人教A版（2019）必修第一册《2.2 基本不等式》2021年同步练习卷（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第一册《2.2 基本不等式》2021年同步练习卷
1．已知全集为R，对任意集合A，B，下列式子恒不成立的是（　　）
A．A∪B＝A∪ B．A∩B＝A∩ C．∩B＝∪B D．∩B＝A∪
2．已知x＞2，那么函数的最小值是（　　）
A．5 B．6 C．4 D．8
3．已知f（x）＝2sinx+|1﹣a|+|a+3|，a∈R．
（1）若f（0）＞6，求实数a的取值范围；
（2）证明：对 x∈R，f（x）≥|a+3|﹣|+1|．
4．已知函数f（x）＝|2x﹣a|．
（1）若对于任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥2﹣|x+1|恒成立；
（2）若f（x）≤m，f（y）≤mx﹣y﹣
5．已知x＞3，y＝x+，则y的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．若a，b都为正实数，a+2b＝1（　　）
A． B． C． D．
7．若正数m，n，满足2m+n＝1，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．下列说法不正确的是（　　）
A．若x，y＞0，满足x+y＝2，则2x+2y的最大值为4
B．若x＜，则函数y＝2x+的最小值为3
C．若0＜x＜1，则函数y＝的最小值为2
D．函数y＝的最小值为9
9．已知函数f（x）＝ax+b（其中a、b∈R）满足：对任意的x∈[0，有|f（x）|≤1，则（2a+1）（2b+1）　 　．
10．已知x＞2，求函数的最小值．
11．已知实数a＞0，b＞0，a+2b＝2．
（1）求+的最小值；
（2）求a2+4b2+5ab的最大值．
12．设x+y＝6（x＞0，y＞0），且+的最小值为m．
（1）求m；
（2）若关于x的不等式ax2﹣ax+m≥0的解集R，求a的取值范围．
13．已知函数f（x）＝﹣2x2+4mx﹣1
（1）若m＝2，θ∈（0，），求的最大值
（2）若对于任意的x∈[﹣1，1]，y＝f（x），求m的值．
14．（1）已知0＜x＜1，求x（4﹣3x）的最大值及取得最大值时x的值；
（2）求函数y＝（x＞1）的最小值及取得最小值时x的值．
15．（1）已知x＞1，求x+的最小值；
（2）已知a，b∈R+，且2a+b＝1，求的最小值．
16．设x＞0，y＞0，且2x+8y＝xy
17．正数x，y满足+＝1．
（1）求xy的最小值；
（2）求x+2y的最小值．
18．已知m＞0，n＞0，不等式x2+mx﹣12＜0的解集为（﹣6，n）．
（1）求实数m，n的值；
（2）正实数a，b满足na+2mb＝2，求的最小值．
19．利用不等式求最值：
已知x＞0，y＞0，且＝2
20．用长度为80米的护栏围成一个一面靠墙的矩形空间的三面，求矩形的长和宽分别为多少米时，该矩形的面积最大
21．某人10万元买了1辆车，每年使用的保险费．养路费和油费共1万元，年维修费第一年0.2万元，则这种汽车使用　 　年时，它的年平均费用最少．
22．中国“一带一路”战略构想提出后，遂宁市某企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发一款大型电子设备，每生产x台，需要另投入成本c（x）（万元），c（x）＝+40x+50（万元）；当年产量不小于80台时，c（x）﹣2181（万元），若每台设备售价为100万元，该企业生产的电子设备能全部售完．
（1）求年利润y（万元）关于年产量x台的函数关系式；
（2）当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备生产中所获利润最大？
23．北京冬奥会计划于2022年2月4日开幕，随着冬奥会的临近，中国冰雪运动也快速发展，不仅带动冰雪活动，更推动冰雪产业快速发展．某冰雪产业器材厂商，每生产x千件，需另投入成本为C（x）（万元）（x）与x之间的关系为：，通过市场分析，该厂年内生产的商品能全部销售完．若将产品单价定为400元．
（1）写出年利为L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
24．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元（百辆）需另投入成本y（万元），且y＝，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．
（1）求出2020年的利润S（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝销售额﹣成本）
（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
25．若x，y均大于零，且x+y＝1，则+（　　）
A．5 B．4 C．9 D．10
26．若存在x∈[0，1]，使得，则实数m的取值范围是 　 　．
