苏教版（2019）必修第一册《7.4 三角函数应用》同步练习卷（Word含答案解析）

苏教版（2019）必修第一册《7.4 三角函数应用》同步练习卷
1．已知函数y＝cosax+b（a＞0）的图像如图所示，则函数y＝loga（x+b）的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
2．设函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），其图象的一条对称轴在区间（）内（x）的最小正周期大于π，则ω的取值范围为（　　）
A．（） B．（0，2） C． （1，2） D．[1，2）
3．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t秒时相对于平衡位置（即静止时的位置）（t+），t∈[0，+∞）　 　次．
4．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）图象经过点（，﹣1），（，1）（，）上单调递增．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[，π]时，求f（x）
5．函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示（π）＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
6．某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，以彰显城市积极向上的活力．某公司设计方案如图，等腰△PMN的顶点P在半径为20m的大⊙O上，N在半径为10m的小⊙O上，点O（α＜），当△PMN的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省（　　）
A． B． C． D．
7．如图，某公园摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．求2018min时点P距离地面的高度 　 　，当离地面50+20m以上时，可以看到公园的全貌，在旋转10圈的过程中，可以看到公园全貌的总时长为 　 　min．
8．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道；卸货后，在落潮时返回海洋
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深/米 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5
（1）已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数y＝Acos（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，b＞0，﹣π＜φ＜π），画出函数图象；
（2）现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙（船底与洋底的距离）
参考数据：≈1.7．
9．若函数f（x）＝cosx﹣sinωx在[0，2π]内恰有2个零点（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
①函数y＝f（x）的图象关于点对称；
②函数y＝f（x）的图象关于直线对称；
③函数y＝f（x）在单调递减；
④该图象向右平移个单位可得y＝2sin2x的图象．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
11．某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销量y（万件）与广告费x（万元），已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需要再投入30万元，若每件甲产品销售价格（元）定为：“平均每件甲产品生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和，该企业甲产品的年利润比不投入广告费时的年利润增加了　 　万元．
12．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图像如图所示（）＝　 　．
13．已知A（2，0），点P在以原点O为圆心、半径为1的圆周上运动．以PA为边向外作正三角形APQ，多边形OPQA的面积为S．
（1）设∠AOP＝θ．求S＝f（θ）的表达式；
（2）设点P的横坐标为x，求S＝g（x）的表达式；
（3）请选择（1）（2）中的一种方法，求S的最大值．
14．如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为8cm，蚂蚁每12分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P0处
（1）试确定在时刻t（min）时蚂蚁距离地面的高度h（m）
（2）在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过14m？
