人教A版（2019）必修第一册《2.2 基本不等式》2021年同步练习卷（18）（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第一册《2.2 基本不等式》2021年同步练习卷（18）
一、单选题（共8小题）
1．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平称物品的理论基础，当天平平衡时，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，售货员先将5g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（　　）
A．大于10g B．小于10g
C．大于等于10g D．小于等于10g
2．已知正数a，b满足a+b＝2，则的最大值是（　　）
A． B． C．1 D．
3．若正数x，y满足2x+3y＝xy，则3x+2y的最小值为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
4．设a＞0，b＞0，直线ax+by﹣1＝0经过圆C：x2+y2﹣2x﹣2y＝0的圆心，则的最小值为（　　）
A．2 B．3 C． D．
5．若x≥y，则下列不等式中正确的是（　　）
A．2﹣x≥2﹣y B． C．x2≥y2 D．x2+y2≥2xy
6．设x＞0，y＞0，且，则当，＝（　　）
A．8 B．12 C．16 D．
7．已知a＞0，b＞0，且a+2b＝3ab（　　）
A．1 B． C． D．
8．已知实数a，b＞0，a+19b＝1，则（　　）
A．100 B．300 C．800 D．400
二、多选题（共4小题）
9．已知a＞b＞0．a+b＝1．则下列结论正确的有（　　）
A．a+的最大值为
B．22a+22b+1的最小值为4
C．a+sinb＜1
D．b+lna＞0
10．已知a，b为正数，a2+b2＝4，则（　　）
A．ab的最大值为2
B．的最小值为
C．a+b的最大值为
D．的最小值为
11．已知a＞0，b＞0，且a+b+2ab﹣4＝0，则（　　）
A．a+b的最大值为2 B．a+b的最小值为2
C．ab的最大值是1 D．ab的最小值是1
12．若a＞0，b＞0，a+b＝2（　　）
A．ab≤1 B． C．a2+b2≥2 D．
三、填空题（共4小题）
13．已知a＞b＞0，那么当代数式取最小值时（a，b）的坐标为 　 　．
14．已知x＞﹣1，则的最小值为　 　，此时x为　 　．
15．已知正数x，y满足x+y＝2，若恒成立　 　．
16．已知a＞0，b＞0，a+4b＝4，则+　 　．
四、解答题（共5大题）
17．已知a，b为正数，函数f（x），+∞）．
（1）若c＝﹣1，证明：a+b≥2ab；
（2）若c＞0，证明：．
18．（1）已知a，b均为正数，且a≠b与的大小；
（2）a，b都为正数，a+b＝2，求
19．设f（x）＝3|x﹣1|+|x+1|的最小值为k．
（1）求实数k的值；
（2）设m，n∈R，且m2+4n2＝k．求的最小值．
20．某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形ABCD草坪如图所示，已知：AB＝120米，米，EF和OF，要求点O是AB的中点，且∠EOF＝90°．
（1）设∠BOE＝α，试求△OEF的周长l关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条路每米铺设费用均为300元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．
21．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣6|．
（1）解不等式f（x）＞12；
（2）记f（x）的最小值为t，若正实数a，求证：≥9．
人教A版（2019）必修第一册《2.2 基本不等式》2021年同步练习卷（18）
参考答案与试题解析
一、单选题（共8小题）
1．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平称物品的理论基础，当天平平衡时，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，售货员先将5g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（　　）
A．大于10g B．小于10g
