按秘密级事项管理
丹东市 2021~2022 学年度上学期期末教学质量监测
高三数学试题参考答案
一、选择题
1．B 2．C 3．B 4．C
5．A 6．D 7．B 8．D
二、选择题
9．BCD 10．BC 11．ABD 12．ACD
三、填空题
13．0.3 14．－1 15．4 16．2
四、解答题
17．解：
5 5
（1）因为-
1 1
x＝ xi＝3，
-y＝ yi＝2，所以 5 5
i＝1 i＝1
34.3－5×3×2
b＝ ＝0.43，a＝2－0.43×3＝0.71．
55－5×32
故 y 关于 x 的线性回归方程为y＝0.43x＋0.71．
…………………（5 分）
16＋2×5
（2）若满 5 年就淘汰，则每台水稻收割机的年平均费用为 ＝5.2（万元）．
5
若满 8 年就淘汰，则每台水稻收割机的年平均费用为
16＋2×5＋[0.43×(6＋7＋8) ＋3×0.71] 37.16
＝ ＝4.645（万元）．
8 8
因为 4.645＜5.2，所以使用到满 8 年的年平均费用低于使用到满 5 年的年平均费，因此
建议继续使用到满 8 年再淘汰．
…………………（10 分）
18．解：
1 4 3
（1）由 cos∠ABD＝－ ，可得 sin∠ABD＝ ．
7 7
因为∠A＝60°，所以在△ADB 中，
sin∠ADB＝sin(180 －∠ABD－∠A)
＝sin(∠ABD＋60 )
＝sin∠ABD cos60 ＋cos∠ABD sin60
4 3 1 1 3
＝ ·＋(－ )·
7 2 7 2
3 3
＝ ．
14
…………………（6 分）
AB DB
（2）在△ADB 中，由正弦定理得 ＝ ，由（1）及题设可得 DB＝7．
sin∠ADB sin∠A
高三数学试题参考答案第 1 页 （共 5 页）
3 3 13
因为∠ADC＝90°，由（1）可得 cos∠BDC＝sin∠ADB＝ ，于是 sin∠BDC＝ ．
14 14
1 39 3
由 DB·DC sin∠BDC＝ ，可得 DC＝3 3．
2 4
在△DBC 中，由余弦定理得
BC＝ DC2＋DB2－2·DC·DB·cos∠BDC＝7．
…………………（12 分）
19．证明：
（1）（1）因为 an＞0，所以 Sn+1＞ Sn，设{ Sn}的公差为 d，则 d＞0．
由 a2＝3a1可得 d＝ S2－ S1＝ a1，所以 Sn＝ a1＋(n－1) a1＝ a1n，S 2n＝a1n ．
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn-1＝a1(2n－1)，所以 an＝a1(2n－1)．
于是 an+1－an＝2a1，所以{an}是以 2a1为公差的等差数列．
…………………（6 分）
1 1 1 1
（2）因为a1＝1，所以 an＝2n－1，a1＝1， ＝
－ ，于是
akak＋1 2 2k－1 2k＋1
n n n n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 n
i ＝ － i ＝ － ＝ 1－ ＝ ． akak＋1 2 2k－1 2k＋1 2 i2k－1 i2k＋1 2 2n＋1 2n＋1
k＝1 k＝1 k＝1 k＝1
n
n 1 1 1 1 1
因为 n∈N*，所以 ＝ － ＜ ，于是 ＜ ．
2n＋1 2 4n＋2 2 iakak＋1 2
k＝1
…………………（12 分）
20．解法 1：
→
（1）以 A 为坐标原点， AB 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 A
－xyz．
设 AB＝2a，则 P(0，0，2)，C(2a，2，0)，D(0，2，0)，E(a，0，0)．
→ → →
PC ＝(2a，2，－2)， PE ＝(a，0，－2)，PD＝(0，2，－2)．
→
n1·PC＝0，
z
设平面 PEC 的法向量为n1＝(x，y，z)，则
→
n ·PE ＝0． P 1
2ax＋2y－2z＝0，
即 可取n1＝(2，－a，a)．
ax－2z＝0．
A D
y
→
n ·PC＝0， E 2
设平面 PDC 的法向量为n2＝(x，y，z)，则
→ B
n2·PD＝0．
C
x
2ax＋2y－2z＝0，
即 可取n2＝(0，1，1)．
2y－2z＝0．
因为n1·n2＝0，所以平面 PEC⊥平面 PDC．
高三数学试题参考答案第 2 页 （共 5 页）
…………………（6 分）
→ n3·PD＝0， 2y－2z＝0，