27．设，函数在（0，tn）上的最小值均为M，则（　　）
A．若M＝9，则n的最大值为4 B．若M＝7，则n的最大值为3
C．若M＝5，则n的最大值为2 D．若M＝3，则n的最大值为1
28．设正实数a，b满足a+b＝1，则（　　）
A．有最小值4 B．有最大值
C．+有最大值 D．a2+b2有最小值
29．已知A＝{x||x﹣m|≤1}，B＝{x|x2+2x﹣8≤0}．
（1）若m＝2，求A∪B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
30．已知正实数a，b满足a+b＝3．
（1）求的最大值；
（2）若不等式对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．
31．已知x＞0，y＞0，且x+4y＝40．
（Ⅰ）求xy的最大值；
（Ⅱ）求的最小值．
32．2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破．为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策．
（1）若购买农资不超过2000元，则不给予优惠；
（2）若购买农资超过2000元但不超过5000元，则按原价给予9折优惠；
（3）若购买农资超过5000元，不超过5000元的部分按原价给予9折优惠，超过5000元的部分按原价给予7折优惠．
该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案：
方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3150元和4850元；
方案二：一次性付款购买．
若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省　 　元．
33．已知函数f（x）＝，若正数a，b满足f（4a）（b﹣9）＝0，则的最小值为　 　．
34．若正数a，b满足a+b+2＝ab，则的最小值是 　 　，此时b＝　 　．
35．若x＞1，则y＝x+的最小值为 　 　．
36．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从　 　年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
37．若对任意实数x＞1，，则最小值是　 　．
38．设a＞0，b＞1，若a+b＝2，则　 　．
39．已知a＞0，b＞0，且a2+b2＝1．
（Ⅰ）若对于任意的正数a，b，不等式|2x﹣1|≤恒成立；
（Ⅱ）证明：．
40．已知x＞0，y＞0，且2x+5y＝20．
（1）求xy的最大值；
（2）求的最小值．
41．我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全．如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起．根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每万部的销售收入为R（x）万美元（x）＝．当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元．
（1）写出年利润W（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
42．温州某农家乐度假区，为了吸引顾客，将对农家乐内一块凸五边形区域进行开发利用（单位：百米）．具体要求为：以CD为边，在剩余的边上取一点P，剩下部分将开发餐饮，儿童娱乐等设施，△CDP的面积为f（x）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）根据以往农家乐旅游收入和成本运营情况，△CDP区域的创收金额（万元）跟面积成正比，剩下区域的创收金额（万元）跟面积成反比，求该农家乐创收金额的最大值．
人教A版（2019）必修第一册《2.2 基本不等式》2021年同步练习卷
参考答案与试题解析
1．已知全集为R，对任意集合A，B，下列式子恒不成立的是（　　）
A．A∪B＝A∪ B．A∩B＝A∩ C．∩B＝∪B D．∩B＝A∪
【分析】举例说明ABC错误，分类分析D正确即可．
【解答】解：取A＝R，则对任意集合B，故A错误；
取A＝ ，则对任意集合B，故B错误；
取＝B，则∪B；
对于D，若A＝R，则∩B＝ ＝R，；
若A＝ ，B＝R，则，A∪，∩B≠A∪；
若A＝B，则∩B＝ ＝R，；
若A∩B＝ ，如图，
则∩B＝B＝，∩B≠A∪；
若A∩B≠ ，如图，
则∩B为图中阴影部分为图中非阴影部分，；
若A B，如图，
则∩B为图中阴影部分为图中非阴影部分，；
若A B，如图，
则∩B＝ ＝，∩B≠A∪．
综上所述，∩B＝A∪．
故选：D．
2．已知x＞2，那么函数的最小值是（　　）
A．5 B．6 C．4 D．8
【分析】根据基本不等式的性质判断即可．
【解答】解：已知x＞2，则x﹣2＞8，