15．如图是函数的部分图象，则ω和φ的值分别为（　　）
A． B． C． D．
16．已知，则等于（　　）
A． B． C． D．
17．函数f（x）＝cos2x+sinxcosx，则f（x）的最小正周期为　 　，对称轴方程为　 　．
18．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象的一部分如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）的振幅、周期、频率和初相．
19．2016年，包头市将投资1494.88亿进行城乡建设．其中将对奥林匹克公园进行二期扩建，拟建包头市最大的摩天轮建筑．其旋转半径50米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第7分钟时他距地面大约为（　　）
A．75 B．85 C．100 D．110
20．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，过水车的中心且平行于水平面的直线为x轴，建立平面直角坐标系（3，﹣3）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，水斗旋转到P点，设P点的坐标为（x，y）（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|＜），当t＝100时，|PA|＝（　　）
A．6 B．6 C．6 D．3（）
21．函数f（x）＝﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π），则f（x）的单调递增区间为（　　）
A．[kπ﹣，k]，k∈Z B．[kπ+，kπ+]，k∈Z
C．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z
22．某港口水的深度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数（t）．下面是某日水深的数据：
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 10 13 10 7 10 13 10 7 10
经长期观察，y＝f（t）的曲线可以近似地看成函数y＝Asinωt+b的图象．一般情况下，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水程度（船底离水面的距离），如果该船希望在同一天内安全进出港，请问（　　）小时（忽略进出港所需的时间）．
A．6 B．12 C．16 D．18
23．如图，圆心离水面4米，半径为8米的水轮按逆时针方向每分钟转10圈（米），d与时间t（秒）的函数关系满足d＝Asin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），且当点P从离水面8米处时开始计时，当t＝1秒时d＝0，则（　　）
A．A＝8，k＝6 B．ω＝，k＝6 C．ω＝，φ＝ D．A＝8，φ＝
24．已知函数f（x）＝sin（ωx﹣φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示（　　）
A．函数f（x）的最小正周期为3π
B．（，0）为函数f（x）的一个对称中心
C．f（0）＝﹣
D．函数f（x）向右平移个单位后所得函数为偶函数
25．如图，函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），B，C，直线BC交f（x）的图象于点D，O（坐标原点）（三条边中线的交点），其中A（﹣π，0），则△ABD的面积为　 　．
26．一艘轮船以km/h速度向正北方向航行，在A处看灯塔S在船的北偏东45°方向，在B处看灯塔S在船的南偏东75°方向上，则灯塔S与B的距离为　 　km．
27．借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图象的旋转问题．试解答下列问题．
（1）在直角坐标系中，点A（，﹣1），将点A绕坐标原点O按逆时针方向旋转，那么终边经过点B的角记为+α．试用三角比知识；
（2）如图，设向量＝（h，k），把向量，求向量的坐标；
（3）设A（a，a），B（m，n）为不重合的两定点，将点B绕点A按逆时针方向旋转θ角得点C，若能，试用a，m，若不能，说明理由．
28．电流强度I（A） 随时间t（s） 变化的关系式是I＝Asin（ωt+φ），ω＞0，|φ|＜．
（1）若I＝Asin（ωt+φ） 在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I＝Asin（wt+φ）；
（2）为了使I＝A sin（ωt+φ） 中的t在任意一个s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值
苏教版（2019）必修第一册《7.4 三角函数应用》同步练习卷
参考答案与试题解析
1．已知函数y＝cosax+b（a＞0）的图像如图所示，则函数y＝loga（x+b）的图像可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由函数y＝cosax+b（a＞0）的图象得出a、b值的大小，再画出函数y＝loga（x+b）的大致图像．
