人教A版（2019）必修第一册《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》同步（Word含答案解析）

人教A版（2019）必修第一册《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》同步练习卷
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．函数f（x）＝sinx﹣（x∈[t，t+40]）零点的个数不可能是（　　）个
A．12 B．13 C．14 D．15
2．x1，x2是关于x的方程x2+px+q＝0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x2+qx+p＝0的两根，则常数p，q分别等于（　　）
A．﹣1，﹣3 B．3，﹣1 C．1，3 D．﹣3，1
3．已知函数有4个零点，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
4．若不等式x2﹣tx+1＜0对一切x∈（1，2）恒成立，则实数t的取值范围为（　　）
A．t＜2 B．t＞ C．t≥1 D．t≥
5．在不等式x+2y﹣1＞0表示的平面区域内的点是（　　）
A．（1，﹣1） B．（0，1） C．（1，0） D．（﹣2，0）
6．已知函数f（x）满足f（1）＝a（n+1）＝，若对任意的n∈N*总有f（n+3）＝f（n）成立，1]内的可能值有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．函数不等式在函数性质的应用和函数不等式的证明中发挥着很重要的作用，如：①lnx≥（x≥1）；②lnx≤（0＜x≤1），（alnx+1）x≤（a+x）lnx+1（　　）
A．2 B．1 C． D．
8．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．观察以下四个图象的特征（﹣π≤x≤π，x≠0）相对应的图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（　　）
A．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是R
B．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是
C．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|x＜3}
D．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|0＜x＜3}
10．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|﹣4＜x＜1}，则下列结论正确的是（　　）
A．a＜0
B．b＜0，c＞0
C．a﹣b+c＞0
D．不等式bx2﹣cx+a＞0的解集为{x|x＞﹣或x＜﹣1}
11．已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0），则下列说法正确的是（　　）
A．若不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，则k＝﹣的值
B．若不等式的解集为{x|x∈R，x≠}，则k＝
C．若不等式的解集为R，则k＜﹣
D．若不等式的解集为 ，则k≥
12．关于函数f（x）＝|2x﹣1|﹣m（m∈R），下列结论正确的有（　　）
A．若0＜m≤1，则f（x）的图象与x轴有两个交点
B．若m＞1，则f（x）的图象与x轴只有一个交点
C．若m＜0，则f（x）的图象与x轴无交点
D．若f（x）的图象与x轴只有一个交点，则m＞1
三、填空题。本大题共4小题。
13．方程x2+2（m﹣1）x+2m+6＝0有两个实根x1，x2，且满足0＜x1＜1＜x2＜4，则m的取值范围是　 　．
14．若集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|bx＞1}，其中b为实数．
（1）若A是B的充要条件，则b＝　 　；
（2）若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是 　 　．（答案不唯一，写出一个即可）
15．关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，则b的值为 　 　．