（2）设平面 PDE 的法向量为n3＝(x，y，z)，则 即
→ ax－2z＝0． n3·PE ＝0．
n2·n3 a可取n3＝(2，a，
a)．所以|cos＜n2，n3＞|＝ ＝ ． |n2||n3| a2＋2
2 a 2
因为二面角 C－PD－E 的大小为 45 ，所以|cos＜n2，n3＞|＝ ，于是 ＝ ，2 a2＋2 2
→
解得 a＝ 2，故PC ＝(2 2，2，－2)，n3＝(2， 2， 2)．
→PC ·n 3
于是点 C 到平面 PDE 的距离 d＝ ＝2．
|n3|
…………………（12 分）
解法 2：
（1）取 PD 的中点为 F，取 PC 的中点为 G，连结 AF，FG， P
GE，则 AE∥FG，AE＝FG，四边形 AEGF 是平行四边形，故 EG∥
AF．
F
因为 CD⊥AD，CD⊥PA，所以 CD⊥平面 PAD，所以 CD⊥AF．又
AF⊥PD，所以 AF⊥平面 PDC，从而 EG⊥平面 PDC． G
因为 EG 平面 PEC，所以平面 PEC⊥平面 PDC． A D
…………………（6 分） E
（2）由（1）可知 AF⊥PD，GF⊥PD，所以 PD⊥平面 AEGF，
连结 EF，则∠EFG 是二面角 C－PD－E 的平面角，由∠EFG＝45 ， B C
可得 AE＝GF＝AF＝ 2．
于是 PE＝ED＝ 6，△PDE 面积S△PDE＝2 2．△EDC 面积S△EDC＝2 2．设点 C 到平面
1 1
PDE 的距离为 d，由 S△PDE·d＝ S3 3 △EDC
·PA，可得点 C 到平面 PDE 的距离 d＝2．
…………………（12 分）
21．解法 1：
（1）设 E：y2＝2px(p＞0)，x＝1 代入可得 P(1， 2p)，Q(1，－ 2p)．
→ → 1
由 OP⊥OQ 可得OP·OQ＝0，所以 1－ 2p 2p＝0，p＝ ，故 C 的方程为y2＝x．
2
…………………（4 分）
（2）设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB 的两点式方程为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)．由
x1＝
2 2
y1，x2＝y2，以及y2≠y1，可得 AB：x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0．
设 C(x0，y0)，同理 AC：x－(y1＋y0)y＋y1y0＝0，BC：x－(y0＋y2)y＋y0y2＝0．
因为 AB：y2＋2 2y＋1＝0，所以y1＋y2＝－2 2，y1y2＝1，不妨取y1＝－ 2＋1，
y2＝－ 2－1．
因为 AC 的斜率与 BC 的斜率互为相反数，所以y1＋y0＝－(y0＋y2)，可得y1＋y2＝－2y0，
故y0＝ 2，于是 AC：x－y＋ 2－2＝0，BC：x＋y－ 2－2＝0．
高三数学试题参考答案第 3 页 （共 5 页）
…………………（8 分）
因为直线 AC 与 BC 关于直线 x＝2 对称，也关于直线 y＝ 2对称．
因为⊙D 是△ABC 内切圆，所以可设 D (2，b)，⊙D 半径为 r，则
|2＋2 2b＋1|
＝r，12＋(2 2)2
|2－b＋ 2－2|
＝r，12＋(－1)2
|2＋b－ 2－2|
＝ ． r12＋12
解得 b＝0，r＝1，因此⊙D 的方程为(x－2)2＋y2＝1．
…………………（12 分）
解法 2：
（1）同解法 1．
（2）设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将 x＝y2代入到 x＋2 2y＋1＝0，得y2＋2 2y＋1＝0，
y＝－ 2±1．不妨取y1＝－ 2＋1，y2＝－ 2－1．
y0－y1 y0－y2
设 C(x0，y0)，因为直线 AC 与 BC 的斜率互为相反数，所以 ＝－ ， x0－x1 x0－x2
由 ＝ 2 2x1 y1，x2＝y2，y1≠y0，y2≠y0，可得y1＋y2＝－2y0，故y0＝ 2，从而x0＝2．
AC：(y－y1)(2－x1)＝(x－x1)( 2－y1)，因为 ＝
2
x1 y1，所以 AC：x－y＋ 2－2＝0．
同理 BC：x＋y－ 2－2＝0．
…………………（8 分）
设⊙D 的圆心 D (a，b)，半径为 r，则
|a＋2 2b＋1|
＝r，12＋(2 2)2
|a－b＋ 2－2|
＝r， 12＋(－1)2 |a＋b－ 2－2|
＝r．12＋12
解得 a＝2，b＝0，r＝1，因此⊙D 的方程为(x－2)2＋y2＝1．
