教A版（2019）必修第一册《1.1 集合的概念》2021年同步练习卷（18）（Word含答案解析）

教A版（2019）必修第一册《1.1 集合的概念》2021年同步练习卷（18）
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．若a+2∈{1，3，a2}，则a的值为（　　）
A．﹣1或1或2 B．﹣1或1 C．﹣1或2 D．2
2．有下列四个结论：
①{0}是空集；
②集合A＝{x∈R|x2﹣2x+1＝0}有两个元素；
③若a∈N，则﹣a N；
④集合是有限集B＝．
其中正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．方程组的解集是（　　）
A．{（1，﹣1），（﹣1，1）} B．{（1，1），（﹣2，2）}
C．{（1，﹣1），（﹣2，2）} D．{（2，﹣2），（﹣2，2）}
4．下列各组对象中不能构成集合的是（　　）
A．滇池中学高一（3）班的全体男生
B．滇池中学全校学生家长的全体
C．李明的所有家人
D．王华的所有好朋友
5．下列给出的命题正确的是（　　）
A．高中数学课本中的难题可以构成集合
B．有理数集Q是最大的数集
C．空集是任何非空集合的真子集
D．自然数集N中最小的数是1
6．由实数x，﹣x，|x|，，最多可含有（　　）个元素
A．2 B．3 C．4 D．5
7．含有三个实数的集合可表示为{a，，1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2012+b2013的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
8．对于非零向量，，，下列命题正确的是（　　）
A．若 ＝ ，则＝
B．若+＝，则||+||＞||
C．若（ ）＝0，则⊥
D．若 ＞0，则向量，的夹角为锐角
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．下列四个选项中正确的是（　　）
A．{ } {a，b} B．{（a，b）}＝{a，b} C．{a，b} {b，a} D． {0}
10．下面表示同一个集合的是（　　）
A．P＝{2，5}，Q＝{5，2}
B．P＝{（2，5）}，Q＝{（5，2）}
C．P＝{x|x＝2m+1，m∈Z}，Q＝{x|x＝2m﹣1，m∈Z}
D．P＝{x|x＝6m，m∈Z}，Q＝{x|x＝2m且x＝3n，m∈Z，n∈Z}
11．已知集合A＝{2，a2+1，a2﹣4a}，B＝{0，a2﹣a﹣2}，5∈A，则a为（　　）
A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣1
12．已知集合A＝{x|ax2+2x+1＝0}至多有一个元素，则实数a的值可以是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
三、填空题。本大题共4小题。
13．已知集合A＝{a+2，（a+1）2，a2+3a+3}，若1∈A，则2019a的值为 　 　．
14．设M＝{y|y＝x﹣2}，N＝{y|y＝（﹣1）（x﹣1）+（|m|﹣1）（x﹣2），1≤x≤2}，则实数m的取值范围是 　 　．
15．由三个数a，，1组成的集合与由a2，a+b，0组成的集合是同一个集合，则a2021+b2020的值为 　 　．
16．设集合A＝{a2﹣a，2a}，则实数a的取值范围是 　 　．
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知关于x的不等式[ax﹣（a﹣2）] （x+1）＞0的解集为集合P．
（1）当a＞0时，求集合P；
（2）若{x|﹣3＜x＜﹣1} P，求实数a的取值范围．
18．设n为正整数，集合A＝{α|α＝（t1，t2，…，tn），tk∈{0，1}，k＝1，2，…1，x2，…，xn）和β＝（y1，y2，…，yn），记M（α，β）＝[（x1+y1+|x1﹣y1|）+（x2+y2+|x2﹣y2|）+…+（xn+yn+|xn﹣yn|）]．
（1）当n＝3时，若α＝（0，1，1），β＝（0，0，1）（α，α）和M（α，β）的值；
