人教A版（2019）必修第一册《 2.1.2 等式性质与不等式性质》2021年同步练（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第一册《 2.1.2 等式性质与不等式性质》2021年同步练习卷（1）
一、单选题
1．已知a，b∈R且a＞b，下列不等式正确的是（　　）
A． B．＞1 C．a﹣b＞0 D．a+b＞0
2．已知a，b为非零实数，若a＞b且ab＞0（　　）
A．a2＞b2 B．＞
C．ab2＞a2b D．＜
3．已知a，b，c，d∈R，则下列命题中正确的是（　　）
A．若a4＞b4，则a＞b B．若＞，则a＞b
C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若＜，则a＜b
4．设a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B．
C．ac2＞bc2 D．
5．若a＞b，则b2+1与3b﹣a的大小关系是（　　）
A．b2+1＞3b﹣a B．b2+1≥3b﹣a C．b2+1＜3b﹣a D．b2+1≤3b﹣a
6．如果﹣1＜a＜b＜0，则有（　　）
A．＜＜b2＜a2 B．＜＜a2＜b2
C．＜＜b2＜a2 D．＜＜a2＜b2
7．两实数a，b满足a＜b，则下列结论正确的是（　　）
A．a2＜b2 B．b2＞ab C．a3＜b3 D．
8．已知P＝a2+2b+3，Q＝﹣b2+4a﹣2，则P，Q的大小关系是（　　）
A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q
9．+1＞0是a＜﹣1成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．设变量x，y满足约束条件，则的最大值是（　　）
A．3 B．﹣ C．1 D．8
11．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是（　　）
①与已知条件矛盾； 
②与假设矛盾；
③与所证结论矛盾；
④与定义、定理、公理、法则矛盾；
⑤与事实矛盾．
A．①③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④
12．曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调．其初始四音为宫、徵、商、羽．我国古代定音采用律管进行“三分损益法”．将一支律管所发的音定为一个基音（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宫音为基音，徵音“益一”可得商音，商音“损一”可得羽音．则羽音律管长度与宫音律管长度之比是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
13．已知函数f（x）＝ex，g（x）＝lnx，h（x）＝，其中e是自然对数的底数，则下列说法正确的是（　　）
A．对任意的实数a，曲线y＝f（x）与曲线y＝h（x）都有交点
B．当a＝﹣时，曲线y＝g（x）与曲线y＝h（x）恰好有一个交点
C．存在实数a，使得曲线y＝h（x）与曲线y＝f（x）和y＝g（x）都有两个交点
D．设A（x1，y1）是曲线y＝h（x）与曲线y＝f（x）的一个交点，B（x2，y2）是曲线y＝h（x）与曲线y＝g（x）的一个交点，则一定有x1x2＝a
14．若a＞b＞0，且ab＝1，则（　　）
A．a＞b+1 B．
C．（）a＞（）b D．log2（a+b）＞1
三、填空题
15．已知﹣1＜2s+t＜2，3＜s﹣t＜4，则5s+t的取值范围　 　（用区间表示）．
16．已知a，b为实数，则　 　ab+2a．（填“＞”“＜”“≥”或“≤”）
17．已知点P（x，y）满足，设A（3，0），则（O为坐标原点）　 　．
18．设x∈R，M＝3x2﹣x+1，N＝x2+x﹣1，则M与N的大小关系为　 　．
19．在△ABC中，若AB＝2，∠B＝，则BC＝　 　．
20．给出下列五个论断：①b＜0；②b＞0；③a＜0；⑤＜．以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论　 　．
