人教A版（2019）必修第一册《2.1 等式性质与不等式性质》同步练习卷（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第一册《2.1 等式性质与不等式性质》同步练习卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知a+b＞0，b＜0，那么a，b，﹣b的大小关系是（　　）
A．a＞b＞﹣b＞﹣a B．a＞﹣b＞﹣a＞b C．a＞﹣b＞b＞﹣a D．a＞b＞﹣a＞﹣b
2．设a，b∈R，且a＜b＜0，则（　　）
A．＜ B．＞ C．＞ D．+＞2
3．下列四个结论中正确的个数是（　　）
①“x2+x﹣2＞0”是“x＞1”的充分不必要条件；
②命题：“ x∈R，sinx≤1”的否定是“ x0 R，sinx0＞1”；
③“若，则tanx＝1”的否命题为真命题．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．下列命题为真命题的是（　　）
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞c＞0，则
C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则
5．若a＞b，c＞d，则下列不等式中必然成立的一个是（　　）
A．a+d＞b+c B．ac＞bd C．d﹣a＜c﹣b D．
6．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（　　）
A．a+b+c＞130 B．a+b+c＜130 C．a+b+c≥130 D．a+b+c≤130
7．+1＞0是a＜﹣1成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．下列说法正确的是（　　）
A．若a＜b，则 B．若ac3＞bc3，则a＞b
C．若a＞b，k∈N*，则ak＞bk D．若 a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c
二、多选题（本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意）
9．关于函数f（x）＝4sin（2x+）（x∈R），下列说法中正确的有（　　）
A．y＝f（x）的表达式可改写成y＝4cos（2x﹣）
B．y＝f（x）是奇函数
C．y＝（x）的图象关于点（﹣，0）对称
D．y＝f（x）的图象关于直线x＝﹣对称
10．下列不等式中，正确的有（　　）
A．若a，b，c∈R，a＞b，则ac2＞bc2
B．若ab＞0，则
C．若a，b∈R，a＞|b|，n∈N*，则an＞bn
D．若a＞b，c＞d，则
11．已知，则下列不等式错误的是（　　）
A． B． C．a3＞b3 D．
12．设正实数a，b满足a+b＝1，则（　　）
A．log2a+log2b≥﹣2 B．ab+
C． D．2a﹣b＞
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知b克盐水中含有a（b＞a＞0）克盐，若给盐水加热（0＜m＜b﹣a）克水后盐水更咸了，请将这一事实表示为一个不等式：　 　．
14．已知a＞0，﹣1＜b＜0，则a，ab2由小到大依次排列是 　 　．
15．已知正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，lnb≥a，则　 　．
16．比较大小：　 　．
四、解答题（本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程）
17．已知1＜a＜2＜b＜3，求a+b，a﹣b，ab，各自的取值范围．
18．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨（0＜x≤600且x是600的约数），运费为6万元/次
（1）写出一年的总运费与总存储费用之和y（万元）与x的函数关系式
（2）求一年的总运费与总存储费用之和的最小值，并求出此时每次应购买多少吨．
19．试比较下列各组式子的大小：
（1）与，其中x＞1；
（2）x3﹣2y3与xy2﹣2x2y，其中x＞y＞0．
