模板
解函数型实际应用题的四个步骤:
(1)审题:解读实际问题,找出已知条件、未知条件,确定自变量和因变量的条件关
系.
(2)建模:建立数学模型,列出函数关系式.
(3)求解:分析函数性质,利用数学知识探究问题的解法(注意自变量的取值范围).
(4)回归:数学问题回归实际问题,写出答案.
利用函数最大(小)值解决不等式恒成立问题
不等式恒成立的问题通常转化为函数的最大(小)值问题,记住以下结论:
(1)任意x∈D, f(x)>a恒成立,一般转化为最小值问题,即f(x)min>a来解决;
(2)任意x∈D, f(x)
已知ax2+x≤1对任意x∈(0,1]恒成立,求实数a的取值范围.
思路点拨
分离变量构造函数 求函数的最大(小)值 求实数a的取值范围.
解析 ∵x>0,∴ax2+x≤1可化为a≤ - .
要使a≤ - 对任意x∈(0,1]恒成立,
只需a≤ .
设t= ,∵x∈(0,1],∴t≥1,
∴ - =t2-t.
令f(t)=t2-t(t≥1),
∵f(t)= - 在[1,+∞)上是增函数,
∴f(t)min=f(1)=0,
即当x=1时, - 取得最小值0,
∴a≤0,∴实数a的取值范围是(-∞,0].(共18张PPT)
二次函数的图像变换
y=x2的图像 y=ax2(a≠0)的图像.
y=ax2的图像 y=a(x+h)2+k(a≠0)的图像.
a决定⑦ 开口大小与方向 ,h决定⑧ 左右平移 ,k决定⑨ 上下平移 .
§4 二次函数性质的再研究
4.1 二次函数的图像
4.2 二次函数的性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像和性质
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)
图像 a>0 a<0
性 质 开口方向 抛物线开口向上,并向上无限延伸 抛物线开口向下,并向下无限延伸
对称轴 直线x=-
顶点坐标
单调性 在区间 -∞,- 上是减函数, 在区间 - ,+∞ 上是增函数 在区间 上是增函数,
在区间 上是减函数
最值 抛物线有最低点,当x= - 时,y有最⑩ 小 值,ymin= 抛物线有最高点,当x=- 时,y有最 大 值,ymax=
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.超市销售某商品的总利润y(元)与售价x(元/个)的函数为y=-(x-55)2+600,则销售
该商品的最大利润为600元. ( √ )
2.某汽车使用单位容积燃料行驶的千米数f(x)与行车速度x(千米/时)的函数式为
f(x)=-0.01x2+1.2x-5.8,则当速度为60千米/时时,此汽车最省油. ( √ )
当x=- =60,即速度为60千米/时时,此汽车最省油.
3.将函数y=2(x-1)2+1的图像向左平移3个单位,得函数y=2(x+2)2+1的图像. ( √ )
4.二次函数f(x)满足f(m)=f(n)(m≠n),则其图像的对称轴为直线x= . ( √ )
5.若函数f(x)=2x2+ax+4的增区间是[4,+∞),则a∈[-16,+∞). ( )
如何确定二次函数的解析式
1.二次函数解析式的形式:
(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);
(2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),顶点坐标为(h,k);
(3)交点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,a≥0),其中x1,x2为二次函数的图像与x轴两个交
点的横坐标.
2.求二次函数解析式时,应根据已知条件的特点,灵活运用解析式的形式,选择最
佳方案解题.
(1)已知二次函数f(x)的图像经过点A(1,0),B(2,3),C(3,4),求f(x)的解析式;
(2)已知二次函数f(x)的图像经过点(2,7),且顶点坐标为(1,5),求f(x)的解析式;
(3)已知二次函数f(x)的图像与坐标轴的交点为(-2,0),(4,0),(0,-4),求f(x)的解析式.
思路点拨
(1)已知图像过三点 设为一般式 求解析式;(2)已知顶点坐标 设为顶点
式 求解析式;(3)已知抛物线与x轴的交点 设为交点式 求解析式.
