口
上饶市2m1~2o” 学年度上学期期末教学质量测试
高二数学 (文科 )试题卷
命题人:张 剪 庄月娴 萤乐 圈华
注意扌项 :
1.本试卷分第I卷 (选择题)和第Ⅱ卷 (非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。 .∷
2.回答第I卷时,选出每个小题答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试卷上无效 .
4.本试卷共” 题,总分 150分 ,考试时闾 120分钟。
第 I卷 (选择题 )
一、选择题 (本大题共 19小题,每小题 5分,共 m分。在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的。)
㈠卜算复数:#=(▲ )
A。 2+i B。 2-i C。 -1+2i D。 1-2i
2.己知J是 lO,3]上的一个随机的实数,则使丌满足′ -4ζ 0的概率为 (▲ )
l 2 1 1
A。 - B。 - C。 一 D。 -
3 3 2 4
3.某 口罩生产商为了检验产品质量,从总体编号为 001,002,003, ,499,sO0的 500盒 口罩
中,利用下面的随机数表选取 10个样本进行抽检,选取方法是从下面的随机数表第 1行第 5
列的数字开始由左向右读取,则选出的第 3个样本的编号为 (▲ )
16 00 11 66 14 90 84 45 11 65 73 88 05 90 52 27 41 14 86 22 98
12 22 08 07 52 74 95 80 35 69 68 32 50 61 28 47 39 75 34 58 62
4
5
6
7. 已知昱线性相关的变量豸与 部分数据如表所示:若其回归
X 2 4 5 6 8
直线方程是y=1.Os艿 +0。ss,
`则的昭=(▲ )
y 3 4.5 〃 7.5 9
A。 6.5 B。 6 C。 6.1 D。 7
8.某商场开通三种平台销售商品,五一期间这三种平台的数据如图 1所示.该商场为了解消费者
对各平台销售方式的满意程度,用分层抽样的方法抽取
了6%的顾客进行满意度调查 ,得到的数据如图 2所
示。下列说法正确的是 (▲ )
A。 样本中对平台一满意的消费者人数约 700
B.总体中对平台二满意的消费者人数为 18
C。 样本中对平台一和平台二满意的消费耆总人数为 60
D。 若样本中对平台三满意的消费者人数为 ⒓0,则 朔=90%
9. 将正整数 1,2,3,4, 按如图所示的方式排成三角形数组 , 则第 19行
从左往右数第 5个数是 (▲ )
A。 38I B。 361 C。 329 D。 400 婶Om
10, 某程序框图如图所示 ,该程序运行后输出s的值是 (▲ )
9 10 11
A。 - B。 -— D。 ⊥C。
10 11 万 11
”
I1。 高二某班共有 ω 名学生,其中女生有 20名 ,“三好学生 人数
“
是全班人数的 三 生″ 生 一 ,现:,且 好学 中女 占 半 从该班学
生
中任选 1人参加座谈会,则在已知没有选上女生的条件下,选
“ ”
上的学生是 三好学生 的概率为 (▲ )
2
A。 ⊥ B.⊥ ⊥
一
C。 D
18 12 8 3
l=Ι +I
12.已知不等式 ≤ 解集为 /,关于y的不等式
:廴居 :的 笫IO旧国
2-豸
2研 +2)0的解集为B,且 /∪ B∈ B,则实数曰的取值范围为 (▲ )
A.(0,+∞ :·
) (∫扌+∞ C· D·) (:,+∞ ) 〔:,+∞ )
第Ⅱ卷 (非选择题 )
二、填空题 (本大题共 4小题,每小题 5分,共 ⒛ 分。请把答案填在答题卡上。)
13.某天上午只排语文、数学、体育三节课,则体育不排在第一节课的概率为 ▲ ,
14.从编号为 01,Ⅱ , ,ω 的⑴ 个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本,已知样本中的前两
个编号分别为 咙,Os(编号按从小到大的顺序排列),则样本中最大的编号是 ▲ 。
15.在平面几何中有如下结论:若正三角形 /BC的 内切圆周长为 Cl,外接圆周长为 Cz,则
=:。 推广到空间几何可以得到类似结论 正四 体彳BCD叩内切 零面积为 接
号 :
s,外
甲 梦
凸
球表面积为sz, 贝 = ▲ 。
凡一
高二数学 (文科 )试卷 第 2页 共 4页
⒍ 已矢日存在正 数岛 乙使不等式Ⅱ 三 >1。g2oIO成 ,则 Jr的卒 取值范围 ▲ ,
辛 耍乎蓊
二一 解答题 (本大题共 6小题,共 TO分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。)
2-6叨 2-3叨
r (本小题满分 10分 )已知复数z=(妫 +g,+(″ +⑷i,其中i是虚数单位,昭 为
实数,
(1)当复数 z为纯虚数时,求 搁的值 ;
(2)当 复数 z· i在复平面内对应的点位于第三象限时,求 ″的取值范围,
18.(本小题满分 12分 )自 2021年秋季起,江西省普通高中
起始年级全面实施新课程改革,为了迎接新高考,某校举
行物理和化学等选科考试,其中 600名 学生化学成绩 (满
分 100分)的频 分布直方图如图所示,其中成绩分组区率
0,
间是:第一组卜5,55),第二组 ls5,“),第三组 [65,Ts),第
四组I75,85),第 五组卜5,951.己 知图中前三个组的频率依 0,
次构成等差数列,第一组和第五组的频率相同.