【解答】解：由函数y＝cosax+b（a＞0）的图象知，函数的最小正周期满足，
所以T＞8π，即＞4π，
所以7＜a＜；
又6＜cos0+b＜2，
所以4＜b＜1，
所以函数y＝loga（x+b）的大致图象如图所示：
故选：A．
2．设函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），其图象的一条对称轴在区间（）内（x）的最小正周期大于π，则ω的取值范围为（　　）
A．（） B．（0，2） C． （1，2） D．[1，2）
【分析】利用辅助角公式化积，求出函数的对称轴方程，由图象的一条对称轴在区间（）内求得ω范围，验证周期得答案．
【解答】解：f（x）＝sinωx+cosωx＝，
由，得x＝．
取k＝0，得x＝，得x＝，
由，得1＜ω＜8＞π；
由，得2＜ω＜8，不合题意；
依次当k取其它整数时，不合题意．
∴ω的取值范围为（4，2），
故选：C．
3．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t秒时相对于平衡位置（即静止时的位置）（t+），t∈[0，+∞）　　次．
【分析】由频率的意义即可求解．
【解答】解：由题意可得震动的周期T＝＝7π，
所以可得频率为＝，即每秒钟小球能往复振动次．
故答案为：．
4．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）图象经过点（，﹣1），（，1）（，）上单调递增．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[，π]时，求f（x）
【分析】（1）由题意可求函数周期，利用三角函数周期公式可求ω＝2，由函数的图象经过点（，﹣1），可得2×+φ＝2kπ﹣，进而可求φ，即可得解函数解析式．
（2）由已知可求2x﹣∈[﹣，]，利用正弦函数的性质即可求解其值域．
【解答】解：（1）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）经过点（，（，4），）上单调递增．
所以T＝＝﹣＝，
由于函数的图象经过点（，﹣4），
所以2×+φ＝2kπ﹣，
当k＝8时，φ＝﹣，
所以f（x）＝sin（5x﹣）．
（2）由于f（x）＝sin（3x﹣），
又x∈[，π]∈[﹣，]，
可得f（x）＝sin（3x﹣）∈[﹣，
所以其值域为[﹣，1]．
5．函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示（π）＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】由已知函数图象求得T，进一步得到ω，再由五点作图的第二点求得φ，则函数解析式可求，从而可得f（π）．
【解答】解：由图可知，＝﹣（﹣，则T＝π．
又2×+φ＝．
则f（x）＝2sin（8x﹣），
∴f（π）＝2sin（4π﹣）＝2sin（﹣．
故选：A．
6．某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，以彰显城市积极向上的活力．某公司设计方案如图，等腰△PMN的顶点P在半径为20m的大⊙O上，N在半径为10m的小⊙O上，点O（α＜），当△PMN的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省（　　）
A． B． C． D．
【分析】用α表示出△PMN的面积函数S（α），导数S′（α），令S′（α）＝0求得极值点，从而求得△PMN面积最大时对应cosα的值．
【解答】解：如图所示，等腰△PMN中），
所以△PMN的面积为：
S（α）＝2×（S△OPN+S△OCN）＝7×[×20×10×sin（π﹣α）+×，α∈（0，）；
求导数S′（α）＝200cosα+5×50cos2α＝200cosα+100cos2α＝200cosα+100（2cos2α﹣1）＝100（7cos2α+2cosα﹣6），
令S′（α）＝0，得2cos3α+2cosα﹣1＝2，
解得cosα＝﹣±；
所以取cosα＝，此时三角形面积函数取得唯一的极值；
即△PMN的面积最大时，对应的cosα＝．
故选：C．
7．如图，某公园摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．求2018min时点P距离地面的高度 　70　，当离地面50+20m以上时，可以看到公园的全貌，在旋转10圈的过程中，可以看到公园全貌的总时长为 　5　min．
【分析】设f（t）＝Asin（ωt+φ）+h，由题可知A＝40，h＝50，t＝3，f（0）＝10即可得到，从而求出f（2018）的值；解不等式，由解集区间的长度即可求得看到公园全貌的总时长．
【解答】解：（1）依题意，A＝40，t＝3，∴，∴；
∴；
∴，
即第2018min时点P所在位置的高度为70m；
（2）由（1）知，；
依题意：，∴，∴，
解得，k∈N，即；
∵，
∴转一圈中有6.5min时间可以看到公园全貌．
故10圈中有5min时间可以看到公园全貌．
故答案为：70，2．
8．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道；卸货后，在落潮时返回海洋