解析 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得 解得
∴f(x)=-x2+6x-5.
(2)设f(x)=a(x-1)2+5(a≠0).
∵f(2)=7,∴7=a(2-1)2+5,∴a=2,
∴f(x)=2(x-1)2+5,即f(x)=2x2-4x+7.
(3)设f(x)=a(x+2)(x-4)(a≠0).
∵f(x)的图像过点(0,-4),
∴f(0)=-8a=-4,∴a= ,
∴f(x)= (x+2)(x-4),
∴f(x)= x2-x-4.
解题模板
用待定系数法求函数解析式的步骤
(1)设:设出所求函数的解析式(尽量选择合适的形式以简化运算过程);
(2)列:根据已知条件列出方程(组);
(3)解:解方程(组),求待定系数.
二次函数图像及其变换
1.作二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像,主要考虑其图像特征:开口方向与大小、顶点坐标、与x轴交点的横坐标、与y轴交点的纵坐标、对称轴等与a,b,c之间的关系.
2.在y=a(x+h)2+k(a≠0)的图像变换中,记住“h正左移,h负右移,k正上移,k负下移”.
试求二次函数y=-2x2-8x-6图像的对称轴方程,顶点坐标,并作出图像,根据图像写
出y≤0时x的取值范围.
思路点拨
将二次函数配方 作出二次函数的图像 利用图像解决相关问题.
解析 y=-2x2-8x-6=-2(x2+4x+4)+8-6=-2(x+2)2+2,
故函数图像的对称轴为直线x=-2,顶点坐标为(-2,2).
令-2x2-8x-6=0,解得x1=-3,x2=-1,
故函数图像与x轴相交于两点(-3,0),(-1,0).
以x=-2为中间值,取x的一些值(包括y=0时的x值),列出这个函数的对应值表:
x … -4 -3 -2 -1 0 …
y … -6 0 2 0 -6 …
在平面直角坐标系内描点作图,如图所示.
观察图像可知,当x≤-3或x≥-1时,y≤0,
故x的取值范围为(-∞,-3]∪[-1,+∞).
解题模板
作二次函数的图像,抓住抛物线的特征“三点一线一开口”.“三点”中有
一个点是顶点,另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点,常取与x轴的交点;
“一线”是指图像对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向.
由函数y=x2的图像如何得到函数f(x)=-x2+2x+3的图像.
思路点拨
将二次函数f(x)配方 写出变换过程.
解析 f(x)=-x2+2x+3=-(x2-2x)+3=-(x2-2x+1-1)+3=-(x-1)2+4,
由y=-x2的图像与y=x2的图像关于x轴对称,可得y=-x2的图像,
将y=-x2的图像向右平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度,可得f(x)=-(x-1)2+4,
即f(x)=-x2+2x+3的图像.
解题时要记住各个系数的符号对变换的影响,防止因记错符号导致方向相反.
二次函数的性质及其应用
1.观察图像时要把握其本质特征:开口方向决定a的符号,与y轴的交点决定c的符号
(值),对称轴的位置决定- 的符号.另外,还要注意图像与x轴的交点,函数的单调性等.
2.比较二次函数值的大小的方法:
(1)若抛物线开口向上,则离对称轴越近,函数值越小.
(2)若抛物线开口向下,则离对称轴越近,函数值越大.
3.二次函数最值问题的解题策略:
(1)确定对称轴,抛物线的开口方向,作图.
(2)在图像上标出定义域的位置.
(3)观察单调性写出最值.
已知函数f(x)=x2-ax的单调增区间为(2,+∞).
(1)求实数a的值;
(2)求函数图像的对称轴方程;
(3)当x∈R时,求f(x)的最小值.
思路点拨
将二次函数解析式配方 求出函数的单调增区间 由已知条件求出a的值
写出函数图像的对称轴方程 求出函数的最小值.