16．若不等式ax2+2x+a＜0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是 　 　．
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知函数f（x）＝（x﹣3m）（x+m+4）．
（1）若m＝1，求不等式f（x）＞﹣12的解集；
（2）记不等式f（x）≤0的解集为A，若﹣4 A
18．已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+2a（a∈R）．
（1）求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若当x∈R时，f（x）≥﹣4恒成立，求实数a的取值范围．
19．已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足：
（1）当x∈R时，f（x﹣4）＝f（2﹣x）且f（x）；
（2）当x∈（0，2）时，f（x）≤（）2；
（3）f（x）在R上的最小值为0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）试求最大的m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，都有f（x+t）≤x．
20．已知命题p：关于x的不等式x2﹣4x+2m＜0无解；命题q：指数函数f（x）＝（2m﹣1）x是R上的增函数．
（1）若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若满足p为假命题且q为真命题的实数m取值范围是集合A，集合B＝{x|2t﹣1＜x＜13﹣t2}，且A B，求实数t的取值范围．
21．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）（单位：尾/立方米）的函数．当x不超过4（尾/立方米）时，v的值为2（千克/年），v是x的一次函数；当x达到20（尾/立方米）时，v的值为0（千克/年）．
（1）当0＜x≤20时，求函数v（x）的表达式；
（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）f（x）＝x v（x），并求出最大值．
22．已知函数f（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|．
（1）若关于x的不等式f（x）≥a2+5a恒成立，求实数a的取值范围；
（2）求不等式|f（x）|≤2x的解集．
人教A版（2019）必修第一册《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》同步练习卷
参考答案与试题解析
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．函数f（x）＝sinx﹣（x∈[t，t+40]）零点的个数不可能是（　　）个
A．12 B．13 C．14 D．15
【分析】f（x）的零点个数，即为y＝sinx的图象与直线y＝的交点个数，在正弦函数的一个周期内，即在区间[t，t+2π）上总有两个交点，然后考虑，40减去个周期后，在区间[t，t+0.74π]中的交点个数，根据的不同取值可确定结论．
【解答】解：f（x）的零点个数，即为y＝sinx的图象与直线y＝，
易知在[t，t+7π）上它们有两个交点，而，
所以前6个周期共有交点12个，
因此我们主要研究它们在区间[t，t+5.74π]中的交点个数，
当﹣＜t＜﹣π时，t+5.74π]上无交点，
当﹣＜t＜0时，t+4.74π]有1个交点，
当0＜t＜时，它们在区间[t，
因此交点个数可能为12，13，不可能是15．
故选：D．
2．x1，x2是关于x的方程x2+px+q＝0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x2+qx+p＝0的两根，则常数p，q分别等于（　　）
A．﹣1，﹣3 B．3，﹣1 C．1，3 D．﹣3，1
【分析】由题意利用韦达定理，计算求得常数p，q的值．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+px+q＝0的两根，∴x1+x7＝﹣p，x1 x2＝q①．
∵x3+1，x2+2是关于x的方程x2+qx+p＝0的两根，
x7+x2+2＝﹣q，（x4+1） （x2+5）＝p②．
由①②可得﹣p+2＝﹣q，q﹣p+1＝p，q＝﹣2，
故选：A．