(1)求曰,D的值 ;
(2)估算高分 (大于等于 BO分 )人数 ;
(3)估计这 600名学生化学成绩的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 )和中
位数 (中位数精确到 0,1),
“
19.(本小题满分 12分 )2Ⅱ 1年 11月 初某市出现新冠病毒感染者,该市教育局部署了 停课不停
”
学 的行动,老师们立即开展了线上教学。某中学为了解教学效果,于 11月 30日 复课第一天
安排了测试,数学教师为了调查高二年级学生这次测试的数学成绩与每天在线学习数学的时长
之间的相关关系,对在校高二学生随机抽取 45名进行调查,了解到其中有 25人每天在线学习
数学的时长不超过 1小时,并得到如下的统计图 :
(1)根 “据统计图填写下面 2× 2列联表,是否有 95%的把握认为 高二学生的这次摸底考试数
灬 仕 L艹 艹 小 溅 ˉ 踮 眦 /ih n+'~古 艹 ” 弱 搠 群 习 嬲 跗 咖 图
学`一成绩与其每=卞 天在线学习数学的时长有关 ;
lO0%
数学咸绩不 数学成绩超 总计 o0%
超过 12o分 过 1⒛ 分 BO%
0 超过m分
天 线学 数学 ‘ m%
豳
每 在 刁
妁时长不超过 1小时 o0% 匚]不翘过1⒛分
sO%
每天在线学习数学
的时长超过 1小时
力
总计 仟
(2)从被抽查的,且这次数学成绩超过 120分的学生中, 10%
按分层抽样的方法抽取 5名 ,再从这 5名 同学中随 哔
机抽取 2名 ,求这两名同学中至多有一名每天在线学习数学的时长超过 1小时的概率 .
高二数学 (文科 )试卷 第 3页 共 4页
∷
2∷ 硕刃 ㈦ :
附:Κ = ,其中切主a+D+C+汐 ,参考数据 :
@艹 3Xc十歹X0+εX3+⑷
p(Κ 2Σ 妩) 0.100 o。 050 o。 010 o.001
气 2.706 3.841 6.635 10.828
茄。t永刁、月医瀹分 1i爿卜)已知曰>0, 3o0, ~且厶|0=△ 求 i症 : (i+:`(1+:)|9:
21.(本小题满分 12分 )甲 乙两人轮流投篮,每人每次投一球,约定甲先投,且先投中者获胜 ,
一直到有人获胜或每人都已投球 3次时投篮结束,设甲 乙 篮每莰投篮投中的概率为 每次投:∶
投中的概率为 ,且各次投篮互不影响。
去
(1)求甲乙各投球一次,比赛结束的概率 ;
(2)求甲获胜的概率。
”。(本小题满分 12分 )噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题,为了解声
2)之
音强度 D(单位:涩D与 声音能量 r(单位:〃 ·cmˉ
间的关系,将测量得到的声音强度 D和声音能量 r的数据作
了初步处理,得到如图所示的散点图 :
11,D=笱
参考数据:其中吧 =lg几 ,/=1· 04× 1σ 。7,
汕⒖客←丬骗 叮·客⒄网·㈤,
客←J⑴η
斓 ×lO ll,喜 ·⒄网 ⑴-iFl卜TⅡ ,
(1)根据散点图判断,D=%+么 r与 D=钙 十钙lgr哪一个适宜作为声音强度 D关于声音
能量r的回归模型 (给出判断即可,不必说明理由)
(2)求声音强度 D关于声音能量r的回归方程。
(3)假定当声音强度D大于ω招 时,会产生噪声污染。城市中某点P处共受到两个声源的影
响,这两个声源的声音能量分另刂是几和fj,且 +奇 =1010· 已知点P处的声音能量等于
可
几与 JJ之和.清根据 (2)中 的回归方程,判断点P处是否受到噪声污染,并说明理由。
参考公式:对于一组数据91,⒕ ),(%,△), ,(‰ ,‰ ),其回归直线v=α +'笏 的斜率
和截距的最小二乘估计公式分别为:'=J
j=l
高二数学 (文科 )试卷 第 4页 共 4页上饶市 2021—2022 学年度上学期期末教学质量测试
高二数学（文科）答案
命题人：张 勇 庄月娴 董乐华
注意事项：
1． 本试卷分选择题和非选择题两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡
上．
2． 回答选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．
3． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．