解析 (1)∵f(x)=x2-ax= - ,
∴f(x)的单调增区间为 ,
又f(x)的单调增区间为(2,+∞),
∴ =2,即a=4.
(2)函数图像的对称轴方程为x= =2.
(3)f(x)min=- =-4.
解题模板
已知函数的单调性,求函数解析式中参数的范围,是函数单调性的逆向思维
问题.解答此类问题的关键在于借助函数图像的对称轴,通过集合间的关系来建
立变量间的关系.
已知函数f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1],求函数f(x)的最小值.
思路点拨
将二次函数解析式配方得到其图像的对称轴方程 利用对称轴得出函数单调
性 借助图像得到函数的最小值.
解析 f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2,其图像开口向上,且对称轴为直线x=a.
当a≥1时,函数的大致图像如图(1)所示,函数f(x)在区间[-1,1]上是减函数,最小值
为f(1)=3-2a;
当-1值为f(a)=2-a2;
当a≤-1时,函数的大致图像如图(3)所示,函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,最小值
为f(-1)=3+2a.
综上所述, f(x)min=
解题模板
求二次函数在闭区间上的最大(小)值,关键要弄清二次函数图像的对称轴与x
轴交点的横坐标与给定区间的关系,利用单调性及顶点求出结果.(共31张PPT)
幂函数的概念
如果一个函数,底数是自变量x,指数是常量α,即① y=xα ,这样的函数称为
幂函数.
§5 简单的幂函数
第1课时幂函数
幂函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
图像
定义域 R R R ② [0,+∞) ③ (-∞,0)∪(0,+∞)
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y∈R且y≠0}
单调性 增 x∈[0,+∞)增, x∈(-∞,0]减 增 增 ④ x∈(0,+∞)减,x∈(-∞,0)减
幂函数的性质
1.几种常见幂函数的性质
公共点 都经过点⑤ (1,1)
2.一般幂函数的常见性质
(1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图像都过点(1,1).
(2)α>0时,幂函数的图像通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数.
(3)α<0时,幂函数的图像在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向
原点时,图像在y轴右方无限逼近y轴正半轴,当x趋于+∞时,图像在x轴上方无限逼
近x轴正半轴.
(4)任何幂函数图像与坐标轴或仅相交于原点,或都不相交,任何幂函数图像都不
过第四象限.
(5)任何两个幂函数图像最多有三个公共点.除(1,1),(0,0),(-1,1),(-1,-1)外,其他任何
一点都不是两个幂函数的公共点.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.幂函数的图像一定不能出现在第四象限,但可能出现在第二象限. ( √ )
2.正方形的边长y与面积S的函数y= 是幂函数. ( √ )
3.若某商品销售价格为1元/个,则销售该商品的总收入y(元)与销售件数x间的函数
为幂函数. ( )
此函数为y=x(x∈N),而幂函数y=x的定义域为R,定义域不同,故此函数不是幂函
数.
4.当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数. ( )
5.当α=0时,幂函数y=xα的图像是一条直线. ( )
6.若幂函数y=xα的图像关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大. ( )
求幂函数的解析式
已知幂函数的图像和性质求解析式时,往往用待定系数法,具体策略有:
(1)利用定义求解.即利用幂函数的定义确定参数,从而得到幂函数的解析式.
(2)利用幂函数的性质求解.具体步骤可归纳为:
①借助幂函数的定义,设出幂函数的解析式或确定幂函数中相应量的值;
②结合幂函数的性质,分析幂函数中指数的特征;
③求出幂函数的解析式.
函数f(x)=(m2-m-1) 是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,求f(x)的解析式.
思路点拨
根据幂函数的定义得m2-m-1=1 解方程求出m 结合f(x)的单调性确定m.
解析 由幂函数的定义,得m2-m-1=1,
解得m=2或m=-1.
当m=2时,f(x)=x3在(0,+∞)上为增函数;
当m=-1时,f(x)=x-3在(0,+∞)上为减函数,不符合要求.