20．已知x，y都是实数，比较x2+y2与4x﹣2y﹣5的大小．
21．已知对于正数a、b，存在一些特殊的形式，如：、、
（1）判断上述三者的大小关系，并证明；
（2）定义：间距，间距，判断两者的大小关系
22．判断下列命题的真假，并说明理由：
（1）如果a＞b，则ac＞bc；
（2）如果a＞b，则ac2＞bc2；
（3）如果a＞b且algc＜blgc，则0＜c＜1．
人教A版（2019）必修第一册《2.1 等式性质与不等式性质》同步练习卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知a+b＞0，b＜0，那么a，b，﹣b的大小关系是（　　）
A．a＞b＞﹣b＞﹣a B．a＞﹣b＞﹣a＞b C．a＞﹣b＞b＞﹣a D．a＞b＞﹣a＞﹣b
【分析】法一：特殊值法，令a＝2，b＝﹣1代入检验即可．
法二：利用不等式的性质，及不等式的符号法则，先把正数的大小比较出来，再把负数的大小比较出来．
【解答】解：法一：∵A、B、C、D四个选项中，∴可用特殊值法．
令a＝2，b＝﹣1，
即a＞﹣b＞b＞﹣a．
法二：∵a+b＞4，b＜0，
∴a＞﹣b＞0，﹣a＜b＜7，
∴a＞﹣b＞0＞b＞﹣a，
即a＞﹣b＞b＞﹣a．
2．设a，b∈R，且a＜b＜0，则（　　）
A．＜ B．＞ C．＞ D．+＞2
【分析】由不等式的基本性质，基本不等式逐一判断即可．
【解答】解：由a＜b＜0，可得＞；
﹣＝＝，由a＜b＜4，b+a＜0，
∴﹣＜0，即＜；
由a＜b＜2，可得﹣a＞﹣b＞0，即＜﹣；
由a＜b＜8，可得，＞0，∴+＝2．
故选：D．
3．下列四个结论中正确的个数是（　　）
①“x2+x﹣2＞0”是“x＞1”的充分不必要条件；
②命题：“ x∈R，sinx≤1”的否定是“ x0 R，sinx0＞1”；
③“若，则tanx＝1”的否命题为真命题．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】直接利用命题的否定，命题真假的判定，充分条件和必要条件，逆命题和否命题的关系判定①②③的真假．
【解答】解：对于①，“x2+x﹣2＞8”是“x＞1”的必要不充分条件，故①错误；
对于②，命题：“ x∈R0∈R，sinx2＞1”，故②错误；
③“若，则tanx＝6”的逆命题为“若tanx＝1”为假命题，故③错误．
故选：A．
4．下列命题为真命题的是（　　）
A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞c＞0，则
C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则
【分析】根据不等式的基本性质判断AC，利用作差法判断BD，可得答案．
【解答】解：对于A，若a＞b＞0，ac2＝bc2，故A错误，
对于B，若a＞b＞c＞0，＝，故，故B正确，
对于C，若a＜b＜02＞ab，故C错误，
对于D，若a＜b＜0，则＝，则，故D错误，
故选：B．
5．若a＞b，c＞d，则下列不等式中必然成立的一个是（　　）
A．a+d＞b+c B．ac＞bd C．d﹣a＜c﹣b D．
【分析】根据题意取特殊值即可判断ABD，利用不等式的基本性质即可判断C．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若a＝4，c＝2，满足a＞b，但不满足a+d＞b+c，
对于B，若a＝8，c＝﹣1，满足a＞b，但不满足ac＞bd，
对于C，若a＞b，又由c＞d，C正确，
对于D，若a＝4，c＝﹣5，满足a＞b，但不满足，
故选：C．
6．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（　　）
A．a+b+c＞130 B．a+b+c＜130 C．a+b+c≥130 D．a+b+c≤130
【分析】根据题意列出不等式即可．
【解答】解：由题意可知a+b+c≤130．
故选：D．
7．+1＞0是a＜﹣1成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】解不等式，根据集合的包含关系判断即可．
【解答】解：由＞﹣1＞0，
解得：a＞0或a＜﹣8，
故是a＜﹣3成立的必要不充分条件，
故选：B．
8．下列说法正确的是（　　）