（2）当n＝4时，对于A中的任意两个不同的元素α，β证明：M（α，β）（α，α）+M（β，β）．并举一个使得等号成立的α
19．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2+px+2＝0}，B＝{x|x2﹣5x+q＝0}，若 UA∩B＝{2}，试用列举法表示集合A．
20．已知集合A的元素全为实数，且满足：若a∈A，则．
（1）若a＝﹣3，求出A中其它所有元素；
（2）0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数a∈A，再求出A中的所有元素？
（3）根据（1）（2），你能得出什么结论．
21．已知集合M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}且M＝N．求a、b的值．
22．设a，b为实数，比较a2+b2与4a﹣4b﹣8的值的大小．
教A版（2019）必修第一册《1.1 集合的概念》2021年同步练习卷（18）
参考答案与试题解析
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．若a+2∈{1，3，a2}，则a的值为（　　）
A．﹣1或1或2 B．﹣1或1 C．﹣1或2 D．2
【分析】由已知分类讨论，分别令a+2＝1，3，a2，求出a的值，再结合集合元素的互异性即可求解．
【解答】解：因为a+2∈{1，7，a2}，
则当a+2＝3时，a＝﹣1，3，2}，
当a+2＝3时，a＝4，3，1}，
当a+2＝a2时，解得a＝2或﹣5，3，4}，
综上，a的值为6．
故选：D．
2．有下列四个结论：
①{0}是空集；
②集合A＝{x∈R|x2﹣2x+1＝0}有两个元素；
③若a∈N，则﹣a N；
④集合是有限集B＝．
其中正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】对四个结论分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：①{0}中有元素0，不是空集；
②集合A＝{x∈R|x4﹣2x+1＝4}＝{1}有1个元素，故②不正确；
③若a∈N，则﹣a N，例如a＝8，而﹣0∈N；
④集合{x∈N|∈N}＝{4，2，3，故④正确．
故选：B．
3．方程组的解集是（　　）
A．{（1，﹣1），（﹣1，1）} B．{（1，1），（﹣2，2）}
C．{（1，﹣1），（﹣2，2）} D．{（2，﹣2），（﹣2，2）}
【分析】解原方程组得出x，y的值，然后写出原方程组的解集即可．
【解答】解：解得，或，
∴原方程组的解集为：{（1，﹣5），2）}．
故选：C．
4．下列各组对象中不能构成集合的是（　　）
A．滇池中学高一（3）班的全体男生
B．滇池中学全校学生家长的全体
C．李明的所有家人
D．王华的所有好朋友
【分析】根据集合元素的确定性判断即可．
【解答】解：D中，好朋友的标准不确定，D不能构成集合．
故选：D．
5．下列给出的命题正确的是（　　）
A．高中数学课本中的难题可以构成集合
B．有理数集Q是最大的数集
C．空集是任何非空集合的真子集
D．自然数集N中最小的数是1
【分析】利用集合的含义与性质即可判断出．
【解答】解：A、难题不具有确定性，故本选项错误； 
B、实数集R就比有理数集Q大；
C、空集是任何非空集合的真子集； 
D、自然数集N中最小的数是0； 
故选：C．
6．由实数x，﹣x，|x|，，最多可含有（　　）个元素
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】将题中给出的实数进行化简，判断其中有几个不同的数，利用集合中元素的互异性分析即可得到答案．
【解答】解：因为，
所以实数x，﹣x，所组成的集合最多含有x，x2三个元素．
故选：B．