四、解答题
21．（1）已知x＜1，比较x3﹣1与2x2﹣2x的大小；
（2）已知12＜a＜60，15＜b＜36，求a﹣b和
22．某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200人；每个工人年工作约计2100h；每袋需用4h；每袋需用原料20kg
23．已知a＞0，b＞0，求证：．
人教A版（2019）必修第一册《 2.1.2 等式性质与不等式性质》2021年同步练习卷（1）
参考答案与试题解析
一、单选题
1．已知a，b∈R且a＞b，下列不等式正确的是（　　）
A． B．＞1 C．a﹣b＞0 D．a+b＞0
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，当a＝2，a＞b但＜，
对于B，当a＝2，a＞b但，B错误，
对于C，若a＞b，C正确，
对于D，当0＞a＞b时，D错误，
故选：C．
2．已知a，b为非零实数，若a＞b且ab＞0（　　）
A．a2＞b2 B．＞
C．ab2＞a2b D．＜
【分析】A．取a＝1，b＝﹣2，即可判断出；
B．取a＝1，b＝﹣2，即可判断出；
C．取a＝2，b＝1，即可判断出；
D．由于a，b为非零实数，a＞b，可得，化简即可得出．
【解答】解：A．取a＝1，不成立；
B．取a＝1，不成立；
C．取a＝2，不成立；
D．∵a，a＞b，∴，
故选：D．
3．已知a，b，c，d∈R，则下列命题中正确的是（　　）
A．若a4＞b4，则a＞b B．若＞，则a＞b
C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若＜，则a＜b
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
【解答】解：对于A，令a＝﹣3，满足a4＞b4，但a＜b，故A错误，
对于B，∵＞，
∴当c＜0时，a＜b，
对于C，令a＝1，c＝3，满足a＞b，但ac＝bd，
对于D，∵＜，
又∵c3＞0，
∴a＜b，故D正确．
故选：D．
4．设a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B．
C．ac2＞bc2 D．
【分析】利用不等式的基本性质判断AB，利用举实例判断CD．
【解答】解：A：∵a＞b＞0，∴＜，∴b，∴A，
B：∵a＞b＞5，∴a2b＞ab2＞7，∴＜，∴B错误，
C：当c＝0时，则ac3＝bc2，∴C错误，
D：当a＝1，b＝时2+＝2，b2+＝，∴a3+＜b2+，∴D错误，
故选：A．
5．若a＞b，则b2+1与3b﹣a的大小关系是（　　）
A．b2+1＞3b﹣a B．b2+1≥3b﹣a C．b2+1＜3b﹣a D．b2+1≤3b﹣a
【分析】利用作差法比较两个代数式的大小．
【解答】解：b2+1﹣（7b﹣a）＝b2﹣2b+3+（a﹣b）＝（b﹣1）2+（a﹣b）．
∵a＞b，
∴a﹣b＞3．
又（b﹣1）2≥8，
∴（b﹣1）2+（a﹣b）＞2，即b2+1＞8b﹣a．
故选：A．
6．如果﹣1＜a＜b＜0，则有（　　）
A．＜＜b2＜a2 B．＜＜a2＜b2
C．＜＜b2＜a2 D．＜＜a2＜b2
【分析】取a＝﹣，b＝﹣，分别计算出，，b2，a2，由此能够判断出，，b2，a2的大小．
【解答】解：取a＝﹣，b＝﹣＝﹣5，，b2＝，a2＝，
由此能够判断出，，b2，a2的大小．
故选：A．
7．两实数a，b满足a＜b，则下列结论正确的是（　　）
A．a2＜b2 B．b2＞ab C．a3＜b3 D．
【分析】利用不等式的基本性质，结合特殊值即可判断出正误．
【解答】解：由两实数a，b满足a＜b，
A．取a＝﹣2，a2＞b8，故A错误；
B．取a＝﹣2，b2＜ab，故B错误；
C．由函数f（x）＝x7在R上单调递增，可得a3＜b3，故C正确．
D．取a＝﹣7，＜，故D错误．
故选：C．
8．已知P＝a2+2b+3，Q＝﹣b2+4a﹣2，则P，Q的大小关系是（　　）
A．P＞Q B．P＜Q C．P≥Q D．P≤Q
【分析】利用“作差法”和实数的性质即可得出．
【解答】解：P＝a2+2b+3，Q＝﹣b2+4a﹣2，