4． 本试卷共 22 题，总分 150 分，考试时间 120 分钟．
第 I 卷（选择题）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．）
3 i
1．计算复数： =（▲）
1+ i
A．2 + i B．2 i C． 1+ 2i D．1 2i
【答案】D
【详解】
3 i (3 i)(1 i) 2 4i
= = =1 2i．
1+ i (1+ i)(1 i) 2
2．已知 x 是 0，3 2上的一个随机的实数，则使 x 满足 x 4 0的概率为（▲）
1 2 1 1
A． B． C． D．
3 3 2 4
【答案】B
【详解】
由x2
2
4 0得 2 x 2，所以 x 0，2 ，所以 P = ．
3
3．某口罩生产商为了检验产品质量，从总体编号为 001，002，003， ，499，500 的 500 盒口罩
中，利用下面的随机数表选取 10 个样本进行抽检，选取方法是从下面的随机数表第 1 行第 5 列
的数字开始由左向右读取，则选出的第 3 个样本的编号为（▲）
16 00 11 66 14 90 84 45 11 65 73 88 05 90 52 27 41 14 86 22 98
12 22 08 07 52 74 95 80 35 69 68 32 50 61 28 47 39 75 34 58 62
A．148 B．116 C．222 D．325
【答案】A
【详解】
所取编号依次为：116，445，148，……
4．箱子中有 5 件产品，其中有 2 件次品，从中随机抽取 2 件产品，设事件 A =“至少有一件次品”，
则 A 的对立事件为（▲）
A．至多两件次品 B．至多一件次品 C．没有次品 D．至少一件次品
【答案】C
【详解】
箱子中有 5 件产品，其中有 2 件次品，从中随机抽取 2 件产品，可能出现：“两件次品”，“一件次
试卷第 1 页，共 11 页
品，一件非次品”，“两件非次品”三种情况．根据对立事件的定义，事件 A=“至少有一件次品”
其对立事件为：“两件非次品”，即“没有次品”．
x + y 1 0,
5．设变量 x ， y 满足约束条件 x 2y + 2 0,则 z = 3x 2y 的最小值为（▲）
2x y 2 0,
A．3 B． 3 C．2 D． 2
【答案】D
【详解】
作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，
3
作出直线 y = x，平移该直线，
2
当直线经过 A(0,1)时， z 最小，此时 z = 2，
1 1 b a
6．若 0，则下列不等式：①a+b ab ；② a b ；③a b ；④ + 2中，正确的
a b a b
不等式有（▲）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B
【详解】
1 1
因为 0 ，所以a 0，b 0，可得a+b 0，ab 0，所以a+b ab ，①正确；再可得
a b
b a b a b a b a
b a 0，所以 a b ，②③错误；因为 0， 0， ，所以 + 2 = 2，
a b a b a b a b
所以④正确．
7．已知呈线性相关的变量 x 与 y 的部分数据如表所示：
x 2 4 5 6 8
y 3 4.5 m 7.5 9
若其回归直线方程是 y =1.05x +0.85，则m =（▲）
A．6.5 B．6 C．6.1 D．7
【答案】A
【详解】
m+ 24 m+ 24
由题意可得 x = 5，y = ，则 =1.05 5+ 0.85，解得m = 6.5．
5 5
8. 某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图 1 所示．该商场为了解消费者对
各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了
6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图 2 所示．下
列说法正确的是（▲）
A．样本中对平台一满意的消费者人数约 700
B．总体中对平台二满意的消费者人数为 18
C．样本中对平台一和平台二满意的消费者总人数为 60