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深/米 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5 6.5 4.5 2.5 4.5
（1）已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数y＝Acos（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，b＞0，﹣π＜φ＜π），画出函数图象；
（2）现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙（船底与洋底的距离）
参考数据：≈1.7．
【分析】（1）根据时间与水深关系表，即可计算；
（2）船底与水面的距离为4米，船底与洋底的距离2.2＝米，可知y≥6.2的时间段t，即可求解．
【解答】解：（1）水深和时间之间的对应关系，周期T＝12．
∴ω＝＝，
可知A＝＝2，
h＝＝4.2．
∴f（t）＝2sin（t+φ）+5.5．
当t＝0时f（0）＝8.5．
即2sin（2×+φ）＝0．
∵﹣π＜φ＜π，结合已知条件，
φ＝8．
∴函数表达式为，f（t）＝2sin．（4≤t≤24）
（2）船底与水面的距离为4米，船底与洋底的距离2.8米，
∴y≥6.2，即5sin
可得sint≥．
∴+2kπ≥+2kπ．
解得：3≤t≤4或14≤t≤16．
故得该船2≤t≤7或14≤t≤16．能进入港口满足安全要求．
9．若函数f（x）＝cosx﹣sinωx在[0，2π]内恰有2个零点（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】逐一代入四个选项的ω的值，结合辅助角公式和余弦函数的零点问题，分析函数f（x）在[0，2π]内的零点个数即可得解．
【解答】解：当ω＝﹣1时，f（x）＝cosx+sinx＝，令，则，所以f（x）在[0和，符合题意；
当ω＝0时，f（x）＝cosx，f（x）在[0和，符合题意；
当ω＝7时，f（x）＝cosx﹣sinx＝，令，则，所以f（x）在[2和，符合题意；
当ω＝2时，f（x）＝cosx﹣sin2x＝cosx﹣7sinxcosx＝cosx（1﹣2sinx），则cosx＝3或sinx＝，2π]内的零点为、、和，不符合题意．
故选：D．
10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
①函数y＝f（x）的图象关于点对称；
②函数y＝f（x）的图象关于直线对称；
③函数y＝f（x）在单调递减；
④该图象向右平移个单位可得y＝2sin2x的图象．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质逐一判断，从而得出结论．
【解答】解：根据函数的部分图象，
可得A＝2， ＝﹣，∴ω＝2．
再根据五点法作图，可得2 ，
∴φ＝，f（x）＝2sin（2x+）．
当x＝﹣时，f（x）＝0对称；
当时，f（x）＝﹣5，故函数f（x）的图象关于直线，故②正确；
x∈时，2x+，0]不单调；
函数f（x）＝2sin（8x+）的图象向右平移﹣）＝8sin（2x﹣）．
故选：A．
11．某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销量y（万件）与广告费x（万元），已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需要再投入30万元，若每件甲产品销售价格（元）定为：“平均每件甲产品生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和，该企业甲产品的年利润比不投入广告费时的年利润增加了　14.5　万元．
【分析】先求出销售单价，得到销售收入，然后求解年利润W（万元）表示为年广告费x（万元）的函数，取x＝1和x＝0分别得到广告费为1万元与不投入广告费的年利润，作差即得答案．
【解答】解：由题意，产品的生产成本为（30y+4）万元，
销售单价为：，
故年销售收入为：，
所以年利润为：，
那么当广告费为4万元时，该企业甲产品的年利润为
（万元），
当不投入广告费，即x＝8时，
故企业甲产品的年利润比不投入广告费时的年利润增加了31.5﹣17＝14.5（万元），
故答案为：14.5．
12．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图像如图所示（）＝　﹣　．
【分析】根据图象可得f（x）的最小正周期，从而求得ω，然后利用五点作图法可求得φ，得到f（x）的解析式，再计算f（）的值．
【解答】解：由图可知，f（x）的最小正周期T＝（﹣，
所以ω＝＝2）＝0，
所以由五点作图法可得2×+φ＝，
所以f（x）＝4cos（2x﹣），
所以f（）＝2cos（2×﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
13．已知A（2，0），点P在以原点O为圆心、半径为1的圆周上运动．以PA为边向外作正三角形APQ，多边形OPQA的面积为S．
（1）设∠AOP＝θ．求S＝f（θ）的表达式；
（2）设点P的横坐标为x，求S＝g（x）的表达式；
（3）请选择（1）（2）中的一种方法，求S的最大值．