则P﹣Q＝a2+2b+2﹣（﹣b2+4a﹣3）＝（a﹣2）2+（b+7）2，
∵（a﹣2）8≥0，（b+1）4≥0，
∴P﹣Q≥0，
∴P≥Q，
故选：C．
9．+1＞0是a＜﹣1成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】解不等式，根据集合的包含关系判断即可．
【解答】解：由＞﹣1＞0，
解得：a＞0或a＜﹣6，
故是a＜﹣2成立的必要不充分条件，
故选：B．
10．设变量x，y满足约束条件，则的最大值是（　　）
A．3 B．﹣ C．1 D．8
【分析】由约束条件作出可行域，令z＝x﹣2y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入求得z的最大值，再由有理指数幂的运算性质求的最大值．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，A（1，
令z＝x﹣2y，得y＝，当直线y＝，直线在y轴上的截距最小，
z有最大值为3，则＝2x﹣2y＝8．
故选：D．
11．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是（　　）
①与已知条件矛盾； 
②与假设矛盾；
③与所证结论矛盾；
④与定义、定理、公理、法则矛盾；
⑤与事实矛盾．
A．①③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④
【分析】直接利用反证法的定义判断正误即可．
【解答】解：利用已知定义、定理，以此说明原假设的结论不成立．
①与已知条件矛盾；正确．
②与假设矛盾；正确．
③与所证结论矛盾；错误．
④与定义、定理、法则矛盾．
⑤与事实矛盾．正确．
故选：B．
12．曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调．其初始四音为宫、徵、商、羽．我国古代定音采用律管进行“三分损益法”．将一支律管所发的音定为一个基音（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宫音为基音，徵音“益一”可得商音，商音“损一”可得羽音．则羽音律管长度与宫音律管长度之比是（　　）
A． B． C． D．
【分析】设以宫音为基音的律管长度为x，根据题意分别求出徵音、商音、羽音的律管长度，即可求出结果．
【解答】解：设以宫音为基音的律管长度为x，
则徵音的律管长度为（1﹣）x，
商音的律管长度为，
羽音的律管长度为，
∴羽音律管长度与宫音律管长度之比为＝，
故选：C．
二、多选题
13．已知函数f（x）＝ex，g（x）＝lnx，h（x）＝，其中e是自然对数的底数，则下列说法正确的是（　　）
A．对任意的实数a，曲线y＝f（x）与曲线y＝h（x）都有交点
B．当a＝﹣时，曲线y＝g（x）与曲线y＝h（x）恰好有一个交点
C．存在实数a，使得曲线y＝h（x）与曲线y＝f（x）和y＝g（x）都有两个交点
D．设A（x1，y1）是曲线y＝h（x）与曲线y＝f（x）的一个交点，B（x2，y2）是曲线y＝h（x）与曲线y＝g（x）的一个交点，则一定有x1x2＝a
【分析】由f（x）＝h（x）可得a＝xex，由g（x）＝h（x）可得a＝xlnx，在同一坐标系中作出函数y＝xex，y＝xlnx及y＝a的图象，观察图象即可判断选项ABC的正误；由选项C可判断D错误．
【解答】解：由f（x）＝h（x）可得a＝xex，由g（x）＝h（x）可得a＝xlnx，
在同一坐标系中作出函数y＝xex，y＝xlnx及y＝a的图象如下，
由图可知，选项A错误；
又f（x）＝ex与g（x）＝lnx关于直线y＝x对称，的图象关于y＝x对称，故选项D错误．
故选：BC．
14．若a＞b＞0，且ab＝1，则（　　）
A．a＞b+1 B．
C．（）a＞（）b D．log2（a+b）＞1
【分析】直接利用不等式的性质的应用和函数的单调性的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：由于a＞b＞0，且ab＝1，
则a＞4＞b＞0，
对于A：，故确定不了与4的关系；
对于B：a2+1＞b7+1，故，故B正确；