试卷第 2 页，共 11 页
D．若样本中对平台三满意的消费者人数为 120，则m = 90%
【答案】C
【详解】
对于 A：样本中对平台一满意的人数为2000 6% 35% = 42，故选项 A 错误；
对于 B：总体中对平台二满意的人数约为1500 20% = 300，故选项 B 错误；
对于 C：样本中对平台一和平台二满意的总人数为：2000 6% 35%+1500 6% 20% = 60，
故选项 C 正确；
120
对于 D：对平台三的满意率为 = 80% ，所以m = 80%，故选项 D 错误．
2500 6%
9．将正整数 1，2，3，4， ，按如图所示的方式排成三角形数组，则第 19 行从左往右数第 5 个数
是（▲）
A．381 B．361
C．329 D．400
【答案】C
【详解】
由图中数字排列规律可知：
第 1 行从左往右最后 1 个数是12，第 2 行从左往右最后 1 个数是22 ，第 3 行从左往右最后 1 个数是
32 ，……第 18 行从左往右最后 1 个数为182 = 324，第 19 行从左往右第 5 个数是324+5 = 329．
10．某程序框图如图所示，该程序运行后输出 S 值是（▲）
9 10
A． B．
10 11
11 1
C． D．
12 11
【答案】B
【详解】
模拟程序运行过程如下：
k =1，S = 0，判断为否,进入循环结构，
1 1
S = 0+ = ,k = 2，判断为否，进入循环结构，
1 2 2
1 1 2
S = + = ,k = 3，判断为否，进入循环结构，……
2 2 3 3
1 1 1
S = + + + ,k =10，判断为否，进入循环结构，
2 2 3 9 10
1 1 1 1
S = + + + + ,k =11，判断为是，
2 2 3 9 10 10 11
1 1 1 1 1 1 1 1 1 10
故输出 S = + + + =1 + + + =1 = ．
1 2 2 3 10 11 2 2 3 10 11 11 11
1
11．高二某班共有 60 名学生，其中女生有 20 名，“三好学生”人数是全班人数的 ，且“三好学生”
6
中女生占一半．现从该班学生中任选 1 人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学
生是“三好学生”的概率为（▲）
1 1 1 2
A． B． C． D．
18 12 8 3
【答案】C
试卷第 3 页，共 11 页
【详解】
设事件 A 表示“选上的学生是男生”，事件 B 表示“选上的学生是三好学生”，则所求概率为
P (B A)．由题意可得：男生有60 20 = 40人，“三好学生”有10人，所以“三好学生”中男生有5
1
40 2 5 1 P (AB) 1
人，所以P (A) = = ，P (AB) = = ，故P (B A) = = 12 = .
60 3 60 12 P (A) 2 8
3
x 5 1
12．已知不等式 的解集为 A ，关于 x 的不等式2ax2 x + 2 0的解集为B ，且 A B B，
x 3 2
则实数a 的取值范围为（▲）
1 2 1
A． (0，+ ) B． ，+ C． ，+ D． ，+
16 9 2
【答案】B
【详解】
x 5 1
由 得3 x 7，因为A B B，所以A B
x 3 2
由题意可得：2ax2 x + 2 0在 x (3，7 上恒成立，
x 2 x 2
即 a 在 x (3，7 上恒成立，故只需a
2 2x2
，
2x max
2
x 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x 2 1 1
= + = + ， ， ，当 = 时，2 2 = . 2x2
，故a
2x x 2x x 4 16 x 7 3 x 4 max 16 16
第 II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填在答题卡上．）
13．某天上午只排语文、数学、体育三节课，则体育不排在第一节课的概率为 ▲ .
2
【答案】
3
【详解】
所有可能结果如下：（语文，数学，体育）；（语文，体育，数学）；（数学，语文，体育）；（数学，
4 2
体育，语文）；（体育，语文，数学）；（体育，数学，语文）．则体育不排在第一节课的概率P = = .