故f(x)=x3.
幂函数y=xα,其中α为常数.这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准.此外,对本例来说,要根据单调性进行检验,以免产生增根.
幂函数的图像与性质
解决幂函数图像问题应把握的两个原则:
(1)根据幂函数在第一象限内的图像确定幂指数α与0,1的大小关系.
(2)依据图像高低判断幂指数大小,相关结论如下:
①在x∈(0,1)上,指数越大,幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低);
②在x∈(1,+∞)上,指数越大,幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高).
若点( ,2)在幂函数f(x)的图像上,点 在幂函数g(x)的图像上,求:当x为何值
时,(1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)思路点拨
利用待定系数法确定函数解析式 作出两函数的图像 利用图像解决问题.
解析 设f(x)=xα,因为点( ,2)在幂函数f(x)的图像上,
所以将点( ,2)代入f(x)=xα中,得2=( )α,
解得α=2,则f(x)=x2.同理,可求得g(x)=x-2.
在同一坐标系中作出幂函数f(x)=x2和g(x)=x-2的图像(如图所示),
观察图像可得,
(1)当x>1或x<-1时, f(x)>g(x).
(2)当x=1或x=-1时, f(x)=g(x).
(3)当-1
幂函数性质的综合应用
幂函数y=xα中只有一个参数α,幂函数的所有性质都与α的取值有关,故可由α
确定幂函数的定义域、值域、单调性.
(2019四川雅安高一上期末检测)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图像与y= +
m的图像有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是 ( B )
A.(0,1]∪[2 ,+∞)
B.(0,1]∪[3,+∞)
C.(0, ]∪[2 ,+∞)
D.(0, ]∪[3,+∞)
思路点拨
分01两种情况进行讨论,分别判断y=(mx-1)2与y= +m的单调性,结合
题中已知条件,求得m的取值范围.
y= +m在[0,1]上单调递增,值域为[m,1+m],此时两函数图像有且仅有一个交点.
当m>1时,0< <1,y=(mx-1)2在 上单调递增,
所以两函数图像有且仅有一个交点,需(m-1)2≥1+m,即m≥3.
综上所述,0答案 B
解析 当0跟踪训练( )已知幂函数y=x3m-9(m∈N+)的图像关于y轴对称,且y=x3m-9(m∈N+)
在(0,+∞)上单调递减,求满足(a+1 <(3-2a 的a的取值范围.
思路点拨
由单调性确定m的范围 由幂函数的图像确定m的值 由幂函数的性质解决
问题.
解析 因为函数y=x3m-9在(0,+∞)上单调递减,所以3m-9<0,解得m<3,
又因为m∈N+,所以m=1或m=2.
因为函数y=x3m-9的图像关于y轴对称,所以3m-9为偶数,
故m=1,
所以原不等式可化为(a+1 <(3-2a .
因为y= 在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,
所以a+1>3-2a>0或3-2a是 .
1.奇函数:一般地,图像关于① 原点 对称的函数叫作奇函数.
在奇函数f(x)中,f(-x)=② -f(x) ;反之,满足③ f(-x)=-f(x) 的函数y=f(x)一定是奇函数.
2.偶函数:一般地,图像关于④ y轴 对称的函数叫作偶函数.
在偶函数f(x)中,f(-x)=⑤ f(x) ;反之,满足⑥ f(-x)=f(x) 的函数y=f(x)一定是偶函数.
3.函数的奇偶性:当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称函数具有⑦ 奇偶性 .
奇函数、偶函数的单调性
1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值;奇函数在关于原点对称的区间上的最大(小)值与最小(大)值互为相反数.
函数的奇偶性
第2课时 函数的奇偶性
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000-0.1x2(0240),则该函数为偶函数. ( )
2.偶函数的图像与x轴交点的个数一定是偶数. ( )
如图,偶函数y=f(x)的图像关于y轴对称,与x轴有1个交点.