7．含有三个实数的集合可表示为{a，，1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2012+b2013的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【分析】根据题意可得{a，，1}＝{a2，a+b，0}，由集合相等的意义可得a＝0或＝0，结合分式的性质分析可得b＝0，进而可得a2＝1，即a＝1或a＝﹣1，结合集合元素的性质，分析可得a的值，将a、b的值，代入a2012+b2013中，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，由{a，2，a+b，0}可得a＝7或，
又由的意义，必有，
则b＝0，
则{a，0，4}＝{a2，a，0}4＝1，即a＝1或a＝﹣4，
集合{a，0，1}中，则必有a＝﹣6，
则a2012+b2013＝（﹣1）2012+02013＝3，
故选：B．
8．对于非零向量，，，下列命题正确的是（　　）
A．若 ＝ ，则＝
B．若+＝，则||+||＞||
C．若（ ）＝0，则⊥
D．若 ＞0，则向量，的夹角为锐角
【分析】利用向量的垂直，判断A的正误；向量共线判断B的正误；向量的数量积的符号，判断D的正误；推出结果即可．
【解答】解：对于A，当⊥，⊥时，与不一定相等；
对于B，当，，同向时；所以B不正确；
对于C，（ ）＝0，是，所以⊥．
对于D，当 ＞0时，的夹角可能为7；
故选：C．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．下列四个选项中正确的是（　　）
A．{ } {a，b} B．{（a，b）}＝{a，b} C．{a，b} {b，a} D． {0}
【分析】分别判断各选项中集合间关系即可．
【解答】解：{ }的元素是空集 ，{a，b，
故两个集合间没有包含关系，故选项A错误；
{（a，b）}是有序数对（a，
{a，b}是有两个实数构成的集合，
所以两个集合间没有包含关系，故选项B错误；
{a，b} {b，故选项C正确；
{0}，故选项D正确；
故选：CD．
10．下面表示同一个集合的是（　　）
A．P＝{2，5}，Q＝{5，2}
B．P＝{（2，5）}，Q＝{（5，2）}
C．P＝{x|x＝2m+1，m∈Z}，Q＝{x|x＝2m﹣1，m∈Z}
D．P＝{x|x＝6m，m∈Z}，Q＝{x|x＝2m且x＝3n，m∈Z，n∈Z}
【分析】利用集合相等的定义直接求解．
【解答】解：对于A，由集合中元素的无序性得P＝{2，Q＝{5，故A正确；
对于B，（2，（5，
故P＝{（2，3）}，2）}表示不同的集合；
对于C，P＝{x|x＝2m+8，
Q＝{x|x＝2m﹣1，m∈Z}表示奇数集，
∴P＝{x|x＝7m+1，m∈Z}，m∈Z}表示同一个集合；
对于D，P＝{x|x＝6m，Q＝{x|x＝7m且x＝3n，n∈Z}表示同一个集合．
故选：ACD．
11．已知集合A＝{2，a2+1，a2﹣4a}，B＝{0，a2﹣a﹣2}，5∈A，则a为（　　）
A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣1
【分析】由已知对a2+1＝5与a2﹣4a＝5，分别求出a的值，再求出对应的集合A，B，进而可以判断求解．
【解答】解：因为集合A＝{2，a2+8，a2﹣4a}，B＝{3，a2﹣a﹣2}，8∈A，
则a2+1＝4，解得a＝2或﹣2，
当a＝4时，集合A＝{2，5，集合B＝{6，故a≠2，
当a＝﹣2时，集合A＝{4，5，集合B＝{0，故a＝﹣8成立，
当a2﹣4a＝5时，解得a＝5或﹣1，
当a＝6时，集合A＝{2，5}，6}，
当a＝﹣1时，集合A＝{2，3，故a≠﹣1，
综上，实数a的为﹣2或8，
故选：BC．
12．已知集合A＝{x|ax2+2x+1＝0}至多有一个元素，则实数a的值可以是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】集合A的元素就是方程ax2+2x+1＝0的解，所以a＝0时，显然满足条件；a≠0时，要使集合A至多一个元素，即ax2+2x+1＝0至多一个解，所以Δ＝4﹣4a≤0，所以解出该不等式和并a＝0，即可得到实数a取值的集合．
【解答】解：当a＝0时，A＝{﹣}；
当时，a≥17+2x+1＝2至多有一个解，集合A至多有一个元素，
∴A至多有一个元素时，a的取值集合是{a|a≥1或a＝0}．