6 3
14．从编号为 01，02，…，60 的 60 个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中的前两
个编号分别为 02，08（编号按从小到大的顺序排列），则样本中最大的编号是 ▲ .
【答案】56
【详解】
60
已知样本中的前两个编号分别为 02，08，则样本数据组距为8 2 = 6，则样本容量为 =10，则
6
试卷第 4 页，共 11 页
对应的号码数 x = 2+ 6(n 1)，1 n 10，n N+ ，则当n =10 时， x 取得最大值为 56.
15．在平面几何中有如下结论：若正三角形 ABC 的内切圆周长为 C ，外接圆周长为 C ，则1 2
C1 1= ．推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体 ABCD的内切球表面积为 S1 ，外接球表
C2 2
S
面积为 S ，则 12 = ▲ ．
S2
1
【答案】
9
【详解】
平面几何中，圆的周长与圆的半径成正比，而在空间几何中，球的表面积与半径的平方成正比，因
1 S1 1 1
为正四面体的内切球和外接球的半径之比是 ，所以 = ，故答案为 .
3 S 9 92
4ab+ 2b2
16．已知存在正实数a，b 使不等式 log (1 x)成立，则 x 的取值范围 ▲ ． 2
2a +3b
【答案】 (1 2，1)
【详解】
4ab+ 2b2
存在正实数a，b使不等式 log (1 x)成立， 2
2a +3b
4ab + 2b2
所以 log2 (1 x) 2a + 3b
max
因为 a 0，b 0，则2b 0 ，2a+b 0，2a+3b 0
2 2b+（2a +b） 2a +3b
所以 4ab+ 2b = 2b (2a +b) = ，
2 2
2a +3b
2
所以 4ab+ 2b 2 1 ，当且仅当2b = 2a+b时，即b = 2a时取等号， =
2a +3b 2a +3b 2
4ab + 2b2 1
所以 =
2a +3b 2
max
1
则 log2 (1 x) ，即0 1 x 2 ，
2
所以 1 2 x 1，
试卷第 5 页，共 11 页
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B A C D B A C C B C B
二、填空题
2 1
13． 14．56 15． 16． (1 2，1)
3 9
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
（本小题满分 分）已知复数 z = (m2 6m +8)+ (m217. 10 3m + 2)i ，其中 i 是虚数单位，m 为
实数．
（1）当复数 z 为纯虚数时，求m 的值；
（2）当复数 z i 在复平面内对应的点位于第三象限时，求m 的取值范围．
【答案】（1）m = 4；（2） (2，4)
【详解】
解：（1）因为 z 为纯虚数，
m2 6m +8 = 0
所以 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2 分） 2
m 3m + 2 0
m = 2，或m = 4
解得 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4 分）
m 1，且m 2
综上可得，当 z 为纯虚数时m = 4；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5 分）
（2）因为 z i = (m2 3m + 2) + (m2 6m +8)i 在复平面内对应的点位于第三象限，
2
(m 3m+ 2) 0
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7 分）
2
m 6m+8 0
m 1，或m 2
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
2 m 4
即2 m 4，故m 的取值范围为 (2，4)． ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）
18．（本小题满分 12 分）自 2021 年秋季起，江西省普通高中起始年级全面实施新课程改革，为了
迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中 600 名学生化学成绩（满分 100 分）的频率分
布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：第一组 45，55)，第二组 55，65)，第三组 65，75)，第四
组 75，85)，第五组 85，95 ．已知图中前三个组的频率依次构成等差数列，第一组和第五组的频率相
试卷第 6 页，共 11 页
同．
（1）求 a，b 的值；
（2）估算高分（大于等于 80 分）人数；
（3）估计这 600 名学生化学成绩的平均值（同一组中的数据
用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到 0.1）．
【答案】（1）a = 0.020，b = 0.045；（2）90；（3）平均值69.5；中位数69.4．
【详解】
0.005+ b = 0.025 2
解：（1）由题意可知： ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2 分）
(0.005+ 0.025+ b+ a + 0.005) 10 =1
a = 0.020
解得 ． ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4 分）
b = 0.045
0.020
（2）高分的频率约为： + 0.005 10 = 0.15．
2