函数＝+（x﹣2）+5≥2，
当且仅当x＝4时“＝”成立，
故函数的最小值是3，
故选：B．
3．已知f（x）＝2sinx+|1﹣a|+|a+3|，a∈R．
（1）若f（0）＞6，求实数a的取值范围；
（2）证明：对 x∈R，f（x）≥|a+3|﹣|+1|．
【分析】（1）由已知可得|a﹣1|+|a+3|＞6，然后分a≥1，﹣3＜a＜1，a≤﹣3三种情况去绝对值，即可求解a的取值范围；
（2）分析可得要证明对 x∈R，f（x）≥|a+3|﹣|+1|恒成立，只需证|a﹣1|+|+1|≥2，利用绝对值三角不等式变形后再由基本不等式即可证明．
【解答】（1）解：由f（0）＞6，可得|a﹣1|+|a+7|＞6，
当a≥1时，不等式化为a﹣6+a+3＞6；
当﹣5＜a＜1时，不等式化为1﹣a+a+5＞6，不成立；
当a≤﹣3时，不等式化为8﹣a﹣a﹣3＞6．
综上，原不等式的解集为{a|a＜﹣8或a＞2}．
（2）证明：要证明对 x∈R，f（x）≥|a+3|﹣|，
需证明对 x∈R，2sinx≥﹣|a﹣1|﹣|，即﹣|a﹣1|﹣|min．
∵（sinx）min＝﹣8，∴只需证﹣|a﹣1|﹣|，即|a﹣4|+|．
∵|a﹣1|+|+1|≥|a﹣1+|＝|a|+|，当且仅当a＝±4时等号成立，
∴原命题成立．
4．已知函数f（x）＝|2x﹣a|．
（1）若对于任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥2﹣|x+1|恒成立；
（2）若f（x）≤m，f（y）≤mx﹣y﹣
【分析】（1）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥2﹣|x+1|等价于|2x﹣a|≥1﹣x，去绝对值可得a≤3x﹣1或a≥x+1，分别求出3x﹣1的最小值与x+1的最大值，即可求得a的取值范围；
（2）由已知可得|2x﹣a|≤m，|2y﹣a|≤m，等价于|6x﹣4y﹣a|≤5m，再由绝对值三角不等式的性质证明．
【解答】解：（1）当x∈[﹣1，1]时，
∴f（x）≥3﹣|x+1|，即|2x﹣a|≥3﹣x﹣1，
则2x﹣a≥5﹣x或2x﹣a≤﹣1+x，得a≤2x﹣1或a≥x+1，
于是有a≤（8x﹣1）min或a≥（x+1）max，
又x∈[﹣4，1]，
因此实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[6；
证明：（2）由f（x）≤m，f（y）≤m，
得|2x﹣a|≤m，|2y﹣a|≤m，
要证，只需证|6x﹣8y﹣a|≤5m，
而|6x﹣5y﹣a|＝|（6x﹣3a）﹣（7y﹣2a）|＝|3（4x﹣a）﹣2（2y﹣a）|
≤|3（2x﹣a）|+|2（7y﹣a）|≤3m+2m＝7m，
∴．
5．已知x＞3，y＝x+，则y的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】x+＝x﹣3++3，由基本不等式可知y≥5，即可得最小值．
【解答】解：因为y＝x+＝x﹣8+，又因为x＞7，
所以y≥5，当且仅当x＝4时，
故选：D．
6．若a，b都为正实数，a+2b＝1（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用基本不等式1＝a+2b≥2，求解即可，注意等号成立的条件．
【解答】解：∵a，b都为正实数，
∴1＝a+2b≥3，
∴ab≤（当且仅当a＝2b＝，b＝，
故选：D．
7．若正数m，n，满足2m+n＝1，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：正数m，n，满足2m+n＝1，
则＝（2m+n） （++≥+2＝+m＝．
∴的最小值为：+．
故选：B．
8．下列说法不正确的是（　　）
A．若x，y＞0，满足x+y＝2，则2x+2y的最大值为4
B．若x＜，则函数y＝2x+的最小值为3
C．若0＜x＜1，则函数y＝的最小值为2
D．函数y＝的最小值为9
【分析】利用基本不等式求解最值，对四个选项逐一分析判断即可．
【解答】解：对于A，因为x，满足x+y＝2，
则2x+6y≥，
当且仅当x＝y＝1时取等号，
所以2x+5y的最小值为4，
故选项A错误；
对于B，因为x＜，
所以y＝2x+＝，
当且仅当x＝0时取等号，
所以函数y＝7x+的最大值为﹣1，
故选项B错误；
对于C，因为0＜x＜5，
所以y＝，
当且仅当x＝1时取等号，
则等号取不到，
所以ymin＞2，
故选项C错误；
对于D，y＝＝＝，
当且仅当cosx＝±sinx时取等号，
所以函数y＝的最小值为9，
故选项D正确．
故选：ABC．
9．已知函数f（x）＝ax+b（其中a、b∈R）满足：对任意的x∈[0，有|f（x）|≤1，则（2a+1）（2b+1）　﹣9　．
【分析】首先求得f（0）和f（1）的值，然后将原问题转化为关于f（0），f（1）的最值的问题，据此即可求得（2a+1）（2b+1）的最小值．
【解答】解：因为f（x）＝ax+b，对任意x∈[0，有|f（x）|≤1，
所以f（0）＝b，f（1）＝a+b，a＝f（1）﹣f（0），