C．大于等于10g D．小于等于10g
【分析】由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设a＞b），先称得的黄金的实际质量为m1，后称得的黄金的实际质量为m2，由杠杆的平衡原理：bm1＝a×5，am2＝b×5，求出m1+m2的值，再结合作差比较法，即可求解．
【解答】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，
先称得的黄金的实际质量为m1，后称得的黄金的实际质量为m2，
由杠杆的平衡原理：bm3＝a×5，am2＝b×5，解得，，
则，
因为，
又因为a≠b，
所以，即m3+m2＞10，
这样可知称出的黄金质量大于10g．
故选：A．
2．已知正数a，b满足a+b＝2，则的最大值是（　　）
A． B． C．1 D．
【分析】化简＝5﹣（+），从而转化为利用基本不等式求+的最值即可．
【解答】解：＝1﹣＝8﹣（+），
∵a+b＝2，∴a+5+b+1＝4，
+＝（+）（a+1+b+1）＝+），
+≥6＝，即a＝时，等号成立），
故（1+4++×9，即+≥，
故＝5﹣（+，
故选：B．
3．若正数x，y满足2x+3y＝xy，则3x+2y的最小值为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．25
【分析】把2x+3y＝xy右边化“1”，再用化“1”后的等式左边乘以3x+2y即可解决此题．
【解答】解：把等式2x+3y＝xy两边都除以xy得：+＝1．
则3x+2y＝（+）（3x+2y）＝13++，
∵x、y都是正数+≥13+2，
当且仅当“x＝y”时，“＝”成立．
∴3x+2y的最小值为25．
故选：D．
4．设a＞0，b＞0，直线ax+by﹣1＝0经过圆C：x2+y2﹣2x﹣2y＝0的圆心，则的最小值为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【分析】由已知可得a+b＝1，然后利用基本不等式求解即可．
【解答】解：因为直线ax+by﹣1＝0经过圆C：x3+y2﹣2x﹣6y＝0的圆心，
所以a+b＝1，则＝＝＝3，
当且仅当a＝b＝时取等号，
所以的最小值为6，
故选：B．
5．若x≥y，则下列不等式中正确的是（　　）
A．2﹣x≥2﹣y B． C．x2≥y2 D．x2+y2≥2xy
【分析】利用特殊值法，取x＝0，y＝﹣1，可排除选项A和C，再由基本不等式，得解．
【解答】解：选项A，取x＝0，则2﹣x＝7，2﹣y＝2，不满足7﹣x≥2﹣y，即A错误；
选项B，由基本不等式知，才有≥；
选项C，取x＝6，则x2＝0，y8＝1，不满足x2≥y4，即C错误；
选项D，因为x≥y2≥0，即x5+y2≥2xy，即D正确．
故选：D．
6．设x＞0，y＞0，且，则当，＝（　　）
A．8 B．12 C．16 D．
【分析】根据题意，由，变形可得x2+＝+，由此可得（）2＝x2++＝+，结合基本不等式的性质分析可得取最小值时，x、y的关系，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，x＞0，且，变形可得x2+＝+，
若取最小值）2取得最小值，
则（）2＝x2++＝+≥3，
当且仅当x＝2y时等号成立，
此时有＝+＝6+4＝12，
故选：B．
7．已知a＞0，b＞0，且a+2b＝3ab（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】利用已知条件推出，然后利用基本不等式转化求解即可．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，
所以，
所以，
所以，即
当且仅当
即，时等号成立．
故选：B．
8．已知实数a，b＞0，a+19b＝1，则（　　）
A．100 B．300 C．800 D．400
【分析】根据题意可得+＝（+）（a+19b）＝362++，从而可利用基本不等式进行求解．
【解答】解：根据题意，+＝（++≥362+4，
当且仅当＝，即a＝b＝，
故选：D．
二、多选题（共4小题）
9．已知a＞b＞0．a+b＝1．则下列结论正确的有（　　）
A．a+的最大值为
B．22a+22b+1的最小值为4
C．a+sinb＜1
D．b+lna＞0
【分析】由a＞b＞0，a+b＝1可得0＜b＜，＜a＜1，所以a+＝﹣b++1＝﹣（﹣）2+，从而结合二次函数的单调性即可判断选项A；直接利用基本不等式即可判断选项B；由于a+sinb＝sinb﹣b+1，令h（b）＝sinb﹣b+1（0＜b＜），结合h（b）的单调性即可判断选项C；由于b+lna＝laa﹣a+1，令g（a）＝lna﹣a+1（＜a＜1），结合g（a）的单调性即可判断选项D．