故高分人数为：600 0.15 = 90．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6 分）
（3）平均值为
50 0.005 10+60 0.025 10+70 0.045 10+80 0.020 10+90 0.005 10 = 69.5，﹣（9 分）
设中位数为 x ，则0.005 10+0.025 10+0.045 (x 65) = 0.5 ， x 69.4．
故中位数为69.4． ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12 分）
19．（本小题满分 12 分）2021 年 11 月初某市出现新冠病毒感染者，该市教育局部署了“停课不停
学”的行动，老师们立即开展了线上教学．某中学为了解教学效果，于 11 月 30 日复课第一天安排
了测试，数学教师为了调查高二年级学生这次测试的数学成绩与每天在线学习数学的时长之间的相
关关系，对在校高二学生随机抽取 45 名进行调查，了解到其中有 25 人每天在线学习数学的时长不
超过 1 小时，并得到如下的统计图：
（1）根据统计图填写下面 2 2 列联表，是否有95%的把握
认为“高二学生的这次摸底考试数学成绩与其每天在线学习
数学的时长有关”；
数学成绩不 数学成绩超 总计
超过 120 分 过 120 分
每天在线学习数学 25
的时长不超过 1 小时
每天在线学习数学
的时长超过 1 小时
总计 45
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（2）从被抽查的且这次数学成绩超过 120 分的学生中，按分层抽样的方法抽取 5 名，再从这 5 名
同学中随机抽取 2 名，求这两名同学中至多有一名每天在线学习数学的时长超过 1 小时的概率．
2 n(ad bc)
2
附：K = ，其中n = a+b+c+d ．参考数据：
(a +b)(c + d)(a + c)(b+ d)
P(K 2 k ) 0 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
7
【答案】（1）见详解；（2）
10
【详解】
解：（1）根据统计图可得：
每天在线学习数学的时长不超过 1小时数学成绩不超过 120分的有25 60% =15人，
每天在线学习数学的时长不超过 1小时数学成绩超过 120分的有 25 40% =10人，
每天在线学习数学的时长超过 1小时数学成绩不超过 120分的有20 25% = 5人，
每天在线学习数学的时长超过 1小时数学成绩超过 120 分的有20 75% =15人，
可得 2 2 列联表如下：
数学成绩不超过 120分 数学成绩超过 120分 总计
每天在线学习数学的时长不超过 1小时 15 10 25
每天在线学习数学的时长超过 1小时 5 15 20
总计 20 25 45
45 (15 15 5 10)2 441
根据 2 2 列联表中的数据， K 2 = = = 5.5125 3.841.﹣（6 分）
20 25 25 20 80
所以有95%的把握认为“高二学生的这次摸底考试数学成绩与其每天在线学习数学的时长有关”
（2）由 2 2 列联表可得，被抽查学生中这次数学成绩超过 120分的有 25人，其中每天在线学习
数学的时长不超过 1小时的有 10人，每天在线学习数学的时长超过 1小时的有 15人，人数比为 2：
3，按分层抽样每天在线学习数学的时长不超过 1小时的抽 2人，记为：1，2；每天在线学习数学
的时长超过 1小时的抽 3人，记为：a，b，c．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8 分）
所有可能结果如下：（1，2），（1，a），（1，b），（1，c），（2，a），（2，b），（2，c），（a，b），（a，c），
（b，c），共计 10 种．设事件 A 为“两名同学中至多有一名每天在线学习数学时长超过一小时”包
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含（1，2），（1，a），（1，b），（1，c），（2，a），（2，b），（2，c）这 7 种可能结果．
7
所以 P(A) = ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12 分）
10
1 1
20．（本小题满分 12 分）已知a 0，b 0，且a +b =1，求证：(1+ )(1+ ) 9．
a b
【答案】见详解
【详解】
证明：因为a 0，b 0，且a +b =1，
1 1 a +b a +b
所以(1+ )(1+ )=(1+ )(1+ )
a b a b
b a 2b 2a 2b 2a
=(2+ )(2+ )=5+ + 5+ 2 = 9，
a b a b a b
1
当且仅当a = b = 时取等号，
2
1 1
所以(1+ )(1+ ) 9﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12 分）
a b
21．（本小题满分 12 分）甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，且先投中者获胜，一
1
直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的
3
1
概率为 ，且各次投篮互不影响．
2
（1）求甲乙各投球一次，比赛结束的概率；
（2）求甲获胜的概率．
【答案】
1 13
（1） ；（2） ．
3 27
【详解】
解：（1）设事件 A k =1,2,3k =“甲在第 k 次投篮投中”，其中 设事件 Bk =“乙在第 k 次投篮投中”，
1 1
其中 k =1，2，3，则 P(Ak ) = ，P(Bk ) = ，其中 k =1,2,3．记“甲乙各投球一次，比赛结束”为
3 2
事件C ，C = A B ，事件 A 与事件B 相互独立 1 1 1 1