所以（6a+1）（2b+6）＝4ab+2（a+b）+6＝4[f（1）﹣f（0）×f（0）+2f（1）+8
＝﹣4f（0）2+2f（0）f（1）﹣f（1）2+f（1）2+8f（1）+1
＝﹣[f（1）﹣2f（0）]6+[f（1）+1]2≥﹣[f（1）﹣4f（0）]2，
当f（1）＝﹣1，f（0）＝8时2最大为9，
此时﹣[f（1）﹣8f（0）]2最小为﹣9，
所以（7a+1）（2b+8）的最小值为﹣9，
故答案为：﹣9．
10．已知x＞2，求函数的最小值．
【分析】根据x＞2，可知x﹣2＞0，然后由＝x﹣2+，利用基本不等式求出最小值．
【解答】解：∵x＞2，∴x﹣2＞5，
∴＝x﹣4+≥，
当且仅当x﹣6＝，即x＝2时取等号，
∴f（x）min＝6．
11．已知实数a＞0，b＞0，a+2b＝2．
（1）求+的最小值；
（2）求a2+4b2+5ab的最大值．
【分析】（1）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出；
（2）利用a＝2﹣2b将a2+4b2+5ab＝﹣2（b﹣）2+，再利用二次函数求最大值即可得出．
【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0．
∴＝＝＝，
当且仅当，即a＝b时等式成立，
∴的最小值为．
（2）∵a＞4，b＞0．
∴a＝2﹣2b＞0，可得0＜b＜7，
a2+4b2+5ab＝（2﹣2b）2+4b4+5（2﹣3b）b＝﹣2b2+7b+4＝﹣2（b﹣）2+，
当b＝时，a2+4b4+5ab有最大值为．
12．设x+y＝6（x＞0，y＞0），且+的最小值为m．
（1）求m；
（2）若关于x的不等式ax2﹣ax+m≥0的解集R，求a的取值范围．
【分析】（1）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
（2）利用一元二次不等式的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵x+y＝6（x＞0，y＞5），
∴+＝（+＝（+≥（2＝，
当且仅当＝，即x＝时取等号，
∴m＝．
（2）关于x的不等式ax3﹣ax+m≥0的解集R 关于x的不等式ax2﹣ax+≥0的解集R，
①当a＝3时，≥5恒成立，
②当时，则0＜a≤，
综上，a的取值范围为[0，]．
13．已知函数f（x）＝﹣2x2+4mx﹣1
（1）若m＝2，θ∈（0，），求的最大值
（2）若对于任意的x∈[﹣1，1]，y＝f（x），求m的值．
【分析】（1）若m＝2，＝﹣（2sinθ+）+8，利用基本不等式，即可求的最大值
（2）若对于任意的x∈[﹣1，1]，y＝f（x）的最大值为7，分类讨论，建立方程，即可求m的值．
【解答】解：（1）m＝2，f（x）＝﹣2x2+8x﹣1
∴＝﹣（2sinθ+，
∵θ∈（0，），
∴sinθ＞0，＞4，
∴2sinθ+≥6，
∴≤﹣2，
∴的最大值为﹣2；
（2）函数f（x）＝﹣5x2+4mx﹣3的对称轴为x＝m，
m＜﹣1，y＝f（x）的最大值为f（﹣1）＝﹣4﹣4m﹣1＝4；
m＞1，y＝f（x）的最大值为f（1）＝﹣2+3m﹣1＝7；
﹣7≤m≤1，y＝f（x）的最大值为f（m）＝2m3﹣1＝7，∴m＝±5（舍去）．
14．（1）已知0＜x＜1，求x（4﹣3x）的最大值及取得最大值时x的值；
（2）求函数y＝（x＞1）的最小值及取得最小值时x的值．
【分析】（1）x（4﹣3x）＝×（3x）×（4﹣3x），然后结合基本不等式即可求解；
（2）先进行分离，y＝＝（x﹣1）++2，然后结合基本不等式可求．
【解答】解：（1）因为0＜x＜1，
所以x（5﹣3x）＝×（3x）×（4﹣7x），
当且仅当3x＝4﹣6x，即x＝；
（2）因为x＞8，所以x﹣1＞0，
所以y＝＝（x﹣5）+，
当且仅当x﹣3＝，即x＝5+，此时函数取得最小值．
15．（1）已知x＞1，求x+的最小值；
（2）已知a，b∈R+，且2a+b＝1，求的最小值．
【分析】（1）根据基本不等式即可求出最小值；
（2）利用乘“1”法，根据基本不等式即可求出．
【解答】解：（1）x＞1，x++6≥2+2，即x＝5+，
故x+的最小值为2；
（2）a，b∈R+，且8a+b＝1，＝（2a+b）（+≥4+2，当且仅当＝，b＝，
故的最小值为4．
16．设x＞0，y＞0，且2x+8y＝xy
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：由2x+8y＝xy，及x＞2，得到+，
∴x+y＝（x+y）（+）＝8+3++＝18，y＝6时取等号．
∴x+y的最小值为18．
17．正数x，y满足+＝1．
（1）求xy的最小值；
（2）求x+2y的最小值．
【分析】（1）直接利用基本不等式的性质求解．
（2）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0，+，
那么：1＝+≥2＝，即x＝6．
即：，
所以：xy的最小值36．
（2）∵x＞0，y＞8，+，
那么：x+2y＝（x+2y）（+）＝y，即x＝时取等号．
所以：x+2y的最小值为．