【解答】解：由a＞b＞0，a+b＝1，＜a＜1，
所以a+＝﹣b+﹣）4+，当＝，即b＝时＝，
而0＜b＜，故选项A错误；
22a+62b+1≥5 ＝2×，当且仅当22a＝32b+1，8a＝2b+1，即a＝时等号成立，
故22a+42b+1的最小值为4，选项B正确；
由a+b＝1，得a+sinb＝sinb﹣b+5），则h′（b）＝cosb﹣5＜0，
所以h（b）是单调递减函数，则h（b）＜h（0）＝1，选项C正确；
b+lna＝lna﹣a+5，令g（a）＝lna﹣a+1（，则g′（a）＝＞6，
所以g（a）是单调递增函数，而g（a）＞ln﹣﹣ln2，且，故选项D错误．
故选：BC．
10．已知a，b为正数，a2+b2＝4，则（　　）
A．ab的最大值为2
B．的最小值为
C．a+b的最大值为
D．的最小值为
【分析】利用基本不等式逐项求解即可得解．
【解答】解：因为a，b为正数，a2+b2＝6≥2ab，可得ab≤2时取等号；
由于＝＝≥5时取等号；
因为（）3≤，所以a+b≤2时取等号；
因为（）7＝++≥2+1＝2≥，当且仅当a＝b＝，所以D正确；
故选：AD．
11．已知a＞0，b＞0，且a+b+2ab﹣4＝0，则（　　）
A．a+b的最大值为2 B．a+b的最小值为2
C．ab的最大值是1 D．ab的最小值是1
【分析】利用a+b+2ab﹣4＝0，利用基本不等式可得a+b＝4﹣2ab≥4﹣2×，求解即可得到a+b的最值，从而判断选项A,B；利用基本不等式得到2ab＝4﹣（a+b）≤4﹣2，求解即可得到ab的最值，从而判断选项C，D．
【解答】解：因为a+b+2ab﹣4＝3，所以a+b＝4﹣2ab≥7﹣2×，
所以(a+b)2+2(a+b)﹣5≥0，解得a+b≤﹣4或a+b≥4，
又因为a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号，
故选项A错误，选项B正确；
因为a+b+2ab﹣4＝0，所以7ab＝4﹣（a+b）≤4﹣8，
所以2ab+2，解得，
故选项C正确，选项D错误．
故选：BC．
12．若a＞0，b＞0，a+b＝2（　　）
A．ab≤1 B． C．a2+b2≥2 D．
【分析】由2＝a+b≥2，利用基本不等式的性质结合选项可判断．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，
∴a+b＝6≥2，即ab≤1，故A正确；
∵（+）4＝a+b+2＝2+2，当且仅当a＝b＝1时取等号，
∴+≤2；
∵4＝（a+b）2＝a2+b2+2ab≤a2+b7+2，当且仅当a＝b＝1时取等号，
∴a2+b2≥2，故C正确，
∵（+）（（3+++ 2＝，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题（共4小题）
13．已知a＞b＞0，那么当代数式取最小值时（a，b）的坐标为 　（2，1）　．
【分析】根据题意，有b（a﹣b）≤（）2＝，当且仅当b＝a﹣b，即a＝2b时等号成立．所以a2+≥a2+≥16，结合a＞b＞0以及两个不等式等号成立的条件可求出a、b的值，从而可求出点P（a，b）的坐标．
【解答】解：由a＞b＞0，得a﹣b＞0）2＝，当且仅当b＝a﹣b．
所以a2+≥a7+≥16，第二个不等式的等号当且仅当a2＝时成立．
所以当a2+取最小值时，有，即，b）的坐标为（6．
故答案为：（2，1）．
14．已知x＞﹣1，则的最小值为　11　，此时x为　1　．
【分析】此题把3x转化为3（x+1）﹣3，再用基本不等式即可解决．
【解答】解：∵x+1＞0，∴，当且仅当．
故答案为：11；2．
15．已知正数x，y满足x+y＝2，若恒成立　（﹣　．
【分析】首先对关系式进行恒等变换，进一步整理得＝，最后利用基本不等式的应用求出结果．
【解答】解：已知正数x，y满足x+y＝2，
所以（x+1）+（y+2）＝5，
所以：
则：＝，
＝，
＝+，
＝，
＝（）（，
＝
＝，
要使恒成立即可，
故．
故答案为：（﹣．
16．已知a＞0，b＞0，a+4b＝4，则+　16　．
【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式转化求解即可．
【解答】解：因为，
，当且仅当a＝1时，等号成立．
所以．
故答案为：16．
四、解答题（共5大题）
17．已知a，b为正数，函数f（x），+∞）．