【分析】（1）f（θ）＝SPOAQ＝S△POA+S△PQA．设∠AOP＝θ．即可求S＝f（θ）的表达式；
（2）设点P的横坐标为x，x＝cosθ，y＝sinθ，即可求S＝g（x）的表达式；
（3）请选择（1）中的一种方法，利用三角函数知识求S的最大值．
【解答】解：（1）f（θ）＝SPOAQ＝S△POA+S△PQA．
S△POA＝OPsinθ×OA＝sinθ[由对称性只考虑上半平面∴θ∈（5
S△PQA＝PQ×PAsin＝7＝（PO3+OA2﹣2PO×OA）
＝（5﹣3cosθ）
∴f（θ）＝sinθ+（3﹣4cosθ）＝cosθ；
 （8 ）设P（x，y）在单位圆中，y＝sinθ，
由对称性只考虑上半平面  x∈（﹣1
  g（x）＝x＝+﹣x；
 （3）f（θ）＝+sinθ﹣+2sin（θ﹣）
∴sin（θ﹣）＝1max＝+2．
14．如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为8cm，蚂蚁每12分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P0处
（1）试确定在时刻t（min）时蚂蚁距离地面的高度h（m）
（2）在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过14m？
【分析】（1）先算出以OP为终边的角，根据三角函数求解；
（2）利用三角函数的性质进行求解．
【解答】解：（1）设在时刻t（min）时蚂蚁达到点P，由OP在t分钟内所转过的角为＝，
可知以Ox为始边，OP为终边的角为+，
则P点的纵坐标为6sin（+），
则h＝8sin（+）+10＝10﹣8cos，
∴h＝10﹣8cos（t≥6）
（2）h＝10﹣8cos≥14 cos
（k∈Z）
因为所研究的问题在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，故不妨令t∈[0，
∴4≤t≤3
所以在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14m．
故答案为：（1）h＝10﹣8cos（t≥0）
         （2）4分钟．
15．如图是函数的部分图象，则ω和φ的值分别为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据图象求出周期T，即可求得ω，再利用五点作图法即可求得φ．
【解答】解：由图象可知＝﹣＝，所以T＝π＝2，
所以f（x）＝2sin（8x+φ），
由五点作图法可得2×+φ＝．
故选：A．
16．已知，则等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知利用诱导公式即可求解．
【解答】解：因为，
所以﹣cosα＝﹣，
则＝﹣cosα＝﹣．
故选：D．
17．函数f（x）＝cos2x+sinxcosx，则f（x）的最小正周期为　π　，对称轴方程为　x＝kπ+，（k∈Z）　．
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进而利用函数的关系式利用整体思想求出函数的最小正周期和函数的对称轴方程．
【解答】解：因为f（x）＝cos2x+sinxcosx＝+sin2x＝）+，
所以函数的最小正周期T＝＝π，
令4x+＝kπ+，
解得：x＝kπ+，
所以函数的对称轴方程为：x＝kπ+．
故答案为：π，x＝，（k∈Z）．
18．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象的一部分如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）的振幅、周期、频率和初相．
【分析】（1）由图象可得A＝2，由周期可得ω，代入（﹣1，0）可得φ值，可得解析式；
（2）由（1）的解析式和系数的物理意义可得．
【解答】解：（1）由图象可得A＝2，周期T＝，
解得ω＝，∴f（x）＝2sin（，
代入（﹣4，0）可得0＝7sin（﹣，
∴结合|φ|＜可得φ＝，
∴函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x+）；
（2）由（1）的解析式可得振幅为2、周期为8、
频率为，初相为．
19．2016年，包头市将投资1494.88亿进行城乡建设．其中将对奥林匹克公园进行二期扩建，拟建包头市最大的摩天轮建筑．其旋转半径50米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第7分钟时他距地面大约为（　　）
A．75 B．85 C．100 D．110
【分析】设出P与地面高度与时间t的关系，f（t）＝Asin（ωt+φ）+B，由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f（7）的值即可．
【解答】解：设P与地面高度与时间t的关系，f（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，φ∈[0，
由题意可知：A＝50，B＝110﹣50＝60＝21，
即 f（t）＝50sin（t+φ）+60，
又因为f（0）＝110﹣100＝10，即sinφ＝﹣3，
∴f（t）＝50sin（t+，