18．已知m＞0，n＞0，不等式x2+mx﹣12＜0的解集为（﹣6，n）．
（1）求实数m，n的值；
（2）正实数a，b满足na+2mb＝2，求的最小值．
【分析】（1）直接利用方程和不等式之间的转换，利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出m和n的值．
（2）利用不等式的性质和基本关系式的应用求出结果．
【解答】解：（1）不等式x2+mx﹣12＜0的解集为（﹣3，n）．
所以﹣6和n为x2+mx﹣12＝6的两根，
所以：﹣6n＝﹣12，解得n＝2．
﹣8+2＝﹣m，解得m＝4．
所以m＝2，n＝2．
（2）正实数a，b满足na+2mb＝7，解得a+4b＝1，
所以＝＝5+时，等号成立）．
19．利用不等式求最值：
已知x＞0，y＞0，且＝2
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出x+y的最小值．
【解答】解：∵x＞0，y＞0且，
∴x+y＝＝≥＝8，
当且仅当，即x＝4，
∴x+y的最小值为8．
20．用长度为80米的护栏围成一个一面靠墙的矩形空间的三面，求矩形的长和宽分别为多少米时，该矩形的面积最大
【分析】设矩形的宽为x米，则长为（80﹣2x）米，矩形面积为S，则S＝x（80﹣2x）＝[2x（80﹣2x）]，从而即可利用基本不等式的常用结论进行求解．
【解答】解：设矩形的宽为x米，则长为（80﹣2x）米，
则S＝x（80﹣2x）＝[2x（80﹣4x）]≤）7＝800，
当且仅当2x＝80﹣2x，即x＝20时等号成立，
所以矩形的长为40米，宽为20米时，且面积的最大值为800平方米．
21．某人10万元买了1辆车，每年使用的保险费．养路费和油费共1万元，年维修费第一年0.2万元，则这种汽车使用　10　年时，它的年平均费用最少．
【分析】通过记第n年维修费用为an，计算可知an＝0.1n+0.1（万元），进而可知前n年维修费用An＝（万元），化简可知年平均费用S＝++，进而利用基本不等式计算即得结论．
【解答】解：依题意，记第n年维修费用为an，则an＝0.2+8.1（n﹣1）＝7.1n+0.2（万元），
则前n年维修费用An＝＝＝（万元），
故年平均费用S＝＝++，
∵+≥5＝，
当且仅当＝即n＝10，
∴这种汽车使用10年时，
故答案为：10．
22．中国“一带一路”战略构想提出后，遂宁市某企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发一款大型电子设备，每生产x台，需要另投入成本c（x）（万元），c（x）＝+40x+50（万元）；当年产量不小于80台时，c（x）﹣2181（万元），若每台设备售价为100万元，该企业生产的电子设备能全部售完．
（1）求年利润y（万元）关于年产量x台的函数关系式；
（2）当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备生产中所获利润最大？
【分析】（1）根据已知条件，分0＜x＜80且x∈N，x≥80且x∈N两种情况讨论，即可求解．
（2）当0＜x＜80且x∈N时，结合二次函数的配方法，可得最大值为1250，当x≥80且x∈N时，结合均值不等式，可得最大值为1500，即可求解．
【解答】解：（1）当0＜x＜80且x∈N时，
y＝100x﹣500﹣＝，
当x≥80且x∈N时，
y＝100x﹣500﹣＝，
综上所述，．
（2）当3＜x＜80且x∈N时，
y＝＝，当x＝60时，
当x≥80且x∈N时，
y＝＝，
当且仅当，即x＝91时，
故当年产量为91台时，该企业在这一电子设备生产中所获利润最大
23．北京冬奥会计划于2022年2月4日开幕，随着冬奥会的临近，中国冰雪运动也快速发展，不仅带动冰雪活动，更推动冰雪产业快速发展．某冰雪产业器材厂商，每生产x千件，需另投入成本为C（x）（万元）（x）与x之间的关系为：，通过市场分析，该厂年内生产的商品能全部销售完．若将产品单价定为400元．
（1）写出年利为L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【分析】（1）当0＜x＜60且x∈N*时，L＝40x﹣＝，当x≥60且x∈N*时，L＝40x﹣50x﹣＝1780﹣10x﹣，即可求解．
（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：（1）当0＜x＜60且x∈N*时，L＝40x﹣＝，
当x≥60且x∈N*时，L＝40x﹣50x﹣，
故L＝．
（2）当4＜x＜60且x∈N*时，L＝，
此时当x＝40时，Lmax＝200，
当x≥60且x∈N*时，L＝，
当且仅当，即x＝72时，
故该厂年产量为72千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．
24．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元（百辆）需另投入成本y（万元），且y＝，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．