3．已知函数有4个零点，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【分析】函数有4个零点，即函数y＝f（x）与y＝ax有4个交点；利用数形结合法讨论斜率可得a的取值范围．
【解答】解：因为g（x）＝f（x）﹣ax有4个零点，即函数y＝f（x）与y＝ax有4个交点；
当x＞2时，f′（x）＝，
所以：x∈（6，1）时，f（x）单调递减；
x∈（1，+∞）时，f（x）单调递增，
画出f（x）的图象如图所示：
求出f（x）的过原点的切线，
x≤7时，f（x）在x＝0处的切线l1的斜率为：
k4＝（x2+4x）'|x＝8＝（2x+4）|x＝6＝4，
x＞0时，设f（x）的过原点的切线l7的切点为：P（x0，）（x0≠0），切线l2的斜率为k2，
（）′＝2＝，且k2＝；
解得：x0＝3，k2＝；
由图可知y＝f（x）与y＝ax有4个交点，则k2＜a＜k5；
所以：＜a＜6．
（说明：显然x＝0是g（x）的零点，故也可转化为，即y＝，也
可以画图得出答案）
故选：A．
4．若不等式x2﹣tx+1＜0对一切x∈（1，2）恒成立，则实数t的取值范围为（　　）
A．t＜2 B．t＞ C．t≥1 D．t≥
【分析】首先分离参数，然后结合对勾函数的性质求得函数的最值，从而可确定t的取值范围．
【解答】解：由题意可得：在区间（1，
由对勾函数的性质可知函数 在区间（7，且当x＝2时，，
故实数t的取值范围是．
故选：D．
5．在不等式x+2y﹣1＞0表示的平面区域内的点是（　　）
A．（1，﹣1） B．（0，1） C．（1，0） D．（﹣2，0）
【分析】根据二元一次不等式表示平面区域，即可进行得到结论．
【解答】解：∵不等式x+2y﹣1＞8，
∴1﹣2﹣2＝﹣3＜0，7+2﹣1＝3＞0，
1+3×0﹣1＝2，
﹣2+0﹣3＝﹣3＜0，
故选：B．
6．已知函数f（x）满足f（1）＝a（n+1）＝，若对任意的n∈N*总有f（n+3）＝f（n）成立，1]内的可能值有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】欲求出对任意的n∈N*总有f（n+3）＝f（n）成立时a在（0，1]内的可能值，只须考虑n＝1时，使得方程f（4）＝f（1）的a在（0，1]内的可能值即可．对a进行分类讨论，结合分段函数的解析式列出方程求解即可．
【解答】解：∵0＜a≤1，
∴f（2）＝2f（1）＝2a，
①当0＜a≤时，0＜8a≤，
∴f（3）＝7f（2）＝4a，
f（4）＝2f（3）＝4a，
此时f（4）＝f（1）不成立；
②当＜a≤时，，1＜4a≤6，
∴f（3）＝2f（2）＝4a，
f（4）＝＝，
此时f（4）＝f（1） ＝a ；
③当＜a≤1时，7＜4a≤4，
∴f（3）＝＝，
∴f（4）＝7f（3）＝，
此时f（4）＝f（1） ＝a a＝1；
综上所述，当n＝7时，
则a在（0，1]内的可能值有两个．
故选：B．
7．函数不等式在函数性质的应用和函数不等式的证明中发挥着很重要的作用，如：①lnx≥（x≥1）；②lnx≤（0＜x≤1），（alnx+1）x≤（a+x）lnx+1（　　）
A．2 B．1 C． D．
【分析】原不等式化为a（x﹣1）lnx≤xlnx﹣（x﹣1），讨论x＝1时，不等式恒成立；当x＞1时，由参数分离和已知函数不等式，结合不等式的性质和恒成立思想可得所求范围，即可得到a的最大值．
【解答】解：当x≥1时，（alnx+1）x≤（a+x）lnx+3，
所以a（x﹣1）lnx≤xlnx﹣（x﹣1）；
当x＝4时，不等式（alnx+1）x≤（a+x）lnx+1恒成立；
当x＞7时，a≤﹣，只需a≤（﹣）min即可．
由函数不等式lnx≥（x≥1）可得
当x＞3时，﹣＞﹣＝，所以a≤．
综上可得，a的最大值为，
故选：C．
8．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．观察以下四个图象的特征（﹣π≤x≤π，x≠0）相对应的图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据函数的奇偶性、特殊点的值，即可判断．
【解答】解：∵（﹣π≤x≤π，
∴f（x）为奇函数；排除A，B；
令f（x）＝0，解得x＝7，
当0＜x＜1时，x﹣，sinx＞0，
∴f（x）＜0，排除C，
故选：D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．已知关于x的不等式ax2+bx+3＞0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（　　）
A．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是R