…………………（12 分）
22．解：
1－lnx
（1）f (x)定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝ 2 ，当 0＜x＜e 时，f ′(x)＞0，当 x＞e 时， x
f ′(x)＜0，故 f (x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．
1
所以当 x＝e 时，f (x)取得极大值 ，没有极小值．
e
…………………（4 分）
高三数学试题参考答案第 4 页 （共 5 页）
lna
（2）设 g (x)＝f (x)－ ， x＝a 是 g (x)的一个零点．
a
lna 1
g (x)与 f (x)单调性相同，由（1）可知当 a≠e 时， ＜ ，所以 g (e)＞0．
a e
lna
若 a＞e，g (x)在(e，＋∞)有唯一零点 x＝a．因为 g (1)＝－ ＜0，所以 g (x)在(0，e)
a
有唯一零点．
x
若 1＜a＜e，g (x)在(0，e)有唯一零点 x＝a．由（1）可知 lnx＜ ．
e
a a
因为 ＞e，所以( )2＞e2＞e，从而
lna lna
a 2a
2ln
a lna lna elna lna 2－e lna
g [( )2]＝ － ＜ － ＝( ) ＜0．
lna a a a a e a
( )2 ( )2
lna lna
所以 g (x)在(e，＋∞)有唯一零点．
若 0＜a＜1，f (x)在(0，e)上有唯一零点 x＝a．当 x≥e 时，g (x)＞0，因此 g (x)有且仅有
一个零点 x＝a．
综上，a 取值范围为(1，e)∪(e，＋∞)．
…………………（12 分）
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高三数学
注意事项
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题
卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的
1.设集合M={x0
A.(0,1
B.[1,4)
D.(0,5
2.设2(z+z)+3(x-2)=4+6,则z=
A.1-2
B.1+2
C.1+
3.若向量a,b满足l=3,b=32,a+b|=5,则ab=
A.-2
B
4.若53,则coq-axx=
A
5.将4个a和2个b随机排成一行,则2个b不相邻的排法种数为
A.10
C.20
D.24
6.若双曲线C:一y2=1的一条渐近线为3x+my=0,则C的离心率为
A.2
B.3
3
C
D
若直线y=2x是曲线y=x(-a)的切线,则a
A
e
B
C
设a=log35,b=log
g57,则
A. cb. b<C. aD、c高三数学试题第1页(共4页)
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符
合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入
的调查数据整理得到如下频率分布直方图
频率
组距
0.20
0.14
0.10
253.5455.56.57.58.5951051512513514.5收入/元
根据此频率分布直方图,下面结论中正确的是
A.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
B.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
C.该地农户家庭年收入的6%分位数的估计值为45万元
D.该地农户家庭年收入的909%分位数的估计值为10.5万元
10.设椭圆C:+y2=1的两个焦点分别为F1,F2,上顶点为B,点P在C上,则
A. BF1=3
B.PF的最大值√5+2
C.PF|PF2的最大值为5
D.|PB的最大值为6
图数f()=sim(ox-5(0>0,已知f
A.o的取值范围是
B.f(x)在(0,4)单调递增
C.f(x)在(0,2m)有且仅有3个极大值点
D.f(x)在(0,2)有且仅有2个极小值点
12.已知平行六面体ABCD一A1B1C1D1的所有棱长都为1,顶点A1在底面ABCD上的射影
为O,若∠A1AB=∠A1AD=60°,∠BAD=90°,则
A. BD,=V3
B.A1A与BD所成角为60°
C.O是底面ABCD的中心
D.A1A与平面ABCD所成角为4°
高三数学试题第2页(共4页)