对于C：由于f（x）＝为减函数，所以；
对于D：log2（a+b），故D正确；
故选：BD．
三、填空题
15．已知﹣1＜2s+t＜2，3＜s﹣t＜4，则5s+t的取值范围　（1，8）　（用区间表示）．
【分析】设5s+t＝m（2s+t）+n（s﹣t），根据条件求出m和n的值，再求出5s+t的范围．
【解答】解：设5s+t＝m（2s+t）+n（s﹣t），
则2s+t＝（2m+n）s+（m﹣n）t，
则 ， 解得 ，
则 5s+t＝2（5s+t）+（s﹣t），
∵﹣1＜2s+t＜5，∴﹣2＜2（2s+t）＜4，
又∵3＜s﹣t＜8，
∴1＜2（8s+t）+（s﹣t）＜8，
即 1＜2s+t＜8，
∴5s+t 的取值范围是（5，8）．
故答案为：（1，3）．
16．已知a，b为实数，则　≥　ab+2a．（填“＞”“＜”“≥”或“≤”）
【分析】根据不等式a2+b2≥2ab（当且仅当a＝b时取等号），即可得出（当且仅当a＝时取等号），这样即可得出答案．
【解答】解：∵，当且仅当；
a2+6≥2a，当且仅当a＝1时取等号；
∴≥ab+6a时取等号．
故答案为：≥．
17．已知点P（x，y）满足，设A（3，0），则（O为坐标原点）　2　．
【分析】先画出满足的可行域，再根据平面向量的运算性质，对进行化简，结合可行域，即可得到最终的结果．
【解答】解：满足的可行域如图所示，
又∵，
∵，，
∴
由图可知，平面区域内x值最大的点为（2
故答案为：2
18．设x∈R，M＝3x2﹣x+1，N＝x2+x﹣1，则M与N的大小关系为　M＞N　．
【分析】利用做差法和不等式的性质即可得出答案．
【解答】解：设x∈R，M＝3x2﹣x+7，N＝x2+x﹣1，
则M﹣N＝（2x2﹣x+1）﹣（x5+x﹣1）＝2x2﹣2x+2＝5（x﹣）2+＞5，
M＞N，
则M与N的大小关系为M＞N，
故答案为：M＞N．
19．在△ABC中，若AB＝2，∠B＝，则BC＝　　．
【分析】由三角形的内角和即B，C的值，求出A角的值，再由正弦定理可得边BC的值．
【解答】解：，
由正弦定理得，所以．
故答案为：．
20．给出下列五个论断：①b＜0；②b＞0；③a＜0；⑤＜．以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论　②③ ⑤；③④ ⑤；②④ ⑤；　．
【分析】直接利用不等式的性质判定②③ ⑤；③④ ⑤；②④ ⑤这几个结论．
【解答】解：由②③ ⑤，
由于b＞0，a＜0，则．
由③④ ⑤，
由于a＜0，a＞b，所以．
由②④ ⑤，
由于b＞7，且a＞b，所以．
故答案为：②③ ⑤；③④ ⑤；
四、解答题
21．（1）已知x＜1，比较x3﹣1与2x2﹣2x的大小；
（2）已知12＜a＜60，15＜b＜36，求a﹣b和
【分析】（1）已知x＜1，采用作差法比较x3﹣1与2x2﹣2x的大小；
（2）已知12＜a＜60，15＜b＜36，利用不等式性质求a﹣b和的取值范围即可．
【解答】解：（1）作差得：（x3﹣1）﹣（2x2﹣2x）＝x6﹣2x2+3x﹣1
即：（x3﹣x4）﹣（x2﹣2x+5）＝x2（x﹣1）﹣（x﹣5）2＝（x﹣1）（x4﹣x+1），
∵x＜1，∴x﹣3＜02﹣x+6＝（x﹣）6+＞7恒成立，
∴（x﹣1）（x2﹣x+7）＜0，
∴x3﹣8＜2x2﹣3x．
（2）∵15＜b＜36，∴﹣36＜﹣b＜﹣15，
∴12﹣36＜a﹣b＜60﹣15，∴﹣24＜a﹣b＜45．
又＜＜，∴＜＜，∴＜＜3．
综上，﹣24＜a﹣b＜45，＜．
22．某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200人；每个工人年工作约计2100h；每袋需用4h；每袋需用原料20kg
【分析】根据条件列出不等式组即可
【解答】解：设明年产量为x袋，根据题意得：
解得：80000≤x≤90000
故明年产量约在8万～4万袋．
23．已知a＞0，b＞0，求证：．
【分析】根据已知条件，结合分析法和基本不等式公式，即可求证．
【解答】证明：要证，
即证，
即证，即证，
∵a＞0，b＞0，
∴恒成立，即得证．
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