（1）求出2020年的利润S（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝销售额﹣成本）
（2）当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）根据年利润＝销售额﹣投入的总成本﹣固定成本，分0＜x＜40和x≥40两种情况得到利润S（万元）关于年产量x（百辆）的分段函数关系式；
（2）当0＜x＜40时利用二次函数的性质求出S的最大值，当x≥40时，利用基本不等式求S的最大值，最后再比较即可．
【解答】解：（1）当0＜x＜40时，S（x）＝500x﹣10x2﹣100x﹣3000＝﹣10x2+400x﹣3000，
当x≥40时，S（x）＝500x﹣501x﹣，
∴S（x）＝；
（2）当3＜x＜40时，S（x）＝﹣10x2+400x﹣3000，
这个二次函数的对称轴为x＝20，所有当x＝20时，
当x≥40时，S（x）＝），
∵，当且仅当x＝，等号成立，
∴S（x）≤1500﹣200＝1300，
即当x＝100时，S（x）取到最大值1300，
∵1300＞1000，
∴当x＝100时，即2020年产量为100百辆时，且最大利润为1300万元．
25．若x，y均大于零，且x+y＝1，则+（　　）
A．5 B．4 C．9 D．10
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：x+y＝1，则＝（+≥5+2，当且仅当y＝2x＝，
故选：C．
26．若存在x∈[0，1]，使得，则实数m的取值范围是 　（﹣∞，]　．
【分析】不等式化为m≤（3x+）﹣，求出x∈[0，1]时（3x+）﹣的最大值，即可得出m的取值范围．
【解答】解：不等式可化为m≤x+）﹣，
设t＝5x，因为x∈[0，1]，7]＝，
所以（5x+）﹣＝）﹣，
设f（t）＝（t+，则f（t）在区间[6，
所以f（t）的最大值为f（3）＝，
所以m≤，
即实数m的取值范围是（﹣∞，]．
故答案为：（﹣∞，]．
27．设，函数在（0，tn）上的最小值均为M，则（　　）
A．若M＝9，则n的最大值为4 B．若M＝7，则n的最大值为3
C．若M＝5，则n的最大值为2 D．若M＝3，则n的最大值为1
【分析】分别求出x+和tn﹣x+的最小值，求出取最小值时x以及tn的值，求出答案即可．
【解答】解：∵当x＞0时，x+＝2，
    又∵tn﹣x+≥4，
当且仅当tn﹣x＝，即tn﹣x＝5时“＝”成立，
∴tn＝x+1，
∴当x+取最小值即x＝7时，tn有最小值tn＝2
∴函数f（x）在区间（0，5）有最小值，tn＝2时
≥（2）（6
∴M＝5＞2且最接近于4，
故选：C．
28．设正实数a，b满足a+b＝1，则（　　）
A．有最小值4 B．有最大值
C．+有最大值 D．a2+b2有最小值
【分析】由a+b＝1，根据，逐一判断各选项即可．
【解答】解：正实数a，b满足a+b＝1，可得0＜ab≤，
即有+＝≥4，+取得最小值4；
由4＜≤，可得；
由+＝＝≤＝，
可得a＝b时，+取得最大值；
由a2+b3≥2ab可得2（a6+b2）≥（a+b）2＝8，
则a2+b2≥，当a＝b＝时，a2+b2取得最小值．
综上可得A，B，C，D均正确．
故选：ABCD．
29．已知A＝{x||x﹣m|≤1}，B＝{x|x2+2x﹣8≤0}．
（1）若m＝2，求A∪B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【分析】（1）分别求出A，B，代入m的值，求出A，B的并集即可；
（2）根据充分必要条件的定义得到关于m的不等式组，解出即可．
【解答】解：集合A＝{x|m﹣1≤x≤m+1}，集合B＝{x|﹣2≤x≤2}．
（1）若实数m＝2，则A＝{x|3≤x≤3}，
所以A∪B＝{x|1≤x≤2}∪{x|﹣4≤x≤2}＝{x|﹣8≤x≤3}．
（2）因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以A B，
所以或，解得﹣3≤m≤1，
所以实数m的取值范围为[﹣8，1]．
30．已知正实数a，b满足a+b＝3．
（1）求的最大值；
（2）若不等式对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．
【分析】（1）先平方，再利用基本不等式，即可得最大值；
（2）根据基本不等式求得，+的最小值为3，根据绝对值不等式的性质，不等式|x+2m|﹣|x﹣1|≤+对任意x∈R恒成立，转化为|2m+1|≤3解得即可．
【解答】解：（1）∵正实数a，b满足a+b＝3．
∴（）2＝（2a+1）+（5b+1）+2≤（2a+1）+（5b+1）+（2a+2）+（2b+1）
＝4（a+b）+4＝16．
当且仅当a＝b＝时取等号．
∴的最大值为4．
（2）由题意得，+＝（a+b）（+（5++（4+2；
当且仅当，即a＝1．
∴+的最小值为3．
又|x+8m|﹣|x﹣1|≤|2m+4|．
不等式|x+2m|﹣|x﹣1|≤+对任意x∈R恒成立，