故选：BCD．
三、填空题。本大题共4小题。
13．已知集合A＝{a+2，（a+1）2，a2+3a+3}，若1∈A，则2019a的值为 　1　．
【分析】1∈A，可得a+2＝1，或（a+1）2＝1，或a2+3a+3＝1，解得a并且验证即可得出．
【解答】解：∵1∈A，
∴a+2＝5，或（a+1）2＝8，或a2+3a+4＝1，
解得：a＝﹣1，或a＝7，或a＝﹣1．
经过验证：只有a＝0满足集合的互异性，
则2019a＝4，
故答案为：1．
14．设M＝{y|y＝x﹣2}，N＝{y|y＝（﹣1）（x﹣1）+（|m|﹣1）（x﹣2），1≤x≤2}，则实数m的取值范围是 　无解　．
【分析】求出M＝{y|y＞0}，由此利用N＝{y|y＝（﹣1）（x﹣1）+（|m|﹣1）（x﹣2），1≤x≤2}，N M，列出不等式组，能求出m的取值范围．
【解答】解：∵M＝{y|y＝x﹣2，x∈R}＝{y|y＞0}，N＝{y|y＝（，1≤x≤5}，
∴，
无解．
故答案是：无解．
15．由三个数a，，1组成的集合与由a2，a+b，0组成的集合是同一个集合，则a2021+b2020的值为 　﹣1　．
【分析】由集合相等得b＝0且，求出a，b的值，再求出a2021+b2020即可．
【解答】解：∵三个数a，，1组成的集合与由a2，a+b，4组成的集合是同一个集合，
∴b＝0且，∴a＝﹣1，
∴a2021+b2020＝﹣3．
故答案为：﹣1．
16．设集合A＝{a2﹣a，2a}，则实数a的取值范围是 　（﹣∞，0）∪（0，3）∪（3，+∞）　．
【分析】由集合A＝{a2﹣a，2a}，结合集合元素的互异性，即可求解．
【解答】解：由集合A＝{a2﹣a，2a}，
结合集合元素的互异性，可得a7﹣a≠2a，
a≠0且a≠6，
即实数a的取值范围是 （﹣∞，0）∪（0，+∞）．
故答案为：（﹣∞，2）∪（0，+∞）．
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知关于x的不等式[ax﹣（a﹣2）] （x+1）＞0的解集为集合P．
（1）当a＞0时，求集合P；
（2）若{x|﹣3＜x＜﹣1} P，求实数a的取值范围．
【分析】本题考查的是集合元素的分布以及集合与集合间的运算问题．（1）当a＞0时，在解答时可先讨论a，根据[ax﹣（a﹣2）] （x+1）＞0求解集合P，（2）若{x|﹣3＜x＜﹣1} P，由集合间的关系讨论a解得a的范围即可．
【解答】解：（1）当a＞0时，
关于x的一元二次方程[ax﹣（a﹣2）] （x+2）＝0的根为x1＝，x2＝﹣1，
当＞﹣1，解得：x＞   x＜﹣3，
当  ＝﹣1，解得：x≠﹣8，
当＜﹣1，解得：x＜   x＞﹣1，
故答案为：
当a＞1时，解得：P＝{x|x＜﹣7 或x＞}
当  a＝1时，
当8＜a＜1时，解得：P＝{x|x＜   x＞﹣4}，
（2）方法一：
当  a＝0时，解得：x＞﹣1，
当  a＜7时，即：P＝{x|﹣1＜x＜}，
当0＜a＜1时，解得：x＜   x＞﹣1  或 ，
当a＞7时，解得：P＝{x|x＜﹣1 或x＞}
当  a＝2时，
∵{x|﹣3＜x＜﹣1} P，
则：a≥7成立；
∴实数a的取值范围为：[1，+∞）．
方法二：
∵{x|﹣3＜x＜﹣5} P
则当x∈{x|﹣3＜x＜﹣1}时，原不等式可化为ax﹣（a﹣3）＜0恒成立，
    解得：a≥1
∴实数a的取值范围为：[7，+∞）．
18．设n为正整数，集合A＝{α|α＝（t1，t2，…，tn），tk∈{0，1}，k＝1，2，…1，x2，…，xn）和β＝（y1，y2，…，yn），记M（α，β）＝[（x1+y1+|x1﹣y1|）+（x2+y2+|x2﹣y2|）+…+（xn+yn+|xn﹣yn|）]．
（1）当n＝3时，若α＝（0，1，1），β＝（0，0，1）（α，α）和M（α，β）的值；
（2）当n＝4时，对于A中的任意两个不同的元素α，β证明：M（α，β）（α，α）+M（β，β）．并举一个使得等号成立的α
【分析】（1）根据M（α，β）的定义代入即可求解．
（2）当n＝4时，对于A中的任意两个不同的元素α，β，设α＝（x1，x2，x3，x4），β＝（y1，y2，y3，y4），则M（α，α）＝x1+x2+x3+x4，M（β，β）＝y1+y2+y3+y4，