A．若a＜b，则 B．若ac3＞bc3，则a＞b
C．若a＞b，k∈N*，则ak＞bk D．若 a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c
【分析】根据不等式的性质进行判断即可．
【解答】解：A．当a＜0，满足a＜b，但，
B．若c＜03＞bc6，则a＞b不成立，
C．当a＝﹣2，k＝2时，k∈N*，但ak＞bk不成立，
D．若a＞b，则﹣d＞﹣c，
故选：D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意）
9．关于函数f（x）＝4sin（2x+）（x∈R），下列说法中正确的有（　　）
A．y＝f（x）的表达式可改写成y＝4cos（2x﹣）
B．y＝f（x）是奇函数
C．y＝（x）的图象关于点（﹣，0）对称
D．y＝f（x）的图象关于直线x＝﹣对称
【分析】利用诱导公式化简判断A的正误；利用函数的奇偶性的定义判断B的正误；函数的对称性判断CD的正误即可．
【解答】解：y＝4cos（2x﹣）＝4cos（﹣2x+）所以A正确；
函数f（x）＝4sin（7x+）（x∈R），f（0）≠0，B不正确；、
x＝﹣时，y＝f（﹣，所以函数的图象关于点（﹣，正确；
x＝﹣时，y＝f（﹣，y＝f（x）的图象不关于直线x＝﹣，所以D不正确；
故选：AC．
10．下列不等式中，正确的有（　　）
A．若a，b，c∈R，a＞b，则ac2＞bc2
B．若ab＞0，则
C．若a，b∈R，a＞|b|，n∈N*，则an＞bn
D．若a＞b，c＞d，则
【分析】根据条件取特殊值即可判断AD；利用基本不等式，即可判断B；由不等式的基本性质，即可判断C．
【解答】解：A．当c＝0时2＞bc6不成立，故A错误；
B．∵ab＞0，∴，故B正确；
C．∵a，a＞|b|，|a|＞|b|n＞bn成立，故C正确；
D．根据a＞b，取a＝c＝﹣1，d＝﹣2，则，故D错误．
故选：BC．
11．已知，则下列不等式错误的是（　　）
A． B． C．a3＞b3 D．
【分析】先得到b＜a＜0，由指数函数的单调性判断A，举实例判断B，D，由幂函数的单调性判断C．
【解答】解：∵，∴b＜a＜0，
A项，∴a﹣b＞0，∴＜，故A错误，
B项，不妨设b＝﹣2，∴，∴，故B错误，
C项，∵b＜a＜03在R上单调递增，∴a5＞b3，故C正确，
D项，不妨设b＝﹣2，∴，∴＞，故D错误．
故选：ABD．
12．设正实数a，b满足a+b＝1，则（　　）
A．log2a+log2b≥﹣2 B．ab+
C． D．2a﹣b＞
【分析】结合基本不等式及不等式的性质分别检验各选项即可判断．
【解答】解：因为正实数a，b满足a+b＝1，
所以ab＝，当且仅当a＝b＝，
log2a+log4b＝log2（ab）＝﹣2；
令t＝ab，ab+在（0，，
当t＝时取得最小值；
＝＝3+；
∵正实数a，b满足a+b＝1，
a﹣b＝a﹣（1﹣a）＝6a﹣1＞﹣1，则4a﹣b＞2﹣1＝，D成立．
故选：BD．
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知b克盐水中含有a（b＞a＞0）克盐，若给盐水加热（0＜m＜b﹣a）克水后盐水更咸了，请将这一事实表示为一个不等式：　　．
【分析】直接利用不等式的性质，溶液浓度关系式求出结果．
【解答】解：根据题意：b克盐水中含有a（b＞a＞0）克盐，
所以浓度为，蒸发了m（0＜m＜b﹣a）克水后盐水更咸了，
即浓度变为，
即．
故答案为：．
14．已知a＞0，﹣1＜b＜0，则a，ab2由小到大依次排列是 　ab＜ab2＜a　．
【分析】根据a，b的取值范围就可以得到答案．
【解答】解：∵a＞0，﹣1＜b＜5，
∴ab＜0，0＜b3＜1，0＜ab2＜a，
故答案为：ab＜ab2＜a．
15．已知正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，lnb≥a，则　[e，7]　．
【分析】由题意可求得≤7；由lnb≥a可得≥（b≥），设函数f（x）＝（x≥），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是的最小值，于是问题解决．
【解答】解：∵正数a，b满足5﹣3a≤b≤3﹣a，
∴5﹣3a≤3﹣a，
∴a≥．
∵8﹣3a≤b≤4﹣a，