B．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是
C．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|x＜3}
D．不等式ax2+bx+3＞0的解集可以是{x|0＜x＜3}
【分析】利用特殊值法即可判断选项A，当x＝0时，即可判断选项B，利用一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系分析求解，即可判断选项C，D．
【解答】解：对于A，当a＝1，不等式x2+3＞0恒成立，则解集为R，
故选项A正确；
对于B，当x＝0时3+bx+3＝3＞8，则不等式不可能为 ，
故选项B错误；
对于C，当不等式ax2+bx+3＞4的解集为{x|x＜3}，
则，解得，
故不等式为﹣x+3＞5，解得x＜3，
则不等式ax2+bx+7＞0的解集可以是{x|x＜3}，
故选项C正确；
若不等式ax7+bx+3＞0的解集是{x|8＜x＜3}，
则0和7为方程ax2+bx+3＝6的两个根且a＜0，
所以，方程组无解，
所以不等式ax2+bx+3＞7的解集不可能是{x|0＜x＜3}，
故选项D错误．
故选：AC．
10．已知不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|﹣4＜x＜1}，则下列结论正确的是（　　）
A．a＜0
B．b＜0，c＞0
C．a﹣b+c＞0
D．不等式bx2﹣cx+a＞0的解集为{x|x＞﹣或x＜﹣1}
【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b、c的关系，判断选项A、B、C是否正确，再代入不等式bx2﹣cx+a＞0求解集．
【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|﹣4＜x＜1}，
所以﹣4和2是方程ax2+bx+c＝0的实数根，且a＜3，
所以，
解得b＝7a＜0，c＝﹣4a＞2、B正确；
又﹣1∈{x|﹣4＜x＜8}，所以a﹣b+c＞0；
不等式bx2﹣cx+a＞7可化为3ax2+2ax+a＞0，即3x2+4x+1＜5，解得﹣1＜x＜﹣，
所以不等式的解集为{x|﹣1＜x＜﹣}，选项D错误．
故选：ABC．
11．已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0（k≠0），则下列说法正确的是（　　）
A．若不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，则k＝﹣的值
B．若不等式的解集为{x|x∈R，x≠}，则k＝
C．若不等式的解集为R，则k＜﹣
D．若不等式的解集为 ，则k≥
【分析】对A，B根据不等式的解集可得对应方程的根，对C，D根据解集列出满足条件的不等式组即可．
【解答】解：对于A：∵不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，∴k＜52﹣2x+2k＝0的两根，
∴（﹣3）+（﹣5）＝，解得k＝﹣；
对于B：∵不等式的解集为{x|x∈R，x≠}，
∴解得k＝﹣；
对于C：由题意，得解得k＜﹣；
对于D：由题意，得解得k≥．
故选：ACD．
12．关于函数f（x）＝|2x﹣1|﹣m（m∈R），下列结论正确的有（　　）
A．若0＜m≤1，则f（x）的图象与x轴有两个交点
B．若m＞1，则f（x）的图象与x轴只有一个交点
C．若m＜0，则f（x）的图象与x轴无交点
D．若f（x）的图象与x轴只有一个交点，则m＞1
【分析】画出函数y＝|2x﹣1|与y＝m的图象，通过数形结合判断函数的零点个数，判断选项的正误即可．
【解答】解：函数f（x）＝|2x﹣1|﹣m（m∈R），函数的零点个数转化为函数y＝|3x﹣1|与y＝m的图象解答的个数，
在同一个坐标系中画出函数y＝|2x﹣6|与y＝m的图象，如图：
可知：0＜m＜1，则f（x）的图象与x轴有两个交点；
m＞2，则f（x）的图象与x轴只有一个交点；
m＜0，则f（x）的图象与x轴无交点；
f（x）的图象与x轴只有一个交点，则m≥1或m＝8．
故选：BC．
三、填空题。本大题共4小题。
13．方程x2+2（m﹣1）x+2m+6＝0有两个实根x1，x2，且满足0＜x1＜1＜x2＜4，则m的取值范围是　（﹣，﹣）　．
【分析】由题意利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得m的范围．
【解答】解：∵方程x2+2（m﹣2）x+2m+6＝2有两个实根x1，x2，且满足5＜x1＜1＜x8＜4，