∴f（7）＝50sin（×7+．
故选：B．
20．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，过水车的中心且平行于水平面的直线为x轴，建立平面直角坐标系（3，﹣3）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，水斗旋转到P点，设P点的坐标为（x，y）（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|＜），当t＝100时，|PA|＝（　　）
A．6 B．6 C．6 D．3（）
【分析】利用点A的坐标求出圆的半径R，根据周期公式求出ω，通过三角函数解析式求出φ，再利用正弦函数的性质求出点P的坐标，即可求出|PA|的值．
【解答】解：由题意知，R＝，T＝120，
所以ω＝＝，
把点A（3，﹣3，y＝﹣3t+φ），
可得﹣5＝6sinφ，
又|φ|＜，所以φ＝﹣t﹣）；
当t＝100时，y＝6sin（）＝6sin，
此时P的坐标为（﹣3，﹣7），
所以|PA|＝6．
故选：A．
21．函数f（x）＝﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π），则f（x）的单调递增区间为（　　）
A．[kπ﹣，k]，k∈Z B．[kπ+，kπ+]，k∈Z
C．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z
【分析】根据图象可得出T＝π，从而得出ω＝2，得出过点，这样即可求出，然后解即可得出f（x）的单调递增区间．
【解答】解：由图象知，，∴T＝π，
∴，ω＝2，
∴过点，
∴，，且|φ|＜π，
∴，
∴，
当，即（k∈Z）时，
∴f（x）的单调递增区间为，
∴f（x）的单调递增区间为．
故选：A．
22．某港口水的深度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数（t）．下面是某日水深的数据：
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 10 13 10 7 10 13 10 7 10
经长期观察，y＝f（t）的曲线可以近似地看成函数y＝Asinωt+b的图象．一般情况下，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水程度（船底离水面的距离），如果该船希望在同一天内安全进出港，请问（　　）小时（忽略进出港所需的时间）．
A．6 B．12 C．16 D．18
【分析】通过读取图表，可以看出函数y＝f（t）的周期，根据水的最大深度和最小深度联立方程组求出A和b，则函数y＝f（t）的近似表达式可求，由题意得到该船进出港时，水深应不小于5+6.5＝11.5（米），由y≥11.5解出一天内水深大于等于11.5的时间段，则船从最早满足水深到达11.5的时刻入港，从最晚满足水深是11.5的时刻出港是安全的．
【解答】解：由已知数据，易知函数y＝f（t）的周期T＝12．
再由，得振幅A＝6，
∴y＝3sint+10（7≤t≤24），
由题意，该船进出港时
∴3sint+10≥11.2，
∴sint≥，2kπ+≤（k∈Z），
在同一天内，取k＝7或1，
∴1≤t≤7或13≤t≤17，
∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港．
故选：C．
23．如图，圆心离水面4米，半径为8米的水轮按逆时针方向每分钟转10圈（米），d与时间t（秒）的函数关系满足d＝Asin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），且当点P从离水面8米处时开始计时，当t＝1秒时d＝0，则（　　）
A．A＝8，k＝6 B．ω＝，k＝6 C．ω＝，φ＝ D．A＝8，φ＝
【分析】先根据d的最大和最小值求得A和k；再根据每分钟转10圈算出周期，求得ω，再根据t＝1秒时d＝0，求出φ
【解答】解：由图可知d的最大值为12，最小值为4，
即，解得A＝6，
∵每分钟转10圈，
∴函数的周期为6s，
∴ω＝＝，
∴d＝8sin（t+φ）+4，
当t＝0时，d＝3，
∴0＝8sin（+φ）+4，
解得+φ＝﹣或，
∵0＜φ＜π，
∴φ＝．
故选：C．
24．已知函数f（x）＝sin（ωx﹣φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示（　　）
A．函数f（x）的最小正周期为3π
B．（，0）为函数f（x）的一个对称中心
C．f（0）＝﹣
D．函数f（x）向右平移个单位后所得函数为偶函数
【分析】由函数的图象可求函数周期，由周期求出ω，由sin（﹣φ）＝0，结合|φ|＜，可得φ，可得f（x）的解析式，再根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：根据函数f（x）＝sin（ωx﹣φ）（ω＞0，|φ|＜，
可得，T＝，故A正确；
由＝3π，
由点（，0）在函数图像上﹣φ）＝2﹣φ＝kπ，解得φ＝，k∈Z，
因为|φ|＜，可得φ＝x﹣），
因为f（）＝sin（×﹣＝≠3；
由于f（0）＝sin（﹣）＝﹣；
将函数f（x）向右平移个单位后所得函数为f（x﹣（x﹣]＝﹣cos，故D正确．