∵|x+2m|﹣|x﹣2|≤|（x+2m）﹣（x﹣1）|＝|7m+1|，
∴只需|2m+3|≤3即可．
解得﹣2≤m≤6．
m的取值范围为[﹣2，1]．
31．已知x＞0，y＞0，且x+4y＝40．
（Ⅰ）求xy的最大值；
（Ⅱ）求的最小值．
【分析】（1）由已知得，40＝x+4y＝4，解不等式可求，
（2）由题意得，＝（）（x+4y），展开后结合基本不等式可求．
【解答】解：（1）x＞0，y＞0，
∴40＝x+8y＝7，
当且仅当x＝4y且x+4y＝40即x＝20，y＝5时取等号，
解得，xy≤100，
故xy的最大值100．
（2）因为x＞0，y＞0．
所以＝（）（x+4y）＝＝，
当且仅当x＝2y且x+2y＝40即x＝，y＝，
所以的最小值．
32．2020年11月23日国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大突破．为了使扶贫工作继续推向深入，2021年某原贫困县对家庭状况较困难的农民实行购买农资优惠政策．
（1）若购买农资不超过2000元，则不给予优惠；
（2）若购买农资超过2000元但不超过5000元，则按原价给予9折优惠；
（3）若购买农资超过5000元，不超过5000元的部分按原价给予9折优惠，超过5000元的部分按原价给予7折优惠．
该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案：
方案一：分两次付款购买，实际付款分别为3150元和4850元；
方案二：一次性付款购买．
若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省　700　元．
【分析】利用方案一，可以确定总的原价，进而解出方案二实际支付的价钱，即可得出结果．
【解答】解：由方案一可得出总价，
第一次花3150元，可以判断出2000～5000区间，
原价＝3150÷90%＝3500（元），
第二次花4850元，可以判断出原价大于5000元，
5000元以内的部分：5000×90%＝4500元，
多出4850﹣4500＝350元，是打七折的部分，
350÷0.7＝500元，
总原价为：3500+5000+500＝9000元，
由方案二：5000×90%+（9000﹣5000）×4.7＝7300元，
∴所以比方案一节省：3150+4850﹣7300＝700元．
33．已知函数f（x）＝，若正数a，b满足f（4a）（b﹣9）＝0，则的最小值为　1　．
【分析】求得f（x）为奇函数，且在R上递增，可得4a+b＝9，则＝（4a+b）（），展开后运用基本不等式即可得到所求最小值．
【解答】解：函数f（x）＝，
可得f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），
可得f（x）为奇函数，
由f（x）＝1﹣可得f（x）在R上递增，
则f（4a）+f（b﹣4）＝0，
即有f（4a）＝﹣f（b﹣8）＝f（9﹣b），
可得4a＝8﹣b，
即为4a+b＝9，
则＝（4a+b）（）
＝（3+1++）
≥×（5+3，
当且仅当b＝2a＝4时，取得等号．
则的最小值为7．
故答案为：1．
34．若正数a，b满足a+b+2＝ab，则的最小值是 　2　，此时b＝　2　．
【分析】先由a+b+2＝ab求出，再根据基本不等式求解即可．
【解答】解：∵a+b+2＝ab，∴b+2＝ab﹣a，∴，
∴＝＝＝≥，
即≥2，即b＝5时取等号，
故答案为：2；2．
35．若x＞1，则y＝x+的最小值为 　7　．
【分析】根据题意，分析可得y＝x+＝（x﹣1）++1，由基本不等式的性质求出（x﹣1）+的最小值，进而分析可得答案．
【解答】解：根据题意，y＝x++1，
又由x＞4，则x﹣1＞0≥2，当且仅当x＝4时等号成立，
则有y＝x+≥6+1＝7，
则y＝x+的最小值为8；
故答案为：7．
36．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从　2021　年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
【分析】快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y＝400×（1+50%）n＝400×（）n，代值计算即可求出答案．
【解答】解：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，
由题意可得y＝400×（1+50%）n＝400×（）n，
由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，
∴4000＝400×（）n，
∴（）n＝10，
两边取对数可得n（lg3﹣lg3）＝1，
∴n（0.4771﹣4.3010）＝1，
解得0.176n＝5，
解得n≈6，
∴从2015+6＝2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，
故答案为：2021．
37．若对任意实数x＞1，，则最小值是　8　．
【分析】把要求的式子变形，2次使用基本不等式，求得它的最小值．