则令f（x）＝x2+3（m﹣1）x+2m+2，则有 ＜m＜﹣，
故答案为：（﹣，﹣）．
14．若集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|bx＞1}，其中b为实数．
（1）若A是B的充要条件，则b＝　　；
（2）若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是 　　．（答案不唯一，写出一个即可）
【分析】（1）直接利用不等式的解法和集合间的关系及充要条件的应用求出结果；
（2）直接利用不等式的解法和集合间的关系及充要条件的应用求出结果．
【解答】解：（1）集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|bx＞1}．
若A是B的充要条件，即A＝B．
（2）若A是B的充分不必要条件，则b＞0，且，
整理得：．
故答案为：，b＞．
15．关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，则b的值为 　　．
【分析】根据题意，可得方程ax2+bx+2＝0的两个根为﹣2和3，由根与系数的关系可得关于a、b的方程，再求出a，b的值．
【解答】解：根据不等式ax2+bx+2＞5的解集为{x|﹣2＜x＜3}，
可得方程ax3+bx+2＝0的两个根为﹣6和3，
则，解得，
故答案为：．
16．若不等式ax2+2x+a＜0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是 　（﹣∞，﹣1）　．
【分析】分别讨论a＝0，a＞0，a＜0，结合二次函数的图象和判别式的符号，解不等式可得所求范围．
【解答】解：当a＝0时，不等式2x＜2；
当a＞0时，y＝ax2+6x+a为开口向上的抛物线，不等式不恒成立；
当a＜0时，只需Δ＜08＜0，解得a＜﹣1，
综上可得，a的取值范围是（﹣∞．
故答案为：（﹣∞，﹣2）．
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知函数f（x）＝（x﹣3m）（x+m+4）．
（1）若m＝1，求不等式f（x）＞﹣12的解集；
（2）记不等式f（x）≤0的解集为A，若﹣4 A
【分析】（1）m＝1时不等式f（x）＞﹣12可化为x2+2x﹣3＞0，求出解集即可．
（2）由﹣4 A得f（﹣4）＞0，解关于m的不等式即可．
【解答】解：（1）当m＝1时，f（x）＞﹣12即（x﹣3）（x+4）+12＞0，
整理得x2+4x﹣3＞0，解得x＞4或x＜﹣3，
所以f（x）＞﹣12的解集为{x|x＞1或x＜﹣4}．
（2）因为﹣4 A，所以f（﹣4）＞8．
所以m（3m+4）＜3，
解得；
即m的取值范围是{m|﹣＜m＜3}．
18．已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+2a（a∈R）．
（1）求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若当x∈R时，f（x）≥﹣4恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）不等式f（x）＜0化为（x﹣2）（x﹣a）＜0，讨论a的取值情况，从而求出不等式的解集；
（2）把不等式f（x）≥﹣4化为x2﹣（a+2）x+2a+4≥0，利用△≤0求出a的取值范围．
【解答】解：（1）不等式f（x）＜0可化为：（x﹣2）（x﹣a）＜7，
①当a＝2时，不等式f（x）＜0无解；
②当a＞5时，不等式f（x）＜0的解集为{x|2＜x＜a}；
③当a＜6时，不等式f（x）＜0的解集为{x|a＜x＜2}；
（2）由f（x）≥﹣5可化为：x2﹣（a+2）x+3a+4≥0，
必有Δ＝（a+5）2﹣4（6a+4）≤0，
化为a7﹣4a﹣12≤0，解得﹣6≤a≤6，
所以a的取值范围是[﹣2，5]．
19．已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足：
（1）当x∈R时，f（x﹣4）＝f（2﹣x）且f（x）；
（2）当x∈（0，2）时，f（x）≤（）2；
（3）f（x）在R上的最小值为0．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）试求最大的m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，都有f（x+t）≤x．