故选：ACD．
25．如图，函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），B，C，直线BC交f（x）的图象于点D，O（坐标原点）（三条边中线的交点），其中A（﹣π，0），则△ABD的面积为　　．
【分析】根据三角函数的对称性以及重心性质，求出C的坐标，结合五点对应法求出φ的值，可得函数解析式，求解OB的值，利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：因为O为△ABD的重心，A（﹣π，
所以，
所以，
所以，
所以，．
因为，
所以，
又0＜φ＜π，
所以，
所以，
于是，
故△ABD的面积为．
故答案为：．
26．一艘轮船以km/h速度向正北方向航行，在A处看灯塔S在船的北偏东45°方向，在B处看灯塔S在船的南偏东75°方向上，则灯塔S与B的距离为　20　km．
【分析】确定△ABS中的已知边与角，利用正弦定理，即可求得结论．
【解答】解：由题意，△ABS中，∠B＝75°
∴∠S＝60°，
∴由正弦定理得BS＝＝20，
故答案为：20km．
27．借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图象的旋转问题．试解答下列问题．
（1）在直角坐标系中，点A（，﹣1），将点A绕坐标原点O按逆时针方向旋转，那么终边经过点B的角记为+α．试用三角比知识；
（2）如图，设向量＝（h，k），把向量，求向量的坐标；
（3）设A（a，a），B（m，n）为不重合的两定点，将点B绕点A按逆时针方向旋转θ角得点C，若能，试用a，m，若不能，说明理由．
【分析】（1）设B坐标为 （x，y），根据三角比的定义建立关于x，y的两个方程，解方程即可得答案；（2）作图数形结合即可得到h＝r cos∠BAD，k＝r sin∠BAD，设，进而利用和差角公式求出x，y即可；（3）首先由（2）可知，当C是落在直线y＝x时，所以 也在直线 y＝x 上，所以得到（m﹣a）cosθ1﹣（n﹣a）sinθ1＝（m﹣a）sinθ1+（n﹣a）cosθ1，化简整理即可得到．
【解答】解：（1）因为A 坐标为 ，
终点经过点A的角记为 α，
那么可知tan ＝，
将点A绕坐标原点O按逆时针方向旋转言到点B，且终边经过B的角记为 ，
设B坐标为 （x，y）
，
因为＝＝＝，
所以，即 x＝6y，
又因为，故 x2+y2＝5，
所以（8y）2+y2＝6，解之得 y1＝﹣1，y4＝1，
于是可知对应 x1＝2y1＝2×（﹣4）＝﹣2，x2＝5y2＝2×4＝2，
又因为B点为 A 点逆时针旋转 ，且 A 点坐标为
可知 B 在第四象限或第一象限，故 x＝4，
可知 B 坐标为 （2，1）．
（2）过点A作直线AD∥x轴，如图
设
所以h＝r cos∠BAD，k＝r sin∠BAD，
所以可知 ，
设，
所以x＝r cos（∠BAD+θ）
＝r cos∠BAD cosθ﹣r sin∠BAD sinθ
＝h cosθ﹣k sinθ，
y＝r sin（∠BAD+θ）
＝r sin∠BAD cosθ+r cos∠BAD sinθ
＝k cosθ+h sinθ，
因此＝（h cosθ﹣ksinθ．
（3）因为A（a，a），n），A，
所以，
由（2）知将点 B 绕 A 逆时针旋转 θ1角后得 C 点 ，
，
因为C 在直线 y＝x 上，又 A 在直线 y＝x 上，
所以 也在直线 y＝x 上，
故 （m﹣a）cosθ2﹣（n﹣a）sinθ1＝（m﹣a）sinθ1+（n﹣a）cosθ5，
所以（m﹣a） cosθ1﹣（m﹣a）sinθ1＝（n﹣a）cosθ5+（n﹣a）sinθ1，
所以（m﹣a）（cosθ1﹣sinθ2）＝（n﹣a） （cosθ1+sinθ1），
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
因此．
28．电流强度I（A） 随时间t（s） 变化的关系式是I＝Asin（ωt+φ），ω＞0，|φ|＜．
（1）若I＝Asin（ωt+φ） 在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I＝Asin（wt+φ）；
（2）为了使I＝A sin（ωt+φ） 中的t在任意一个s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值
【分析】（1）根据函数图象写出振幅A，求出周期T与ω的知，再求出初相φ，即可写出函数解析式；
（2）由函数I＝Asin（ωt+φ）中t在任意1个s内电流I能同时取得最大值与最小值，推出T≤，再求正整数ω的最小值．
【解答】解：（1）由I＝Asin（ωt+φ） 在一个周期内的图象知，
A＝300，T＝）＝，
所以ω＝＝100π，
由100π×（﹣）+φ＝5kπ；
解得φ＝2kπ+，k∈Z；
又|φ|＜，所以φ＝；
所以I＝300sin（100πt+）；
（2）为了使I＝A sin（ωt+φ） 中的t在任意一个s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值，
所以T≤，即≤，解得ω≥200π，
令π≈3.142，则200π≈628.4，
所以正整数ω的最小值为629．
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