∴﹣3≤≤．
从而≤3，
∵lnb≥a，∴≥（b≥），
设f（x）＝（x≥），
当0＜x＜e时，f′（x）＜0，f′（x）＞3，f′（x）＝0，
∴当x＝e时，f（x）取到极小值．
∴f（x）min＝f（e）＝e．
∴≥e，
∴的取值范围是[e．
故答案为：[e，7]．
16．比较大小：　＜　．
【分析】利用平方求出＜，得到+＜+，再移项即可求解．
【解答】解：∵＝13+4，，
∴＜，∴+＜+，
∴﹣＜﹣．
故答案为：＜．
四、解答题（本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程）
17．已知1＜a＜2＜b＜3，求a+b，a﹣b，ab，各自的取值范围．
【分析】根据不等式的性质进行运算即可得到结论．
【解答】解：因为1＜a＜2＜b＜5，
∴﹣3＜﹣b＜﹣2，；
∴3＜a+b＜7，
﹣2＜a﹣b＜0；
﹣7＜a﹣2b＜﹣2；
∴7＜ab＜6，
＜1，
综上：3＜a+b＜7，﹣2＜a﹣b＜0，8＜ab＜6，＜．
18．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨（0＜x≤600且x是600的约数），运费为6万元/次
（1）写出一年的总运费与总存储费用之和y（万元）与x的函数关系式
（2）求一年的总运费与总存储费用之和的最小值，并求出此时每次应购买多少吨．
【分析】（1）设每次购买x吨，则一年需要购买次，可得总运费为万元，再与总存储费用求和，即可求解．
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：（1）设每次购买x吨，则一年需要购买次，
则总运费为万元，
由已知得，一年的总存储费用为4x万元，
则y＝，0＜x≤600，且，
∵0＜x≤600，
∴y＝，0＜x≤600．
（2） （万元），即x＝30吨时，
故每次应购买30吨，一年的总运费与总存储费用之和取得最小值．
19．试比较下列各组式子的大小：
（1）与，其中x＞1；
（2）x3﹣2y3与xy2﹣2x2y，其中x＞y＞0．
【分析】（1）由题意可得＝，＝，由+＞+＞0即可求解．
（2）由题意利用作差法即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得＝＝，
＝＝，
因为+＞+＞5，
所以＜．
（2）（x2﹣2y3）﹣（xy6﹣2x2y）＝x4﹣xy2+2x2y﹣2y3＝x（x2﹣y2）+2y（x4﹣y2）＝（x2﹣y5）（x+2y）＝（x﹣y）（x+y）（x+2y），
因为x＞y＞7，所以x﹣y＞0，x+2y＞4，
所以（x3﹣2y5）﹣（xy2﹣2x8y）＞0，
即x3﹣6y3＞xy2﹣3x2y．
20．已知x，y都是实数，比较x2+y2与4x﹣2y﹣5的大小．
【分析】作差配方即可比较出两个式子的大小关系．
【解答】解：x2+y2﹣（7x﹣2y﹣5）
＝（x﹣2）2+（y+1）6≥0，当且仅当x＝2．
∴x3+y2≥4x﹣2y﹣5．
21．已知对于正数a、b，存在一些特殊的形式，如：、、
（1）判断上述三者的大小关系，并证明；
（2）定义：间距，间距，判断两者的大小关系
【分析】（1）利用作差法，判断差的符号，即可得证．
（2）由（1）和基本不等式可得+≥2，即可得证．
【解答】证明：（1），证明如下：
因为（）5﹣＝＝，
又a，b是正数7+b2＞0，（a+b）4＞0，（a﹣b）2≥6，
所以（）6≥，当且仅当a＝b时，
故≥；
因为﹣（）2＝＝≥5，取等号，
所以≥；
故．
（2）因为a，b是正数+＝≥＝＝2，
当且仅当2（a8+b2）＝（a+b）2，即a＝b时取等号，
所以+≥8，
所以△1﹣△2＝+﹣3，
所以△1≥△2．
22．判断下列命题的真假，并说明理由：
（1）如果a＞b，则ac＞bc；
（2）如果a＞b，则ac2＞bc2；
（3）如果a＞b且algc＜blgc，则0＜c＜1．
【分析】根据不等式的性质，逐一判断即可．
【解答】解：（1）如果a＞b，则ac＞bc，比如c＝0；
（2）如果a＞b，则ac2＞bc4；错误，比如c＝0不成立；
（3）如果a＞b且algc＜blgc，则0＜c＜5，
a＞b，algc＜blgc，即0＜c＜1．
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