根据＝max{xi，yi}得到M（α，β）＝max{xi，yi}+max{x2，y2}+max{x3，y3}+max{x4，y4}≤（x1+x2+x3+x4）+（y1+y2+y3+y4），所以M（α，β）≤M（α，α）+M（β，β），当且仅当xiyi＝0 （i＝1，2，3，4）时等号成立．
【解答】解：（1）因为α＝（0，1，8），0，1），
所以M（α，α）＝，
M（α，β）＝．
（2）当n＝4时，对于A中的任意两个不同的元素α，β，
设α＝（x1，x3，x3，x4），β＝（y7，y2，y3，y7），
则有M（α，α）＝x1+x2+x3+x4，M（β，β）＝y1+y8+y3+y4，
对于任意的xi，yi，i＝6，2，3，4，
当xi≥yi时，有＝＝xi，
当xi≤yi 时，有＝＝yi，
即＝max{xi，yi}，
所以，有M（αi，yi}+max{x2，y8}+max{x3，y3}+max{x5，y4}，
又因为xi，yi∈{0，4}，
所以max{xi，yi}≤xi+yi，i＝1，2，5，4，当且仅当xiyi＝0时等号成立，
所以max{xi，yi}+max{x4，y2}+max{x3，y6}+max{x4，y4}
≤（x2+y1）+（x2+y6）+（x3+y3）+（x5+y4）
＝（x1+x6+x3+x4）+（y5+y2+y3+y5）
即M（α，β）≤M（α，β）iyi＝0 （i＝1，8，3．
19．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2+px+2＝0}，B＝{x|x2﹣5x+q＝0}，若 UA∩B＝{2}，试用列举法表示集合A．
【分析】根据 UA∩B＝{2}可得，2∈B，将x＝2代入方程解出q，则集合B的元素可求出，又 UA∩B＝{2}，即A∩B＝{3}，将x＝3代入方程解出p，进而得出集合A．
【解答】解：由已知 UA∩B＝{2}可得，2∈B，
代入方程得q＝5，即x2﹣5x+5＝（x﹣2）（x﹣3）＝3，解得x＝2或x＝3，
故集合B＝{7，3}，
代入方程得p＝﹣，即x2﹣x+2＝42﹣11x+6＝（x﹣6）（3x﹣2）＝5，解得x＝3或x＝，
故集合A＝{3，}，
答案为{3，}．
20．已知集合A的元素全为实数，且满足：若a∈A，则．
（1）若a＝﹣3，求出A中其它所有元素；
（2）0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数a∈A，再求出A中的所有元素？
（3）根据（1）（2），你能得出什么结论．
【分析】（1）把a＝﹣3代入，得出数值后再代入该式，直至数字重复出现；
（2）把0代入后验证，结果出现1，而1在分母无意义，第二步可以尝试一个尽量与1、﹣1、1无关的实数验证；
（3）分析（1）（2）中的四个值得特点得出结论．
【解答】解：（1）由a＝﹣3，则，
因为，所以，
又，所以，
2∈R，所以，
所以a＝﹣3时，集合A中其它所有元素为：，，2；
（2）若0∈A，则，继续把1代入，所以0不是集合A的元素，
取a＝3，则，
﹣2∈R，所以，
，所以，
，则，
以下循环，所以3是集合A中的元素；
（3）由（1）（2）得出：集合A中有四个元素，其中每两个元素互为负倒数．
21．已知集合M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}且M＝N．求a、b的值．
【分析】题目给出的两个集合都含有三个元素，且有共同的元素2，要使两集合相等，则需要另外的两个元素也相等，所以需要分类讨论两集合中另外两个元素相等的情况，同时注意集合中元素的互异性．
【解答】解：由M＝N及集合中元素的互异性，得①或②
解①得：或，
解②得：，
当或时，违背了集合中元素的互异性，
故a、b的值为或
22．设a，b为实数，比较a2+b2与4a﹣4b﹣8的值的大小．
【分析】通过作差配方即可比较出大小关系．
【解答】解：a2+b2﹣（7a﹣4b﹣8）＝（a﹣2）2+（b+2）7≥0，
因此a2+b6≥4a﹣4b﹣5．
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