3.f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0. ( √ )
因为函数f(x)是奇函数,且f(0)有意义,因此f(-0)=-f(0),即2f(0)=0,所以f(0)=0.
4.存在既是奇函数又是偶函数的函数,且不止一个. ( √ )
存在f(x)=0,x∈D(定义域D关于原点对称),f(x)既是奇函数又是偶函数,因为D有无
数个,所以这样的函数也有无数个.
判断函数奇偶性的常见方法
1.定义法:
2.图像法:
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=|x-2|+|x+2|;
(2)f(x)=
思路点拨
先求函数的定义域 再计算f(-x) 最后判断f(-x)与f(x)的关系得出结论.
解析 (1)函数f(x)=|x-2|+|x+2|的定义域为实数集R,关于原点对称.
因为f(-x)=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=f(x),
所以函数f(x)=|x-2|+|x+2|是偶函数.
(2)函数的定义域为D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,
当x>0时,-x<0,则f(-x)=- = =f(x);
当x<0时,-x>0,则f(-x)= =- =f(x).
综上可知,函数f(x)= 是偶函数.
1.判断奇偶性应先求定义域,必要时在定义域内化简解析式.解题时既要防止不化
简解析式,找不到f(-x)与f(x)的关系,无法判断奇偶性,又要防止不求定义域就化简
解析式,导致不恒等变形得到错误结论.
2.判断分段函数f(x)奇偶性的一般方法是在一个区间上设自变量,再向对称区间
转化,并且进行双向验证.解题时一要防止不验证f(0)导致错误,二要防止只判断部
分区间上函数具有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征就下结论,导致证明不全面.
定义在R上的函数f(x),对于任意实数x1、x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2).求证:
f(x)为偶函数.
思路点拨
对函数方程中的变量赋值 证明f(-x)±f(x)=0 判断并得出结论.
证明 函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.
令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x),①
令x2=0,x1=x,得f(x)+f(x)=2f(0)·f(x),②
由①②得f(x)-f(-x)=0,即f(-x)=f(x),
∴f(x)是偶函数.
解题模板
判断抽象函数f(x)的奇偶性,一要运用定义的等价形式:f(x)的定义域关于原点
对称, f(x)为奇函数等价于f(-x)+f(x)=0,f(x)为偶函数等价于f(-x)-f(x)=0;二要合理赋
值找到常数t0,使f(t0)=0,将证明f(x)为奇函数转化为证明f(-x)+f(x)=f(t0),证明f(x)为偶
函数转化为证明f(-x)-f(x)=f(t0).
利用函数奇偶性解决相关问题
1.利用函数奇偶性求函数值或参数值的方法:
利用函数奇偶性的定义f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)可求函数值;比较f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)的系数可求参数值.
2.利用函数奇偶性求函数解析式的步骤:
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设;
(2)转化到已知区间上,代入已知的解析式;
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而求出f(x).
(1)已知f(x)=x5+ax3+bx-8,若f(-3)=10,则f(3)=( D )
A.26 B.18 C.10 D.-26
(2)若函数f(x)= 为奇函数,则a= -1 .
(3)已知函数f(x)(x∈R)是奇函数,且当x>0时, f(x)=2x-1,则函数f(x)的解析式为
f(x)=
思路点拨
(1)令G(x)=x5+ax3+bx G(x)为奇函数,求得G(3)的值 求出f(3)的值.
(2)根据f(x)为奇函数列出等式f(-x)=-f(x) 利用等式恒成立得出a+1=0 计算
求出a的值.
(3)由已知写出f(-x) 根据f(x)为奇函数求出x<0时的解析式 求出f(0) 写
出f(x)的解析式.
解析 (1)由f(x)=x5+ax3+bx-8,得f(x)+8=x5+ax3+bx.
令G(x)=x5+ax3+bx=f(x)+8,
∵G(-x)=(-x)5+a(-x)3+b(-x)=-(x5+ax3+bx)=-G(x),
∴G(x)是奇函数,∴G(-3)=-G(3).