1 1 2 1 1
P(C) = P(A1B ) = P(A )P(B ) = (1 P(A ))P(B ) = (1 ) = =1 1 1 1 1 3 2 3 2 3
1
故甲乙各投球一次，比赛结束的概率为 ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4 分）
3
（2）记“甲获胜”为事件D ， D = A1 A1 B1A2 A1 B1 A2 B2 A3 ，
1
P(A1) = ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6 分）
3
2 1 1 1
P(A1 B1A2 ) = P(A1)P(B1)P(A2 ) = = ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8 分）
3 2 3 9
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2 1 2 1 1 1
P(A1 B1 A2 B2 A3) = P(A1)P(B1)P(A2 )P(B2 )P(A3) = = ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）
3 2 3 2 3 27
1 1 1 13
P(D) = P(A1 A1 B1A2 A1 B1 A2 B2 A3) = P(A1)+ P(A1 B1A2 )+ P(A1 B1 A2 B2 A3) = + + =
3 9 27 27
13
故甲获胜的概率为 ． ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12 分）
27
22．（本小题满分 12 分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音
强度 D（单位：dB）与声音能量 I（单位： 2）之间的关系，将测量得到的声音强度 D 和声
音能量 I 的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图：
参考数据：其中W = lg I ，I =1.04 10 11i i ，D = 45.7，W = 11.5，
10 2 10 2
( Ii I ) =1.56 10 21， (Wi W ) = 0.51，
i=1 i=1
10 10
( Ii I )(Di D) = 6.88 10 11 ， (Wi W ) (Di D) = 5.1，
i=1 i=1
（1）根据散点图判断， D = a1 + b1I 与 D = a2 + b2 lg I 哪一个
适宜作为声音强度 D 关于声音能量 I 的回归模型？（给出判断即
可，不必说明理由）
（2）求声音强度 D 关于声音能量 I 的回归方程．
（3）假定当声音强度 D 大于60dB时，会产生噪声污染．城市中某点 P 处共受到两个声源的影响，
1 4 10
这两个声源的声音能量分别是 Ia 和 Ib ，且 + =10 ．已知点 P 处的声音能量等于 Ia 与 Ib 之和．请Ia Ib
根据（2）中的回归方程，判断点 P 处是否受到噪声污染，并说明理由．
参考公式：对于一组数据 (u1,v1 )，(u2 ,v2 )，…，(un ,vn )，其回归直线v = + u 的斜率和截距的最
n
(ui u ) (vi v)
小二乘估计公式分别为： = i=1 n ， = v u ． 2
(ui u )
i=1
【答案】
（1）D = a D =160.7+10lg I2 + b2 lg I 更适合；（2） ；（3）点P 处会受到噪声污染，理由见详解．
【详解】
（1） D = a2 + b2 lg I 更适合．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2 分）
（2）令W = lg I ，则 D = a2 + b2W
10
(Wi W )(Di D) 5.1
b = i=12 = =1010 ， ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4 分） 2
( ) 0.51 Wi W
i=1
a2 = D b2W = 45.7 10 （-11.5）=160.7，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5 分）
D 关于W 的回归方程是 D =160.7+10W ，
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则 D 关于 I 的回归方程是 D =160.7+10lg I ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6 分）
（3）设点 P 处的声音能量为 I ，则 I1 = Ia + I1 b ．
1 4 10
因为 Ia 0，Ib 0 ， + =10
Ia Ib
I 10
1 4
所以 1 = Ia + Ib =10 + ( Ia + Ib )
Ia Ib
=10 10
I 4I
5+ b + a
Ia Ib
10 Ib 4I 10 (5+ 2 a )
Ia Ib
= 9 10 10
3 3
当且仅当 Ib = 2Ia ，即 Ia = ，Ib = 时等号成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10 分）
1010 5 109
所以D =160.7+10lg I1 160.7+10lg (9 10 10 ) =10lg9+ 60.7 60，
所以点 P 处会受到噪声污染．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12 分）
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