【解答】解：对任意实数x＞1，，则令a＝2y﹣1＞5，
＝+＝+≥2
＝3 ＝2 ++）
≥2 （2+）＝2（2+2）＝8，等号成立，
故 的最小值为8，
故答案为：4．
38．设a＞0，b＞1，若a+b＝2，则　16　．
【分析】由已知可得＝（）[（a+（b﹣1）]＝10+，然后利用基本不等式可求．
【解答】解：因为a＞0，b＞1，
则＝（＝16，
当且仅当且a+b＝2即a＝时取等号，
故答案为：16．
39．已知a＞0，b＞0，且a2+b2＝1．
（Ⅰ）若对于任意的正数a，b，不等式|2x﹣1|≤恒成立；
（Ⅱ）证明：．
【分析】（Ⅰ）利用基本不等式转化求解的最小值，然后转化求解不等式，即可实数x的取值范围；
（Ⅱ）：展开，通过构造法，结合基本不等式求解不等式的最小值，即可证明不等式．
【解答】解：（Ⅰ）因为a2+b2＝8，所以
即≥4时取等号的最小值是8．
于是|2x﹣1|≤4，所以．
故实数x的取值范围是．
（Ⅱ）证明：
＝a4+b4+
＝（a2+b8）2+﹣2a2b2
＝（a2+b2）3+2﹣2a2b4
＝（a2+b2）2＝1，
当且仅当时取等号．故．
40．已知x＞0，y＞0，且2x+5y＝20．
（1）求xy的最大值；
（2）求的最小值．
【分析】（1）由x＞0，y＞0，且2x+5y＝20．利用基本不等式的性质即可得出xy的最大值；
（2）由x＞0，y＞0，且2x+5y＝20．可得＝（2x+5y） （）＝（7++），利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0．
∴20≥7，化为：xy≤10．
∴xy的最大值为10．
（2）∵x＞3，y＞0．
∴＝（2x+5y） （（7++（7+3（7+2），
当且仅当y＝x．
∴的最小值为：）．
41．我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全．如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起．根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每万部的销售收入为R（x）万美元（x）＝．当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元．
（1）写出年利润W（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）由题意可算出k＝6，分段分别求出利润W（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式，再写为分段函数的形式即可．
（2）当0＜x≤40时W＝﹣6x2+384x﹣40，利用二次函数的性质求出W的最大值，当x＞40时W＝﹣﹣16x+7360，利用基本不等式求出W的最大值，再比较两者的大小，取较大者即为W的最大值．
【解答】解：（1）由题意可算出k＝6，则
当0＜x≤40时，W＝xR（x）﹣（16x+40）＝﹣7x2+384x﹣40，
当x＞40时，W＝xR（x）﹣（16x+40）＝﹣，
∴W＝．
（2）①当0＜x≤40时，W＝﹣5x2+384x﹣40＝﹣6（x﹣32）2+6104，
∴当x＝32时，Wmax＝W（32）＝6104，
②当x＞40时，W＝﹣+16x）+7360，当且仅当，等号成立，
即当x＝50时，Wmax＝5760，
综上所述，当x＝32时，
即当年产量为32万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大．
42．温州某农家乐度假区，为了吸引顾客，将对农家乐内一块凸五边形区域进行开发利用（单位：百米）．具体要求为：以CD为边，在剩余的边上取一点P，剩下部分将开发餐饮，儿童娱乐等设施，△CDP的面积为f（x）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）根据以往农家乐旅游收入和成本运营情况，△CDP区域的创收金额（万元）跟面积成正比，剩下区域的创收金额（万元）跟面积成反比，求该农家乐创收金额的最大值．
【分析】（1）建立坐标系分情况讨论从而求解f（x）．
（2）设创收为g（x），求出g（x）的表达式再求出最大值．
【解答】解：建立如图所示的坐标系：
（1）∵C（8，4），3），直线CD方程为：x+y﹣12＝5．
SABCDE＝56（百米2），设SΔCDP＝S．
当P在线段AB上时，P（x，
dP﹣CD＝，∴S＝24﹣2x；
当P在线段BC上时，P（8，），
dP﹣CD＝，∴S＝7﹣2；
当P在线段DE上时，P（），
dP﹣CD＝，∴S＝8﹣2；
当P在线段AE上时，P（4
dP﹣CD＝，∴S＝24﹣2x；
综上f（x）＝'
（2）设该农家乐的收入入g（x），则：
g（x）＝＝；
由此可知g（x）在定义域上为减函数，
∴g（x）max＝g（0）＝49（万元）即P与A重合时，收入最高为49万元．
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