∵G(-3)=f(-3)+8=10+8=18,
∴G(3)=-18,即G(3)=f(3)+8=-18,
∴f(3)=G(3)-8=-26.
(2)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
即 =- ,
显然x≠0,整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,
故a+1=0,解得a=-1.
(3)设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=2(-x)-1=-2x-1.
∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)=2x+1,
又f(x)(x∈R)是奇函数,
∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0.
∴函数f(x)的解析式为f(x)=
答案 (1)D (2)-1 (3)f(x)=
利用奇偶性解题时,首先要明确奇偶性,防止奇偶性判断错误导致解题错误;另外
在解决奇函数问题时,要注意f(0)是否有意义,防止漏掉x=0的情况导致解题错误.
函数单调性与奇偶性的综合应用
1.若函数f(x)为奇函数,则f(x)在关于原点对称的两个区间[a,b]和[-b,-a]上具有
相同的单调性;若函数f(x)为偶函数,则f(x)在关于y轴对称的两个区间[a,b]和[-b,-a]
上具有相反的单调性.
2.函数的奇偶性与单调性结合可以解决含抽象函数的不等式问题,先用奇偶性将
不等式化为f(x1)>f(x2)的形式,再用单调性得到x1>x2(或x1已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是 (-1,3) .
思路点拨
思路一:将不等式化为f(|x-1|)>f(2) 由f(x)在[0,+∞)上单调递减得|x-1|<2 解
不等式得-1思路二:由已知画出f(x)的草图 由图像得-2解析 解法一:∵f(x)为偶函数,
∴f(x-1)=f(|x-1|),
又f(2)=0,
∴f(x-1)>0等价于f(|x-1|)>f(2).
∵|x-1|∈[0,+∞),且f(x)在[0,+∞)上单调递减,
∴|x-1|<2,即-2∴x的取值范围是(-1,3).
解法二:∵f(x)为偶函数, f(2)=0, f(x)在[0,+∞)上单调递减,
∴f(-2)=f(2)=0, f(x)在(-∞,0)上单调递增,
由此可画出f(x)的草图,如图所示:
由图可知,当f(x-1)>0时,
-2∴x的取值范围是(-1,3).
答案 (-1,3)
解题模板
函数奇偶性的两个特点
1.若f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|);
2.若f(x)(x∈R)是奇函数,则f(0)=0.
跟踪训练( )设函数y=f(x)的定义域为R,并且满足f(x-y)=f(x)-f(y),且f(2)=1,
当x>0时,f(x)>0.
(1)求f(0)的值;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)如果f(x)+f(x+2)<2,求x的取值范围.
思路点拨
(1)令x=y=0 f(0)=0;(2)对x,y赋值 得出f(-x)=-f(x);(3)利用已知及f(x)的奇偶
性将不等式变形 f(x+2)解析 (1)令x=y=0,则f(0-0)=f(0)-f(0),
∴f(0)=0.
(2)令x=0,y=x.
∵f(x-y)=f(x)-f(y),
∴f(0-x)=f(0)-f(x),
由(1)知f(0)=0,
∴f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)是奇函数.
(3)任取x1,x2∈R,且x1>x2,则x1-x2>0,
f(x1-x2)=f(x1)-f(x2).
∵当x>0时, f(x)>0,
∴f(x1-x2)>0,
即f(x1)-f(x2)>0,
∴f(x1)>f(x2),∴函数f(x)是定义在R上的增函数.
∵f(x-y)=f(x)-f(y),
∴f(x)=f(y)+f(x-y),
又f(2)=1,
∴2=1+1=f(2)+f(2)= f(2)+f(4-2)=f(4).
∵f(x)+f(x+2)<2,
∴f(x)+f(x+2)∴f(x+2)∵函数f(x)是定义在R上的增函数,
∴x+2<4-x,∴x<1,
∴x的取值范围为{x|x<1}.