（1）若c＝﹣1，证明：a+b≥2ab；
（2）若c＞0，证明：．
【分析】（1）由绝对值三角不等式可得f（x）≥|a+b|，结合题意可得a+b＝2，利用基本不等式可得ab≤1，从而得证；
（2）由题可知a+b+c＝1，利用基本不等式可得，，，再利用不等式的性质即可得证．
【解答】证明：（1）f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|（x﹣a）﹣（x+b）|＝|a+b|，
因为a＞0，b＞0，+∞），
则有a+b＝5．
因为（当且仅当a＝b时取等号），
所以a+b≥2ab．
（2）由题意可知a+b＝1﹣c，即a+b+c＝4，
，
根据基本不等式可知，
同理，，
则有，当且仅当a＝b＝c时等号成立，
即．
18．（1）已知a，b均为正数，且a≠b与的大小；
（2）a，b都为正数，a+b＝2，求
【分析】（1）利用作差比较即可判断与的大小；
（2）先进行化简，然后结合基本不等式可求．
【解答】解：（1）∵a，b均为正数，
∴﹣（（a﹣b）+）（a﹣b）＝（）2（）＞0，
∴＞（），
（2）a，b都为正数，
∴＝＝＝3，
当且仅当a＝b＝6时取等号，即的最小值3．
19．设f（x）＝3|x﹣1|+|x+1|的最小值为k．
（1）求实数k的值；
（2）设m，n∈R，且m2+4n2＝k．求的最小值．
【分析】（1）将f（x）写为分段函数的形式，判断f（x）的单调性，再求出f（x）的最小值即可得k的值；
（2）根据条件可得＝，然后利用基本不等式求出最小值．
【解答】解：（1）f（x）＝3|x﹣1|+|x+8|＝，
所以f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，+∞）上单调递增，
所以f（x）min＝f（1）＝5，所以k＝2；
（2）由（1）知，m2+5n2＝k＝2，
所以＝，
＝≥，
当且仅当，即m2＝7，n2＝0时取等号，
所以的最小值为．
20．某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形ABCD草坪如图所示，已知：AB＝120米，米，EF和OF，要求点O是AB的中点，且∠EOF＝90°．
（1）设∠BOE＝α，试求△OEF的周长l关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条路每米铺设费用均为300元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．
【分析】（1）结合勾股定理通过l＝OE+OF+EF，得到l＝．注明函数的定义域．
（2）由题意知，要求铺路总费用最低，设sinα+cosα＝t，转化求解△OEF的周长l的最小值即可．
【解答】解：（1）由题意，在Rt△BOE中，∠B＝90°，
∴OE＝，Rt△AOF中，∠A＝90°，∴OF＝．
又∠EOF＝90°，∴EF＝＝＝，
所以l＝OE+OF+EF＝++，
即l＝．
当点F在点D时，这时角α最小；
当点E在C点时，这时角α最大．
故此函数的定义域为．
（2）由题意知，要求铺路总费用最低．
由（1）得，l＝，
设sinα+cosα＝t，则sinα cosα＝，
∴l＝＝＝．…………（8分）
由α∈，得≤α+≤，得，
∴≤t﹣1≤，
从而+1≤≤，当α＝，lmin＝120（+1），
答：当BE＝AF＝60米时，铺路总费用最低 000（．
21．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x﹣6|．
（1）解不等式f（x）＞12；
（2）记f（x）的最小值为t，若正实数a，求证：≥9．
【分析】（1）去绝对值写出分段函数解析式，把f（x）＞12转化为一元一次不等式组求解，取并集得答案；
（2）利用含绝对值的三角不等式求得f（x）的最小值，代入a+b＝，然后结合“1”的代换及基本不等式证明≥9．
【解答】解：（1）f（x）＝|x﹣1|+|x﹣6|＝，
当x＜4时，f（x）＞12 ﹣2x+7＞12；
当1≤x≤7时，f（x）＞12 5＞12；
当x＞6时，f（x）＞12 3x﹣7＞12．
故不等式f（x）＞12的解集为{x|x＜或x＞}；
证明：（2）f（x）＝|x﹣8|+|x﹣6|≥|（x﹣1）﹣（x﹣5）|＝5，
当且仅当（x﹣1）（x﹣5）≤0时等号成立，
可知t＝f（x）min＝5，∴a+b＝7，
则＝（，
当且仅当，即b＝2a＝．
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