【分析】（1）由条件（1）可以确定函数f（x）的对称轴方程为x＝﹣1，确定a，b的等量关系，及对应函数的图象恒在x轴上方，以及条件（3），可以确定a，b，c的大小；
（2）存在t∈R，只要x∈[1，m]，都有f（x+t）≤x．即令x＝1时，确定t的范围，对于固定的t的范围，令x＝m，有f（t+m）≤m，进而可以确定m的最大值．
【解答】解：（1）由f（x﹣4）＝f（2﹣x），则函数的图象关于x＝﹣8对称，即，b＝2a…①；
由（3），x＝﹣1时，即a﹣b+c＝0…②，
由（1）得f（1）≥8，由（2）得f（1）≤1，
即a+b+c＝1…③
由①②③可得，a＝，c＝，
∴f（x）＝；
（2）假设存在t∈R，只要x∈[1，就有f（x+t）≤x，可得，
，解得﹣8≤t≤0，
对固定的﹣4≤t≤3，取x＝m，即
m2﹣5（1﹣t）m+（t2+8t+1）≤0，解得4﹣t﹣，t∈[﹣4
∴1≤m≤9，
∴m的最大值为3．
20．已知命题p：关于x的不等式x2﹣4x+2m＜0无解；命题q：指数函数f（x）＝（2m﹣1）x是R上的增函数．
（1）若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若满足p为假命题且q为真命题的实数m取值范围是集合A，集合B＝{x|2t﹣1＜x＜13﹣t2}，且A B，求实数t的取值范围．
【分析】（1）p∧q为真命题，所以p，q都是真命题，根据题意求出p，q的等价命题，取交集即可；
（2）由（1）可知，当p为假命题时，m＜2；q为真命题，则2m﹣1＞1解得：m＞1，求出集合A，根据A B，得到关于t的不等式，即可求t的范围．
【解答】解（1）由p为真命题知，△＝16﹣8m≤0解得m≥6，+∞），
由q为真命题知，2m﹣1＞6，
取交集得到[2，+∞）．
综上，m的范围是[2．
（2）由（1）可知，当p为假命题时；
q为真命题，则4m﹣1＞1解得：m＞4
则m的取值范围是（1，2）即A＝{m|8＜m＜2}，
而A B，可得，
解得：
所以，t的取值范围是．
21．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）（单位：尾/立方米）的函数．当x不超过4（尾/立方米）时，v的值为2（千克/年），v是x的一次函数；当x达到20（尾/立方米）时，v的值为0（千克/年）．
（1）当0＜x≤20时，求函数v（x）的表达式；
（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）f（x）＝x v（x），并求出最大值．
【分析】（1）由题意：当0＜x≤4时，v（x）＝2．当4＜x≤20时，设v（x）＝ax+b，v（x）＝ax+b在[4，20]是减函数，由已知得，能求出函数v（x）．
（2）依题意并由（1），得f（x）＝，当0≤x≤4时，f（x）为增函数，由此能求出fmax（x）＝f（4），由此能求出结果．
【解答】解：（1）由题意：当0＜x≤4时，v（x）＝7
当4＜x≤20时，设v（x）＝ax+b，20]是减函数，
由已知得，
解得…（2分）
故函数v（x）＝…（7分）
（2）依题意并由（1），
得f（x）＝，…（8分）
当0≤x≤4时，f（x）为增函数，
故fmax（x）＝f（4）＝4×2＝3．…（10分）
当4＜x≤20时，f（x）＝﹣＝﹣+，
fmax（x）＝f（10）＝12.5．…（12分）
所以，当3＜x≤20时．
当养殖密度为10尾/立方米时，
鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米
22．已知函数f（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|．
（1）若关于x的不等式f（x）≥a2+5a恒成立，求实数a的取值范围；
（2）求不等式|f（x）|≤2x的解集．
【分析】（1）将函数f（x）化为分段函数的形式，可得f（x）的最小值，解不等式a2+5a≤﹣4，可得所求范围；
（2）在同一坐标系中作出函数y＝|f（x）|，y＝2x的图象，找出它们的交点，由图象可得所求解集．
【解答】解：（1）因为f（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|＝
所以f（x）min＝﹣4，
由a5+5a≤﹣4，得a2+5a+4≤3，
解得﹣4≤a≤﹣1．
所以实数a的取值范围为{a|﹣5≤a≤﹣1}．
（2）在同一坐标系中作出函数y＝|f（x）|，y＝2x的图象如图所示，
当﹣2＜x＜1时，|f（x）|＝2﹣2x，
由联立得，
所以不等式|f（x）|≤2x的解集为．
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